中心極限定理(CLT)の完全証明その2～証明の道筋～

このシリーズの説明

• 統計学、データサイエンス、機械学習、金融工学、すべての分野の土台となる数学的基盤を紹介し、それを厳密に証明していく「Tech Math」シリーズのサブシリーズ「中心極限定理(CLT)の完全証明」の記事である.
  • 第一回記事：「中心極限定理(CLT)の完全証明その1:直感的な説明」
• 本記事はその第2回「中心極限定理(CLT)の完全証明その2～証明の道筋～」である
• シリーズ一覧
  • 第一回「中心極限定理(CLT)の完全証明その1:直感的な説明」
  • 第二回「中心極限定理(CLT)の完全証明その2～証明の道筋～」
  • 第三回 coming soon

Abstract

前回「中心極限定理(CLT)の完全証明その1:直感的な説明」に続き、中心極限定理(CLT)の証明の道筋を記す

証明の道筋

証明の道筋としては、まず証明に当たって準備が必要ないくつかの概念(弱収束、緊密性、特性関数など)を導入し、いくつかの補題を導入、そしてそれを使って重要な2つの定理(プロホロフの定理、レヴィの連続性定理)を証明し、最後にそれらを用いてCLTを証明する、という流れをとる。

必要な概念

• 弱収束
  • 確率測度列についての収束
• 緊密性
  • 確率測度の族 $\Lambda$ についての条件
  • $\Lambda$ 内のいかなる確率測度 $\mu$ も、その値の取る範囲が無限に広がることはなく、ある範囲に収まっている（そのような閾値が、大きいか小さいかは別として、存在する）とき、$\Lambda$ は「緊密である」という
• 特性関数
  • $\phi_X (t) = E[e^{itX}]$ を「確率変数$X$についての特性関数」という。
  • $\phi_X(t)$は確率変数 $X$ の分布についての情報を全て持っている(後述の「一意性定理」)
  • CLTの証明に必要. また、$\phi_X (t)$の形が分かれば、微分演算によって簡単に平均や分散やそれ以上の高次モーメントが計算できて、計算上も便利。

いくつかの補題

• 一意性定理
  • 特性関数と分布の一対一対応
• Hellyの補題
  • 後述のプロホロフの定理の証明に必要な補題
• Portmanteauの定理
  • 弱収束の5つの同値な命題
  • プロホロフの定理の証明に必要

定理の関係

• プロホロフの定理
  • 主張: 「(前述の)『緊密性』が弱収束の(必要)十分条件になっている」
  • Levyの連続性定理の証明に必要
• Levyの連続性定理
  • 主張:「特性関数列の各点収束をもって、測度列の弱収束を示すことができる」
  • 中心極限定理の証明に用いる
• 中心極限定理
  • 主張:「独立同分布な確率変数列の $n$個の和は、元がどんな分布であっても、その和は $n\to \infty$ で正規分布に法則収束する(その和の極限が従う分布が正規分布である)

次回

次回は、弱収束・緊密性・特性関数を導入する.