PLONK (zk-SNARKプロトコル)メモ

PLONKについて下記を参照に理解しながらメモを取っていく

https://xiaohuiliu.medium.com/how-plonk-works-part-1-bc8050f4805e

https://xiaohuiliu.medium.com/how-plonk-works-part-2-1072dcd7634a

Gloth16との違い Trusted Setup

Groth16はTrusted Setupを行うため、新しいcercuitには新しいTrusted Setupが必要。
一方PLONKのTrusted Setupは普遍的で、一度行えばすべての回路で再利用できる。また、更新も可能。Trusted Setupが危うくならないと確信できるまで、常に新しいランダム性を追加できる。

---

そもそもTrusted Setupとは、
zk-SNARKsを使用するために必要な公開パラメータを生成するプロセス。この公開パラメータには、ランダム値や暗号学的なセキュリティに関する値が含まれる。

Ceremonyというので複数人が参加可能で、ロジック的には信頼できる人が1人でもいれば、そのTrusted Setupは信頼できるものとなる。

PLONKを使って計算を証明する手順

1. Computation
2. Arithmetic Circuit (算術回路)
3. Costraint System
4. Polynomial
5. Polynomial Commitment
6. PLONK

2. Arithmetic Circuit (算術回路)

PLONKはプログラムを理解できない。Arithmetic Circuitに変換する必要がある。
Arithmetic Circuitとは「加算と乗算の2種類のゲートで構成されるCircuit」

つまり下記の方程式をcircuitにすると図のようになる
方程式P(x) = x³ + x + 5 = 35

https://xiaohuiliu.medium.com/how-plonk-works-part-1-bc8050f4805e より

3. Costraint System（制約システム）

Arithmetic CircuitをCostraint Systemに変換する。circuitの制約には2つのカテゴリーがある。

1. Gate Constraints（ゲート制約）
2. Copy Constraints（コピー制約）

1. Gate Constraints（ゲート制約）

circuitの各ゲート内の制約。上のcircuitには4つのゲートがあり、次のような制約になる。

• a0 * b0 = c0
• a1 * b1 = c1
• a2 + b2 = c2
• a3 + b3 (5) = c3 (35) -> a3 = 30

PLONKでは、すべての制約は以下の形に正規化/標準化される
QL a + QR b + Qo c + QM ab + QC = 0

• L -> Left
• R -> Right
• O -> Output
• M -> Multiply
• C -> Constants (定数)
• a、b、cはそれぞれゲートの左、右、出力wire(ゲートの導線をwireという)

加算や乗算はQを調整することで表せられる。
例えば加算ゲートにするには...
QL = 1, QR = 1, QO = -1, QM = 0, QC=0を入力すると
QL a + QR b + Qo c + QM ab + QC = 0は
a + b - c = 0と加算で表現可能。

乗算ゲートにするには
QL = 0, QR = 0, QO = -1, QM = 1, QC=0とすればよい。

これを上記で示した例に当てはめると

• (0)a0 + (0)b0 + (-1)c0 + (1)a0b0 + (0) = 0
• (0)a1 + (0)b1 + (-1)c1 + (1)a1b1 + (0) = 0
• (1)a2 + (1)b2 + (-1)c2 + (0)a2b2 + (0) = 0
• (1)a3 + (0)b3 + (0)c3 + (0)a3b3 + (-30) = 0

Qをベクトル形式で書き直すことができる
QL=(0,0,1,1)、QR=(0,0,1,0)、QO=(-1,-1,-1,0)、QM=(1,1,0,0)、QC=(0,0,0,-30)。

Qベクトルはselectorセレクタと呼ばれ、回路構造、すなわちプログラムを符号化する。

同様に、すべてのa、b、cをベクトルに集めることができる

a = (a0, a1, a2, a3)、b = (b0, b1, b2, b3)、c = (c0, c1, c2, c3)。

これらのベクトルをwitness assignmentsと呼ぶ
ユーザー入力から派生するすべてのwireの値を表す。

2. Copy Constraints（コピー制約）

4. Polynomials

インデックスをx座標として使用することで、ベクトルを点のリストに変換することができる。例えば、QLは上記で「QL=(0,0,1,1)」だった。これは x = index = 0, 1, 2, 3 で yには値「QL=(0,0,1,1)」を取ると、 (0, 0)、(1, 0)、(2, 1)、(3, 1)に変換できる。これらの点を通る一意な3次数の多項式がある。{0, 1, 2, 3}をEvaluation Domain（評価ドメイン）と呼ぶ。QLは "Evaluation Form（評価形式）"であり、"Coefficient Form（係数形式）"は補間を用いて求めることができる。

Q_L(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{7}{6}x

f(x)を下記のように定義し他のベクトルについても同じドメインを評価していく。

f(x) = Q_L(x)a(x) + Q_R(x)b(x) + Q_O(x)c(x) + Q_M(x)a(x)b(x) + Q_C(x)

0で評価する f(0)

\begin{aligned} f(0) &= Q_L(0)a(0) + Q_R(0)b(0) + Q_O(0)c(0) + Q_M(0)a(0)b(0) + Q_C(0) \\ &= (0)a_0 + (0)b_0 + (1)a_0b_0 + (0) \\ &= 0 \end{aligned}

同様に、fを1、2、3で評価することができ、その結果はすべて0となる。

制約がすべて満たされるのは、次のことが成り立つ場合だけ

f(x) = 0, \forall{x}\in\{0, 1, 2, 3\}

補足：つまり x が{0, 1, 2, 3}の範囲で f(x)が全て成り立つという意味

すべての制約を1つの多項式f(x)に圧縮し、次のように表すことができる。

f(x) = Z(x)H(x) Z(x) = x(x-1)(x-2)(x-3)

これは、0、1、2、3がf(x)の根（値が0になる点）だからである。f(x)をZ(x)で余りなく割るような多項式H(x)が存在する限り、ゲート制約が成り立つことを確認できる。Z(x)は"the vanishing/zero polynomial" 消失・ゼロ多項式、H(x)は "the quotient polynomial" 商多項式と呼ばれる。

別の多項式g(x)を定義することができる：

g(x) = f(x) - Z(x)H(x) = 0

g(x)がどこでも0であること、すなわちゼロ多項式であることを示せばよい。

---

用語メモ

• Evaluation Domain（評価ドメイン）: 多項式の値を評価または計算するためのx座標のセット

• Evaluation Form（評価形式）:多項式を評価ドメインの点で評価する形式
  例：次の多項式を評価ドメイン {0, 1, 2, 3} で評価する場合
  P(x)=2x^3 − x^2 + 3x − 5
  多項式 P(x) は評価ドメインの各点で評価され、その結果は評価形式で表現される

  • P(0)=2⋅0^3 − 0^2 + 3⋅0 − 5 = −5
  • P(1)=2⋅1^3 − 1^2 + 3⋅1 − 5 = −1
  • P(2)=2⋅2^3 − 2^2 + 3⋅2 − 5 = 15
  • P(3)=2⋅3^3 − 3^2 + 3⋅3 − 5 = 53

• Coefficient Form（係数形式）：多項式はその係数によって直接表現される
  係数形式：
  Q(x) = (an)x^n + (an−1)x^(n−1) + … + (a1)x + (a0)
  ​例：
  Q(x) = 2x^3 − x^2 + 3x − 5
  係数 a3 = 2, a2 = −1, a1 = 3, a0 = -5 と明示的に示されている

• そもそも「多項式を評価」って？
  多項式を評価するとは、与えられた多項式に特定の値（または変数）を代入し、その結果を計算すること。

• 補間による係数形式の取得
  評価形式 -> 係数形式
  単にそれぞれの評価の座標の値を代入して、連立方程式で求める方法もあるが大変。なので補間というものをすれば効率よく求められる。（ラグランジュ補間など）

例：ラグランジュ補間
P(x) = \sum^{n}_{i=0} y_i * L_i(x)

• P(x)は補間多項式
• n はデータポイントの数（今回は４つ）
• x は補間する点（評価ドメインの値）
• y_iは各データポイントのy座標
• L_i(x)はラグランジュ補間の基底多項式⏬

L_i(x) = \prod^n_{j=0,j\ne0} \frac{x-x_j}{x_i-x_j}
xを評価ドメインの値0, 1, 2, 3に代入し y_iをそれぞれのデータポイントのy座標に置き換える
例： x = 0 に対して
L_0(0) = \prod^3_{j=0,j\ne0} \frac{0-x_j}{0-x_j} = 1
同様にx = 1, 2, 3に対しても計算
その後がよくわからない...

Schwartz-Zippel lemma

Schwartz-Zippelの補題は、多項式理論の中で重要なものらしい。

次のような多項式 f(x) がある。

f(x) = a_0{x^d} + a_1{x^{d-1}} + ... + a_{d-1}{x} + a_d

a_iは係数、dは多項式の次数、xは変数

Schwartz-Zippelの補題
「多項式 f(x) が非ゼロ多項式で、体 F（有限の要素を持つ数学的な構造）のサイズが n の場合、ランダムに選んだ s に対して、f(s)=0 となる確率は d/n を超えない。」

つまり d はf(x)の次数で、最大でd個の値（f(x)=0の解）しか持たない。なのでランダムにsを選んだ場合、f(s)=0になる確率はdに対してnが十分に大きい場合、非常に小さいことが示される。

あるランダムな点で多項式を評価し、その評価が0であった場合、その多項式は圧倒的な確率でどこでも0であることを意味する。

また、あるランダムな点で2つの多項式を評価し、それらが等しければ、ほぼ確実にどこでも等しいということになる。

5. Polynomial Commitment Scheme（多項式コミットメント）

多項式P(x)が0であることを証明するために、Polynomial Commitment Scheme(PCS)多項式コミットメントスキームを使う。PCSはある多項式P(x)の「ハッシュ」のようなものとみなすことができ、commiter（証明者）は多項式Pを明らかにすることなく、Pが特定の点で特定の値に評価されることを証明できる。

PCSは、証明者と検証者の間で3ラウンドで構成される

Commit： prover（証明者）はある多項式Pをコミットし、それを検証者に送信する。
Challenge： 検証者は多項式Pをランダムな点sで評価することを要求し、sを証明者に送信する。
Open：証明者は点sでのPの評価値yを計算し、評価のproofとともに結果を検証者に送り返す。検証者はproofをチェックし、それが有効であればP(s) = yと結論する。多項式の方程式自体はランダムな値で評価することで効率的に検証される。

g(x)がゼロであることを証明するためにPCSを使うことができる。PLONK論文では、ペアリングに基づくKateコミットメントを用いている。他のPCSを使うこともできる。

2. Copy Constraints（コピー制約）

ワイヤが同じ値を含むことを保証する。
例：

• a0 * b0 = c0
• c0 = a1
  ゲート0の出力はゲート1の左入力と同じになる。
  さらに、a0 = b0 = b1 = a2のように、wireを括ることもできる。

https://xiaohuiliu.medium.com/how-plonk-works-part-1-bc8050f4805e より

Permutation check（順列チェック）

まず、1つのベクトル（すなわちaのベクトル, 1つの多項式）内のコピー制約（a0 = a2）を考える。

σ(i)：並べ替えられたベクトルのi番目の要素の新しいインデックスである。この場合、下図が示すようにσ=(2, 1, 0, 3)となり、a0とa2が入れ替わることになる。

図中の色はwireの値を表す。順列化されたブロックの先頭が元のブロックと同じ色であれば、コピー制約が満たされる。

Grand product（大積）

まずランダムな値 β と γを取得し、 fとg関数を定義する。

\begin{aligned} f(i) &= a_i + iβ + γ \\ g(i) &= a_i + σ(i)β + γ \end{aligned}

ここでσ(i)は順列化したもの。
以下の式が成り立つ場合に限り、Permutation Checkはパスする

\prod^3_{i=0}f(i)/g(i) = 1

この左辺の式が表題の "Grand product（大積）"という。
上の例でa0 = a2の時、Grand productが成り立つか見ればよい。下記のようになる。

\dfrac{(a_0 + 0β + γ)(a_1 + β + γ)(a_2 + 2β + γ)(a_3 + 3β + γ)}{(a_0 + 2β + γ)(a_1 + β + γ)(a_2 + 0β + γ)(a_3 + 3β + γ)} = 1

これは分子分母ともに(a_1 + β + γ)と(a_3 + 3β + γ)は相殺できる。

すると残るのは下記のようになる。

\dfrac{(a_0 + 0β + γ)(a_2 + 2β + γ)}{(a_0 + 2β + γ)(a_2 + 0β + γ)} = 1

a0 = a2なので(a_0 + 0β + γ)と(a_2 + 0β + γ)、(a_2 + 2β + γ)と(a_0 + 2β + γ)がそれぞれ相殺できるため、Grand productの値は 1 となり式が成り立ち Permutation Checkがパスできる。

Proof

Schwartz-Zippelのレンマは、2つの多項式がランダムな評価点で等しい場合、この2つの多項式は高い確率でどこでも等しいというもの。ここで2つの多項式を考えてみる。
https://zenn.dev/link/comments/9a88975ad6541e

P_1(x) = \prod^3_{i=0}(a_i + iβ + x) \\ P_2(x) = \prod^3_{i=0}(a_i + σ(i)β + x)

これらの多項式はランダムなγで等しいと仮定される。つまり同じ根を持つと考えられる。

P_1(γ) = P_2(γ)

P_1のj番目の根とP_2のi番目の根が一致すると仮定すると下記の式が成りたつ。

a_j + jβ + x = a_i + σ(i)β + x \\ a_j + jβ = a_i + σ(i)β

新たな多項式R_1とR_2を下記のように定義する。

R_1(x) = a_j + jx R_1(x) = a_i + σ(i)x

これらの多項式はランダムなβで等しいと仮定されるのでR_1(β) = R_2(β)となる。
a_i = a_jが成り立つことが示される。

なのでGrand product（大積）が1の場合、順列条件 σ(i) = j が成り立つとき ai = aj となる。
この証明により、大積が1の場合、順列チェックがパスし、順列内の要素が等しいことが示される。

Polynomial

Roots of unity（単一根）

ベクトルを多項式に変換する際の評価ドメイン"H"として、ベクトルindex {0, 1, 2, ..., n-1}を使用したが、任意の領域を使用することができる。

PLONKでは、性能向上のため、多項式補間に使用するドメインは単一根で構成されます。体のn番目の単根は、ω^n = 1を満たす体の要素ωである。nはベクトルのサイズで、この場合は4である。Hは{ω⁰, ω¹, ω², ω³ }である。

Accumulator

評価ベクトル P を下記のように定義する。

P(ω) = 1 \\ P(ω) = \prod_{j<i}f(j)/g(j), i \in \{1..n\}

Pは再帰的に書き換えることができるので、grand product（大積）を累積する。

P(ω^{i+1}) = P(ω^i)f(i)/g(i)

P(x)のようなものが存在すれば、grand product （大積）方程式が成り立つことがわかる。

\prod^3_{i=0}f(i)/g(i) = 1

https://zenn.dev/link/comments/ac93a95e46c4cf

P(ω^n) = \prod_{i=0}^{n-1}f(j)/g(j) = P(1) = P(ω^0) = 1

上記のP(ω^{i+1}) = P(ω^i)f(i)/g(i)は両辺g(i)を乗算すると下記と等しい。

P(ω^{i+1})g(i) = P(ω^i)f(i)

P(x)、f(x)、g(x)は、評価ドメイン H {ω⁰, ω¹, ω², ω³ }上の補間を用いて求めることができる。次の多項式がドメインH上で成り立つ。

P(xω)g(i) = P(x)f(x)

f(x) = a(x) + xβ + Δ \\ g(x) = a(x) + σ(x)β + Δ \\

P(xω)g(x) - P(x)f(x)= Z(x)H(x)

Z(x) = (x-ω^0)(x-ω^1)(x-ω^2)(x-ω^3)

Copy constraints across vectors

ベクトル a, b, c の間には、コピー制約が存在する。具体的には、a2 と b0 が等しいこと (a2 = b0)、および a1 と c0 が等しいこと (a1 = c0)などがある。

https://xiaohuiliu.medium.com/how-plonk-works-part-1-bc8050f4805e より

コピー制約を処理するために、ベクトル a、b、c を1つの大きなベクトルに結合する。この大きなベクトルのサイズ n は 12 (要素4つ × ベクトル3つ(a, b, c))になる。これにより、異なるベクトル間でのコピー制約を処理しやすくなる。
a\{0, 1, 2, 3\} b\{0, 1, 2, 3\} c\{0, 1, 2, 3\} それぞれを結合して

i: \{0(a_0), 1(a_1), 2(a_2), 3(a_3), 4(b_0), 5(b_1), 6(b_2), 7(b_3), 8(c_0), 9(c_1), 10(c_2), 11(c_3)\}

• i{1(a_1)} = i{8(c_0)} = 9
• i{0(a_0)} = i{2(a_2)} = i{4(b_0)} = i{5(b_1)} = 3
• i{3(a_3)} = i{10(c_2)} = 30
• i{6(b_2)} = i{9(c_1)} = 27

σ(i): \{2(a_2), 8(c_0), 4(b_0), 10(c_2), 5(b_1), 0(a_0), 9(c_1), 7(b_3), 1(a_1), 6(b_2), 3(a_3), 11(c_3)\}

上記Grand product（大積）は下記のようになる。

\begin{aligned} f(i) &= a_i + iβ + γ \\ g(i) &= a_i + σ(i)β + γ \end{aligned}

\begin{aligned} f(i) &= (a_i + iβ + γ)(b_i + iβ + γ)(c_i + iβ + γ) \\ g(i) &= (a_i + σ(i)β + γ)(b_i + σ(i)β + γ)(c_i + σ(i)β + γ) \end{aligned}

PLONK

要約すると、証明すべきプログラムPが与えられると

• まずそれを算術回路に変換
• 次にゲート制約やコピー制約を含む一連の制約に変換
• それらを多項式に変換
• 最後に、PCSを用いて多項式の同一性を簡潔に検証する