モノイド
モノイドとは、
-
台集合（underlying set）： 集合 M
-
乗法（multiplication）： 二項演算子 (\_) \cdot (\_) : M \times M \rightarrow M
-
単位元（unit）： 定数 e \in M
与えられたものです。合わせて \langle M, (\_) \cdot (\_), e \rangle と表すことがあります。
乗法
乗法という場合は、結合法則（associative law）を満たしている二項演算を指す場合が多いです。結合法則とは、任意の x, y, z \in M について、
(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)
が成り立つ、ということです。つまり、演算の順序が任意です。そのため、括弧で順序を強制する必要がありません。
乗法をカリー化（currying）しましょう。つまり、任意の x \in M について、\sigma^x : M \rightarrow M を次のように定義します。
さて、\sigma で結合法則は次の関数等式に書き換えられます。
\sigma^{x \cdot y} = \sigma^x \circ \sigma^y
確かめてみましょう。左辺に z \in M を与えると、
\sigma^{x \cdot y} (z) = (x \cdot y) \cdot z
です。一方で、右辺に z \in M を与えると、
\sigma^x \circ \sigma^y (z) = \sigma^x (\sigma^y (z)) = x \cdot (y \cdot z)
となります。たしかに、結合法則です。
単位元
e \in M が単位元であるとは、任意の x \in M について、単位元則（unit law）つまり、
-
左単位元則： e \cdot x = x
-
右単位元則： x \cdot e = x
が成り立つ、ということです。
左単位元則は \sigma で書くと次のようになります。
-
左単位元則： \sigma^e = \mathrm{id}_M
右単位元則はそうはいきません。右単位元則を表すためには、カリー化の定義を左右入れ替える必要があります。つまり、\sigma^x : M \rightarrow M を、
と定義するわけです。すると、\sigma^e = \mathrm{id}_M は右単位元則 e \cdot x = x を表します。
自己写像モノイド
任意の集合 X について自己写像全体にもモノイドを与えられます。つまり、
-
台集合（underlying set）： 集合 X^X = \{f | f : X \rightarrow X\}
-
乗法（multiplication）： 関数合成 (\_) \circ (\_) : X^X \times X^X \rightarrow X^X
-
単位元（unit）： 恒等写像 \mathrm{id}_X \in X^X
です。
さて、結合法則と左単位元則は \sigma が M から M^M への準同型（morphism）であることと同じです。つまり、
\begin{align*}
\sigma^{x \cdot y} &= \sigma^x \circ \sigma^y \\
\sigma^e &= \mathrm{id}_M
\end{align*}
上記等式を可換図式で表しましょう。
\begin{CD}
1 + M \times M @> \lbrack e, (\_) \cdot (\_) \rbrack >> M \\
@VV \mathrm{id}_1 + \sigma^{(\_)} \times \sigma^{(\_)} V @VV \sigma^{(\_)} V \\
1 + M^M \times M^M @> \lbrack \mathrm{id}_M , (\_) \circ (\_) \rbrack >> M^M
\end{CD}
上記可換図式は、直和 + と直和の普遍射 \lbrack \cdots \rbrack の記法に従っている。詳しくは記事「場合分けと排他的論理和」を見ていただければと思います。
図式を展開すれば、
\begin{align*}
\sigma^{(\_)} \circ e &= \mathrm{id}_M \circ \mathrm{id}_1 \\
\sigma^{(\_)} \circ (\_) \cdot (\_) &= ((\_) \circ (\_)) \circ \sigma^{(\_)} \times \sigma^{(\_)}
\end{align*}
となります。
おわりに ～pint-freeとpoint-wise～
二項演算をあえてカリー化して、結合法則や単位元則を書き換えました。たとえば、
(x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z)
が
\sigma^{(\_)} \circ (\_) \cdot (\_) = ((\_) \circ (\_)) \circ \sigma^{(\_)} \times \sigma^{(\_)}
になります。カリー化によって得られるのは x, y, z \in M ではなく、すべてを 1 \rightarrow M や M \times M \rightarrow M などの写像の合成で表したものです。要素（point）に依存しないということで、point-free と言ったりします。その反対に従来的な記法は point-wise と言ったりします。
関数型プログラミング（functional programming）というのも、こういう側面があります。カリー化も関数型プログラミングの概念のひとつと言っていいでしょう。
カリー化は圏論では次のような随伴関係です。
X \times Y \rightarrow Z \iff X \rightarrow Z^Y
ここでは二項演算についての随伴ですので、
M \times M \rightarrow M \iff M \rightarrow M^M
として現れていました。左辺は二項演算で右辺はモノイドからモノイドへの写像です。もし、二項演算に結合法則や単位元の概念を与えると、右辺では準同型になる。このような視点の切り替えを可能にします。
今回は左から右へ視点を切り替えましたが、別の記事で書く予定の始代数を考える場合は右から左へ視点を移すことになります。つまり、非カリー化（uncurrying）です。
たとえば、自然数の後者関数（sucsessor）\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} はカリー化すると \sigma : 1 \rightarrow \mathbb{N}^\mathbb{N} になり、それを拡張すると \sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^\mathbb{N} になります。これを非カリー化して得られるのが加法 + : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} になります。
つまり、
\mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \iff \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^\mathbb{N} \iff 1 \rightarrow \mathbb{N}^\mathbb{N} \iff \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}
という切り替えです。後者関数と加法の関係を表しています。より一般的には文字列上の連接とconsの関係を表しています。
\Sigma^{*} \times \Sigma^{*} \rightarrow \Sigma^{*} \iff \Sigma^{*} \rightarrow \Sigma^{*^{\Sigma^{*}}} \iff \Sigma \rightarrow \Sigma^{*^{\Sigma^{*}}} \iff \Sigma \times \Sigma^{*} \rightarrow \Sigma^{*}
詳しくは別の記事で書きます。
Discussion