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【情報数学】線形代数/線形空間の次元

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はじめに

【情報数学】にてこの記事の目的について読んで頂けると幸いです。

線形代数のスクラップ

ついでに

論理記号による表記もついでに導入します。
ある程度は読み書きできた方がなにかと不自由しません。

線形空間再び

この記事は線形空間の焼き直しになるので、面倒なら読み飛ばしても大丈夫だと思いますが、
次元だけは一応把握しておいてください。

集合V\not ={\phi}が\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in Vと\forall k\in\mathbb{F}に対して和\mathbf{x}+\mathbf{y}\in Vとスカラー倍k\mathbf{x}\in V\\ が定義されていて、Vと\mathbb{F}の任意の元について\\ \begin{aligned} &(1)\quad (\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})\quad (和に関する結合法則)\\ &(2)\quad \mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}\quad (和に関する交換法則)\\ &(3)\quad \exist \mathbf{0},\forall \mathbf{x},\mathbf{x}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathbf{x}=\mathbf{x}\quad (零元の存在)\\ &(4)\quad \forall\mathbf{v},\exist{\mathbf{v}'},\mathbf{v}+\mathbf{v}'=\mathbf{v}'+\mathbf{v}=\mathbf{0}\quad (逆元の存在) \\ &(5)\quad k(\mathbf{x}+\mathbf{y})=k\mathbf{x}+k\mathbf{y}\quad (ベクトルに関する分配法則)\\ &(6)\quad (k+l)\mathbf{x}=k\mathbf{x}+l\mathbf{x}\quad (スカラー倍に関する分配法則)\\ &(7)\quad (kl)\mathbf{x}=k(l\mathbf{x})\quad (スカラー倍に関する結合法則)\\ &(8)\quad \exist1,\forall\mathbf{x},1\mathbf{x}=\mathbf{x}\quad (単位元によるスカラー倍)\\ \end{aligned}\\ を満たすとき、集合Vを線形空間という。

複素数も体なので複素数も線形空間の守備範囲になります。以下その名称です。

\begin{aligned} &\mathbb{K}=\mathbb{R}のとき、実線形空間\\ &\mathbb{K}=\mathbb{C}のとき、複素線形空間 \end{aligned}\\ という。

線形空間の次元

\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_nが線形空間Vの基底であるとき、このベクトルの個数を次元といい、\\ \operatorname{dim}V\stackrel{def}{=}(基底ベクトルの個数n)=(Vの次元)

次元を基底ベクトルの数にしようというわけですが、これで本当に十分なんでしょうか。

次元の一意性

線形空間Vの基底ベクトルの個数、つまり\operatorname{dim}Vは一意に定まる。
証明
\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_nと\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\dots,\mathbf{e}'_mが共にVの基底とすると、\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_nを\\ \mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\dots,\mathbf{e}'_mの線形結合で表せるので\mathbf{e}_i=\sum_{j=1}^{m}x'_{ij}\mathbf{e}'_jとなる。一方,\\ 線形空間の定義より\mathbf{0}が存在し、これを基底の線形結合で表せるので\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}x_i\mathbf{e}_iとなり、\\ このときx_i=0である。よって\mathbf{0}=\sum_{i=1}^{n}x_i\mathbf{e}_i=\sum_{i=1}^{n}x_i\sum_{j=1}^{m}x'_{ij}\mathbf{e}'_j=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_ix'_{ij}\mathbf{e}'_jより\\ \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}x_ix'_{ij}=0となるがこれはx_iを未知数、式の数をm本とする斉次連立一次方程式であり、\\ x_i=0より自明な解を持つはずなのでm=nである。\mathbf{e}'_1,\mathbf{e}'_2,\dots,\mathbf{e}'_mを\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\dots,\mathbf{e}_nの\\ 線形結合で表しても同様の結論が得られる。よって\operatorname{dim}Vは一意に定まる

基底ベクトルの数を次元とする正当性が示されました。

線形空間の部分空間

\mathbb{K}上の線形空間Vの部分集合W\not ={\phi}について\\ \begin{aligned} &(1)\quad \forall\mathbf{x},\mathbf{y}\in W,\mathbf{x}+\mathbf{y}\in W\\ &(2)\quad \forall\mathbf{x}\in W,\forall k\in \mathbb{K},k\mathbf{x}\in W \end{aligned}\\ のとき、WをVの部分空間という。\\ また、(1)と(2)は\\ \forall\mathbf{x},\mathbf{y},\forall k,l,k\mathbf{x}+l\mathbf{y}\in W\\ とまとめることができる。

つまり線形空間から適当に部分集合をもってきても役に立たないぞというわけです。足し算やスカラー倍しただけで空間の外にいってしまってはまともに計算できません。

生成される部分空間

\mathbb{K}上の線形空間Vのベクトル\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_kが生成するベクトル全体の集合を\\ \langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_k\rangle\stackrel{def}{=}\{\mathbf{x}\mid \mathbf{x}=\sum_{i}x_i\mathbf{v}_i,x_i\in \mathbb{K}\}\\ また、これはVの部分空間である。

\dim V=kなら当然\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_k\rangle=Vです。単なる糖衣構文ではありますが。
ところでこれが部分空間になることに疑問をもつかもしれませんが、証明は容易です。

部分空間の次元

線形空間Vの部分空間をWとすると、\\ \operatorname{dim}W\leq \operatorname{dim}V\\ たたし等号はW=Vのとき。

これちょっと証明の書き方がよくわからなくなってしまったので軽い説明で済ませますが、まず\dim W<\dim Vなら基底の数が違うので\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\dots,\mathbf{w}_l\rangleがVを生成できるはずがありません。
一方\dim W=\dim Vということは基底の数が同じで、部分空間なので\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\rangle=\langle\mathbf{w}_1,\mathbf{w}_2,\dots,\mathbf{w}_n\rangle\Leftrightarrow V=Wは納得できると思います。

その他

部分空間の和空間

M,Wを線形空間Vの部分空間とする。\\ M+W\stackrel{def}{=}\{\mathbf{x}\mid \forall\mathbf{x},\exist \mathbf{m}\in M,\mathbf{w}\in W,\mathbf{x}=\mathbf{m}+\mathbf{w}\}\\ を和空間といい、部分空間となる。

ところで

M\cup W=\{\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in M または \mathbf{x}\in W\}

なので和空間と和集合は全く別物です。
和集合が部分空間となる保証もありません。

部分空間の共通部分

M,Wを線形空間Vの部分空間とする。\\ M\cap W=\{\mathbf{x}\mid \mathbf{x}\in M,\mathbf{x}\in W\}\\ は部分空間である。

部分空間の直和

M,Wを線形空間Vの部分空間とする。\\ M\oplus W\stackrel{def}{=}\{\mathbf{x}\mid \forall\mathbf{x},\exist! \mathbf{m}\in M,\mathbf{w}\in W,\mathbf{x}=\mathbf{m}+\mathbf{w}\}に対し、\\ V=M\oplus Wのとき、VがMとWの直和であるという。

同値表現

\begin{aligned} &(1)\quad V=M\oplus W\\ &(2)\quad V=M+Wかつ\dim V=\dim M+\dim W\\ &(3)\quad V=M+WかつM\cap W=\mathbf{0}\\ &(4)\quad \mathbf{m}_1,\mathbf{m}_2,\dots,\mathbf{m}_lと\mathbf{w}_{l+1},\mathbf{w}_{l+2},\dots,\mathbf{w}_{l+n}がそれぞれMとWの基底であるとき、 \mathbf{m}_1,\mathbf{m}_2,\dots,\mathbf{m}_l,\mathbf{w}_{l+1},\mathbf{w}_{l+2},\dots,\mathbf{w}_{l+n}がVの基底である。 \end{aligned}

証明はしませんが、直和の定義を考えればどれも概ね納得です。

次元公式

\operatorname{dim}(V+W)=\operatorname{dim}V+\operatorname{dim}W-\operatorname{dim}(V\cap W)

まあ、直感的には当たり前ですね。大変ですが次元とは基底の数なので基底で表示してあげればうまく証明ができます。

Discussion

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