【情報数学】解析学.ε-N論法

はじめに

【情報数学】にてこの記事の目的について読んで頂けると幸いです。

解析学のスクラップ

「極限」を数式で扱えるようにする

微分についても積分についても極限や実数という概念が前提にあります．
なのでまずこの極限や実数について正確な議論を行うための論理を導入します．
なにか如何にも数学っぽくて嫌な感じがするかもしれませんが微積に突入するまで我慢です．

基本事項

基本事項と言いつつ今後ほとんど触れないかもしれませんが...

述語論理

述語論理をしっかり理解していないと正確に記述できないので解析学を学ぶにあたっては下記記事などを参照してください．
趣味の大学数学

上に有界

定義

$$S⊂R(S≠ϕ)について，Sが上に有界⇔def∃a∈R,∀x∈S,x≦aこのとき，aをSの上界という． \begin{aligned} &S\subset{\mathbb{R}}(S\not ={\phi})について，\\ &Sが上に有界\stackrel{def}{\Leftrightarrow}\exist{a}\in{\mathbb{R}},\forall{x}\in{S},x\leqq a\\ &このとき，aをSの上界という． \end{aligned}$$

下に有界

定義

$$S⊂R(S≠ϕ)について，Sが下に有界⇔def∃a∈R,∀x∈S,x≧aこのとき，aをSの下界という． \begin{aligned} &S\subset{\mathbb{R}}(S\not ={\phi})について，\\ &Sが下に有界\stackrel{def}{\Leftrightarrow}\exist{a}\in{\mathbb{R}},\forall{x}\in{S},x\geqq a\\ &このとき，aをSの下界という． \end{aligned}$$

上限/下限

定義

$$(1)Sの上限とはsup⁡S=def上界全体の集合U(S)の最小値(2)Sの下限とはinf⁡S=def下界全体の集合L(S)の最大値 \begin{aligned} &(1)\quad Sの上限とは\sup{S}\stackrel{def}{=}上界全体の集合U(S)の最小値\\ &(2)\quad Sの下限とは\inf{S}\stackrel{def}{=}下界全体の集合L(S)の最大値\\ \end{aligned}$$

はさみうちの原理

原理

$$∀n,(pn≦an≦qn)∧(lim⁡n→∞pn=lim⁡n→∞qn=α)⇒lim⁡n→∞an=α \begin{aligned} &\forall{n},(p_n\leqq a_n\leqq q_n)\land(\lim_{n\rightarrow\infin}{p_n}=\lim_{n\rightarrow\infin}{q_n}=\alpha)\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infin}{a_n}=\alpha \end{aligned}$$

今まで通りです．

アルキメデスの原理

原理

$$∀a>0,∀b>0,∃n∈N,an>b \begin{aligned} &\forall{a}>0,\forall{b}>0,\exist{n}\in{\mathbb{N}},an>b \end{aligned}$$

これは$N\mathbb{N}$が上に上界ではないことと同値です．つまりどんな正の実数よりも大きい自然数がとれる．と考えて良いです．
アルキメデスの原理には他にもいくつか同値表現があります．

有理数の稠密性

定理

$$空でない開区間の中には有理数が存在する． \begin{aligned} &空でない開区間の中には有理数が存在する． \end{aligned}$$

某予備校のノリで表現すると，「有理数はギッシリと詰まっている?」ってところでしょうか．
これは無理数についても同じことが言えます．

実数の公理

性質

$$(1)実数は可換体である（四則演算ができる）(2)実数は順序関係（大小関係）がある(3)実数の連続性（実数は連続である） \begin{aligned} &(1)\quad 実数は可換体である（四則演算ができる）\\ &(2)\quad 実数は順序関係（大小関係）がある\\ &(3)\quad 実数の連続性（実数は連続である） \end{aligned}$$

実数の性質を詳しく説明しようとすると微分積分から遠のいてしまうと思うので割愛します．（というかよくしらない）
当分無視してもいいと思いますが(3)だけは少し掘り下げます．

実数の連続性公理

公理

$$空でない上に有界なS⊂Rはsup⁡Sが存在する．⇔上（下）に有界な単調増加（減少）数列は収束する．⇔etc... \begin{aligned} &空でない上に有界なS\subset{\mathbb{R}}は\sup{S}が存在する．\\ \Leftrightarrow&上（下）に有界な単調増加（減少）数列は収束する．\\ \Leftrightarrow&etc... \end{aligned}$$

実数の連続性公理はwiki/実数の連続性によれば12もの同値表現があります．

ε-N論法

論理

$$数列{an}についてlim⁡n→∞an=α⇔∀ϵ>0,∃N∈N,∀n∈N,n≧N⇒∣an−α∣<ϵ \begin{aligned} &数列\{a_n\}について\\ &\lim_{n\rightarrow \infin}{a_n}=\alpha \Leftrightarrow\forall{\epsilon}>0,\exist{N}\in{\mathbb{N}},\forall{n}\in{\mathbb{N}},n\geqq{N} \Rightarrow\left|a_n-\alpha\right|<\epsilon\\ \end{aligned}$$

日本語訳を書くと
どんな正の実数$ϵ\epsilon$についても，ある自然数$NN$が存在する．$NN$とは第$nn$項がこの第$NN$項以降であれば$∣an−α∣<ϵ\left|a_n-\alpha\right|<\epsilon$が成立するようなものである．
もう少し噛み砕くと，
ある第$NN$項を境に$ana_n$と$α\alpha$との差をいくらでも小さくできる．そういう$NN$が存在しますか？^[1]
という感じです．

これは数列の極限についてのものです．
後に出てくるε-δ論法より理解しやすいと思うのでまずここから使いこなしていけばいいと思います．

例題

最も有名と言っても過言ではない数列の極限です．
高校では得に断りもなく用いていましたがε-N論法やアルキメデスの原理を駆使することで証明ができます．

$$数列an=1nについて,lim⁡n→∞an=0を証明せよ． \begin{aligned} &数列a_n=\frac{1}{n}について,\lim_{n\rightarrow\infin}{a_n}=0を証明せよ． \end{aligned}$$

解答

$$lim⁡n→∞1n=0であるとは，∀ϵ>0,∃N∈N,∀n∈N,n≧N⇒∣1n−0∣<ϵが成立することであるから以下にこれを示す．アルキメデスの原理より，∀ϵ>0,∃N∈N,N>1ϵこのNに対して次が成立している．∀n∈N,n≧N⇒n>1ϵ⇒1n<ϵ⇒∣1n−0∣<ϵ以上より，∀ϵ>0,∃N∈N,∀n∈N,n≧N⇒∣1n−0∣<ϵ□ \begin{aligned} &\lim_{n\rightarrow\infin}{\frac{1}{n}}=0であるとは，\forall{\epsilon}>0,\exist{N}\in{\mathbb{N}},\forall{n}\in{\mathbb{N}},n\geqq{N} \Rightarrow\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilonが\\ &成立することであるから以下にこれを示す．\\ &アルキメデスの原理より，\forall{\epsilon}>0,\exist{N}\in{\mathbb{N}},N>\frac{1}{\epsilon}\\ &このNに対して次が成立している．\\ &\begin{aligned} &\forall{n}\in{\mathbb{N}},n\geqq N \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon}\Rightarrow \frac{1}{n}<\epsilon\Rightarrow\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon \end{aligned}\\ &以上より，\forall{\epsilon}>0,\exist{N}\in{\mathbb{N}},\forall{n}\in{\mathbb{N}},n\geqq{N} \Rightarrow\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon \\ &\Box \end{aligned}$$

少しくどくどと書きました．
天下り的な証明になるので，まず$∣1n−0∣<ϵ\left|\frac{1}{n}-0\right|<\epsilon$を変形してから$NN$に検討をつけましょう．
まず$ϵ\epsilon$を定めて，それに対して条件から下って$NN$を1つ探す．この意識です．

コーシー列

定義

$$∀ϵ>0,∃N∈N,∀n,m∈N,n,m≧N⇒∣an−am∣<ϵ \begin{aligned} &\forall{\epsilon}>0,\exist{N}\in{\mathbb{N}},\forall{n,m}\in{\mathbb{N}},n,m\geqq N\Rightarrow\left|a_n-a_m\right|<\epsilon \end{aligned}$$

これは$lim⁡n,m→∞(an−am)=0\lim_{n,m\rightarrow\infin}{(a_n-a_m)}=0$と同値です．

定理（コーシーの収束条件）

$$数列{an}が収束する．⇔数列{an}がコーシー列である． \begin{aligned} &数列\{a_n\}が収束する．\Leftrightarrow 数列\{a_n\}がコーシー列である． \end{aligned}$$

ちなみにコーシーの収束条件とアルキメデスの原理が成立することは実数の連続性公理の1つです．

これを用いれば数列が収束するかどうかを確かめられます．
また，コーシー列の否定は
$∃ϵ>0,∀N∈N,∃n,m∈N,(n,m≧N)∧(∣an−am∣≧ϵ)\exist{\epsilon}>0,\forall{N}\in{\mathbb{N}},\exist{n,m}\in{\mathbb{N}},(n,m\geqq N)\land(\left|a_n-a_m\right|\geqq\epsilon)$
です.
$A⇒B⇔¬A∨BA\Rightarrow B\Leftrightarrow\lnot{A}\lor B$に注意してください．

例題

$$数列an=1+12+13+⋯+1nは正の無限大に発散することを示せ． \begin{aligned} &数列a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dotsm+\frac{1}{n}は正の無限大に発散することを示せ． \end{aligned}$$

解答

$$数列anがコーシー列ではないことを示す．a2n−an=(1+12+13+⋯+1n+⋯+12n)−(1+12+13+⋯+1n)=1n+1+1n+2+⋯+12n≧12n⋅n=12より，a2n−an≧12となる．nを十分に大きくとれば∀N∈N,∃n∈N,2n≧n≧Nが成立することから，∃ϵ>0,∀N∈N,∃n,m∈N,(n,m≧N)∧(∣an−am∣≧ϵ)ゆえ，数列anはコーシー列ではない．したがって収束せず，また，数列anは単調増加なので正の無限大に発散する.□ \begin{aligned} &数列a_nがコーシー列ではないことを示す．\\ &\begin{aligned} a_{2n}-a_n &=(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dotsm+\frac{1}{n}+\dotsm+\frac{1}{2n})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dotsm+\frac{1}{n})\\ &=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dotsm+\frac{1}{2n}\\ &\geqq \frac{1}{2n}\cdot n\\ &=\frac{1}{2}\\ \end{aligned}\\ &より，a_{2n}-a_n\geqq\frac{1}{2}となる．nを十分に大きくとれば\\ &\forall{N}\in{\mathbb{N}},\exist{n}\in{\mathbb{N}},2n\geqq n\geqq Nが成立することから，\\ &\exist{\epsilon}>0,\forall{N}\in{\mathbb{N}},\exist{n,m}\in{\mathbb{N}},(n,m\geqq N)\land(\left|a_n-a_m\right|\geqq\epsilon)ゆえ，数列a_nはコ\\ &ーシー列ではない．したがって収束せず，また，数列a_nは単調増加なので\\ &正の無限大に発散する.\\ &\Box \end{aligned}$$

脚注

1. $ϵ\epsilon$についての記述がありませんが，「いくらでも小さくできる」にその気持ちが含まれていると考えてください．$ϵ\epsilon$は$NN$より先に存在しています．
   ただし，そもそもこの「いくらでも小さくできる」を数学的に考えようという前提があるのにそこを隠蔽している形になってしまっているのであくまで参考程度でお願いします．