標数0の代数閉体係数のPuiseux級数体は代数閉体であることの証明ノート

表記として
-
をchar 0の代数閉体\mathbb{k} -
をPuiseux級数体\mathrm{K} = \mathbb{k}\{\!\!\{t\}\!\!\}
とする

代数的閉であることを示したいので
任意の多項式
アルゴリズムで具体的に

このとき
-
に対して0 \leq \forall i \leq n \mathrm{val}(c_{i}) \ge 0 -
,0 \leq \exists j \leq n \mathrm{val}(c_{j}) = 0 c_{0} \neq 0 \mathrm{val}(c_{0}) \gt 0


Newton図形を集合
の
これはNewton多角形と第1象限のMinkowski和であることに注意.

Newton図形は、頂点
(ここで仮定2 & 4が効いているはず)
その傾きは符号を除いて
である.


TODO: 補足書く

と書ける.(ここで

このとき
とおく.この多項式

この
に等しい.(これは単に多項式を微分すれば得られる)
-
のとき0 \le j < r_{l+1} ,よって\overline{c_{j}^{l+1}} = 0 \mathrm{val}(c_{j}^{l+1}) > 0 -
のときj = r_{l+1} ,よって\overline{c_{j}^{l+1}} \ne 0 \mathrm{val}(c_{j}^{l+1}) = 0
ここで