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不等間隔ノードに対する高速球面上フーリエ変換(NFSFT)

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球面上フーリエ変換

球面上フーリエ変換とは,球面調和関数による展開のことです:

f(\theta, \varphi) = \sum_{k,n} \hat{f}^n_k Y^n_k(\theta,\varphi)

ここで,fは単位球面上で定義された関数で,Y^n_kは球面調和関数です.
球面調和関数の詳細は,Wikipedia等を参照してください.

今回は,この展開の数値計算を実行するC言語ライブラリNFFTについて説明します.

NFFTでは,任意に与えられた,M 個のノード,\boldsymbol{x}_0, \dots, \boldsymbol{x}_{M-1},に対して,N 次までの球面調和関数展開を計算します.つまり,

f_j = f(\theta_j, \varphi_j) = \sum_{k=0}^N \sum_{n=-k}^k \hat{f}^n_k Y^n_k(\theta_j,\varphi_j), \quad (j = 0,\dots,M-1)

を計算します.ベクトルと行列で表すと,

\boldsymbol{f} = \boldsymbol{Y \hat{f}}
\begin{align*} \boldsymbol{f} &= (f_j)_0^{M-1} \in \mathbb{C}^{M}, \\ \boldsymbol{Y} &= (Y_n^k(\theta_j, \varphi_j))_{j=0,\dots,M-1; k=0,\dots,N, -k \leq n \leq k} \in \mathbb{C}^{M \times(N+1)^2}\\ \boldsymbol{\hat{f}} &= (\hat{f}_n^k)_{k=0,\dots,N, -k \leq n \leq k} \in \mathbb{C}^{(N+1)^2} \end{align*}

となって,結局,巨大な疎行列 \boldsymbol{Y} と巨大なベクトル \boldsymbol{\hat{f}} の積を計算する問題に帰着します.これは,通常の離散フーリエ変換と全く同じ問題ということになります.

今回は,アルゴリズムの詳細には立ち入らず,C言語ライブラリNFFTによる計算方法だけ説明します.

計算量

計算量は,

O(N^2\log^2N + M)

です.

サンプルコード

実際のサンプルを示しながら説明します.

今回は,

\hat{f}_k^n = \begin{cases} \mp \sqrt{\frac{2\pi}{3}} & \mathrm{for} \quad (k,n) = (1,\pm 1) \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases}

に対して,ランダムにノード \boldsymbol{x_0}, \dots, \boldsymbol{x}_{M-1} を与えて計算していきます.計算結果は,

f_j = \sin\theta_j \cos\varphi_j \, \, (= x_j)

となります.

以下が,サンプルコードです.

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>
#include <nfft3.h>

int main(void)
{

    const int N = 2;
    const int M = 4;
    nfsft_plan plan;

    nfsft_precompute(N, 1000.0, 0U, 0U);

    nfsft_init(&plan, N, M);

    for (int i = 0; i < plan.M_total; i++)
    {
        plan.x[2 * i] = nfft_drand48() - 0.5;
        plan.x[2 * i + 1] = nfft_drand48() * 0.5;
    }

    nfsft_precompute_x(&plan);

    for (int k = 0; k < plan.N; k++)
    {
        for (int n = -k; n <= k; n++)
        {
            if (k == 1 && (n == 1 || n == -1))
            {
                plan.f_hat[NFSFT_INDEX(k, n, &plan)] = - sqrt(2*M_PI/3)*k;
            }
            else
            {

                plan.f_hat[NFSFT_INDEX(k, n, &plan)] = 0;
            }
        }
    }

    nfsft_trafo(&plan);

    nfsft_finalize(&plan);
    nfsft_forget();

    return 0;
}

宣言

    const int N = 2;
    const int M = 4;
    nfsft_plan plan;
  • NFSFTに必要な変数を宣言します.
  • N はフーリエ級数の個数
  • M はノード点数
  • nfsft_planはNFSFTに必要な変数をメンバに持つ構造体

予備計算1

    nfsft_precompute(N, 1000.0, 0U, 0U);
  • NFSFTを計算するために,事前にグローバル変数を計算する関数です.
  • Nは以下で計算する変換における,自由度の最大値です.
  • 1000は,内部で実行される多項式変換(FTP)の上限です.
  • 2つの0UはNFSFTとFTPのフラッグです.詳細は分かりません.

よくわからない場合は,上記の設定にしておくと良いようです.

初期化

    nfsft_init(&plan, N, M);
  • 初期化です.
  • 内部で必要な変数のメモリーを動的確保しています.

ノードの設定

    for (int i = 0; i < plan.M_total; i++)
    {
        plan.x[2 * i] = nfft_drand48() - 0.5;
        plan.x[2 * i + 1] = nfft_drand48() * 0.5;
    }
  • ノードを\boldsymbol{x}_j与えます.
  • \boldsymbol{x}_j = (\theta_j, \varphi_j) を直接与えるのではなく,(\tilde{\theta_j},\tilde{\varphi}_j) \in ([0,1/2] \times [-1/2,1/2) を与えます.つまり,
\tilde{\varphi} = \begin{cases} \varphi/2\pi, & \mathrm{if} \quad 0 \leq \varphi < \pi \\ \varphi/2\pi -1, & \mathrm{if} \quad \pi \leq \varphi < 2\pi \\ \end{cases} , \quad\quad \tilde{\theta} = \theta/2\pi

を与えます.

予備計算2

    nfsft_precompute_x(&plan);
  • 不等間隔フーリエ変換に必要な予備計算を行う関数です.
  • これに関する詳細は,NFFTの記事をご覧ください.

フーリエ波数

    for (int k = 0; k < plan.N; k++)
    {
        for (int n = -k; n <= k; n++)
        {
            if (k == 1 && (n == 1 || n == -1))
            {
                plan.f_hat[NFSFT_INDEX(k, n, &plan)] = - sqrt(2*M_PI/3)*k;
            }
            else
            {

                plan.f_hat[NFSFT_INDEX(k, n, &plan)] = 0;
            }
        }
    }
  • フーリエ波数を与えます.
  • 内部では,配列の順番が異なるようなので,補助的なマクロNFSFT_INDEX使いましょう.

球面フーリエ変換

    nfsft_trafo(&plan);
  • ここまで来れば変換は簡単です.

終了処理

    nfsft_finalize(&plan);
    nfsft_forget();
  • 終了処理には,2段階あります.
  • 1つ目のnfsft_finalizeplanで確保したメモリーを破棄します.
  • 2つ目のnfsft_forgetnfsft_precomputeで確保したメモリーを破棄します.

以上です.

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