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標数0の代数閉体係数のPuiseux級数体は代数閉体であることの証明ノート

トロピカル幾何

証明は『トロピカル幾何学入門』 D.マクラガン / B.シュツルムフェルズによる

表記として

$\mathbb{k}$ をchar 0の代数閉体
$\mathrm{K} = \mathbb{k}\{\!\!\{t\}\!\!\}$ をPuiseux級数体

とする

代数的閉であることを示したいので
任意の多項式 $\displaystyle F = \sum_{i=0}^{n} c_{i} x^{i} \in \mathrm{K}[x]$ に対して、その根 $y \in \mathrm{K}$ の存在を示す必要がある．

アルゴリズムで具体的に $t$ のべきをどんどん高い方へ計算して $y$ を構成しよう．

このとき $\displaystyle F = \sum_{i=0}^{n} c_{i} x^{i} \in \mathrm{K}[x]$ は以下の4点を満たすと仮定してもよい

$0 \leq \forall i \leq n$ に対して $\mathrm{val}(c_{i}) \ge 0$
$0 \leq \exists j \leq n$ , $\mathrm{val}(c_{j}) = 0$
$c_{0} \neq 0$
$\mathrm{val}(c_{0}) \gt 0$

1 ~ 3の仮定は簡単なので省略する．

TODO: 4の根拠

$F_{0} = F$ とおき、帰納的に多項式の列 $\displaystyle F_{l} = \sum_{i=0}^{n} c_{i}^{l} x^{i} \in \mathrm{K}[x]$ を構成する．

$F_{l}$ は上の1 ~ 4の仮定を満たしているとする．

Newton図形を集合

\{\ (i, j) \in \mathbb{N}^{2}\ |\ \exists k \le i,\ \mathrm{val}(c_{k}^{l}) \le j\ \}

の $\mathbb{R}^{2}$ の凸包として定義する．

これはNewton多角形と第1象限のMinkowski和であることに注意．

Newton図形は、頂点 $(0, \mathrm{val}(c_{0}^{l}))$ とある頂点 $(k_{l}, \mathrm{val}(c_{k_{l}}^{l}))$ を結ぶ負の傾きの辺をもつ．
(ここで仮定2 & 4が効いているはず)

その傾きは符号を除いて

w_{l} = \frac{\mathrm{val}(c_{0}^{l}) - \mathrm{val}(c_{k_{l}}^{l})}{k_{l}}

である．

$F_{l+1}$ を定義しよう．

$f_{l}$ を $t^{- \mathrm{val}(c_{0}^{l})} F_{l} (t^{w_{l}}x) \in K[x]$ の $\mathbb{k}[x]$ における像とする．
$f_{l}$ は次数 $k_{l}$ で定数項は $0$ でない．

TODO: 補足書く

$\mathbb{k}$ は代数閉体であるから、その根 $\lambda_{l}$ が存在して重複度 $r_{l+1}$ とすると

f_{l}(x) = (x - \lambda_{l})^{r_{l+1}} g_{l}(x)

と書ける．(ここで $g_{l}(\lambda_{l}) \neq 0$ )

このとき

F_{l+1}(x) = \sum_{j=0}^{n} c_{j}^{l+1}x^{j} := t^{- \mathrm{val}(c_{0}^{l})} F_{l} (t^{w_{l}} (x + \lambda_{l}))

とおく．この多項式 $F_{l+1}(x)$ の各係数 $c_{j}^{l+1}$ は以下の等式で与えられる:

c_{j}^{l+1} = \sum_{i=j}^{n} c_{i}^{l} t^{iw_{l}- \mathrm{val}(c_{0}^{l})} \dbinom{i}{j} \lambda_{l}^{i-j}

この $c_{j}^{l+1} \in K$ の剰余体 $\mathbb{k}$ における像は

\overline{c_{j}^{l+1}} = \frac{1}{j!} \frac{\partial^j f_{l}}{\partial x^j} (\lambda_{l})

に等しい．(これは単に多項式を微分すれば得られる)

$\lambda_{l}$ は $f_{l}$ の重複度 $r_{l+1}$ の根なので

$0 \le j < r_{l+1}$ のとき $\overline{c_{j}^{l+1}} = 0$ ，よって $\mathrm{val}(c_{j}^{l+1}) > 0$
$j = r_{l+1}$ のとき $\overline{c_{j}^{l+1}} \ne 0$ ，よって $\mathrm{val}(c_{j}^{l+1}) = 0$

ここで $\mathrm{char}(\mathbb{k}) = 0$ を使っている．

もし $c_{0}^{l+1} = 0$ ならば $x = 0$ は $F_{l+1}$ の根で， $\lambda_{l}t^{w_{l}}$ は $F_{l}$ の根である．
これを続けて次数を下げていくと $\sum_{j=0}^{l} \lambda_{j} t^{w_{0} + ... + w_{j}}$ は $F_{0} = F$ の根となり，
言わんとしていた主張を得る．

そこで $c_{0}^{l+1} \ne 0$ と仮定して $F_{l+1}$ は上の条件1 ~ 4 を満たすとする．