ここで $P_1$ が成り立つ $x \in X$ の集合を $X_1 \subseteq X$ 、 $P_2$ が成り立つ $x \in X$ の集合を $X_2 \subseteq X$ とすると、排他的論理和が成り立つことは $X$ が $X_1$ と $X_2$ の直和（direct sum）になるということです。つまり、

X = X_1 \amalg X_2

が成り立ちます。

排他的論理和を含めた集合と論理

論理和 $\lor$ と論理積 $\land$ は集合の和集合 $\cup$ と積集合 $\cap$ に対応していました。つまり、

x \in X_1 \cup X_2 \iff x \in X_1 \lor x \in X_2 \\ x \in X_1 \cap X_2 \iff x \in X_1 \land x \in X_2

です。ここに排他的論理和と直和の関係が加わります。

x \in X_1 \amalg X_2 \iff x \in X_1 \oplus x \in X_2 \\

直和による場合分け

直和によって場合分けを書き換えられます。つまり、 $f_1 : X_1 \rightarrow Y$ と $f_2 : X_2 \rightarrow Y$ が与えられれば、場合分けにより次のように $f : X_1 \amalg X_2 \rightarrow Y$ が一意に定まります。

f (x) = \begin{cases} f_1(x) & \cdots& x \in X_1 \\ f_2(x) & \cdots& x \in X_2 \end{cases}

この関数 $f$ を $\lbrack f_1, f_2 \rbrack : X_1 \amalg X_2 \rightarrow Y$ と表しましょう。つまり、

\lbrack f_1, f_2 \rbrack (x) = \begin{cases} f_1(x) & \cdots& x \in X_1 \\ f_2(x) & \cdots& x \in X_2 \end{cases}

です。

ひとつの略記の方法と考えてもいいかもしれません。つまり、 $\lbrack f_1, f_2 \rbrack: X_1 + X_2 \rightarrow Y$ は $f_1 : X_1 \rightarrow Y$ 、 $f_2 : X_2 \rightarrow Y$ を略記したものである、と。

圏論における余積

集合の直和は圏論における余積（coproduct）になります。

$X_1$ と $X_2$ の余積 $X_1 \xrightarrow{\iota_1} X_1 + X_2 \xleftarrow{\iota_2} X_2$ とは、任意の $f_1 : X_1 \rightarrow Y$ と $f_2 : X_2 \rightarrow Y$ が与えられたとき、次を満たす $f : X_1 + X_2 \rightarrow Y$ が一意に定まる。

f_1 = f \circ \iota_1 \\ f_2 = f \circ \iota_2

ただし、 $\iota_1 : X_1 \rightarrow X$ と $\iota_2 : X_2 \rightarrow X$ は挿入関数（inclusion）です。

$f$ は $f_1$ と $f_2$ により一意に定まる普遍射です。この普遍射が $\lbrack f_1, f_2 \rbrack$ であり、この普遍性が $\text{well-defined}$ であることを与えています。

圏論の記法に合わせて集合の直和も $\amalg$ ではなく $+$ で表しましょう。たとえば、次のような記法で書くことができます。

例（自然数）

自然数の集合 $\mathbb{N}$ 上にはゼロ $0 : 1 \rightarrow \mathbb{N}$ と後者関数 $\sigma : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ が定められています。これを直和によって次のように表すことができます。

1 + \mathbb{N} \xrightarrow{\lbrack 0, \sigma \rbrack} \mathbb{N}

ただし、 $1$ は単元集合 $1 = \{0\}$ です。 $\mathbb{N}^1 = \{n | n: 1 \rightarrow \mathbb{N} \}$ とすれば $\mathbb{N} \simeq \mathbb{N}^1$ という関係から、

\begin{align*} 0 \in \mathbb{N} &\iff 0 \in \mathbb{N}^1 \\ &\iff 0 : 1 \rightarrow \mathbb{N} \end{align*}

となります。

例（モノイド）

集合 $M$ 上の単位元 $e : 1 \rightarrow M$ と乗法 $(\_) \cdot (\_) : M \times M \rightarrow M$ から成り立つモノイド $\langle M , e, (\_) \cdot (\_) \rangle$ とする。これを直和によって次のように表すことができます。

1 + M \times M \xrightarrow{\lbrack e, (\_) \cdot (\_) \rbrack} M

例（群）

集合 $G$ 上の単位元 $e : 1 \rightarrow G$ と乗法 $(\_) \cdot (\_) : G \times G \rightarrow G$ と逆 $(\_)^{-1} : G \rightarrow G$ から成り立つ群 $\langle G , e, (\_) \cdot (\_), (\_)^{-1} \rangle$ とする。これを直和によって次のように表すことができます。

1 + G \times G + G \xrightarrow{\lbrack e, (\_) \cdot (\_), (\_)^{-1} \rbrack} G

例（閉包としての自然数）

厳密ではありませんが、自然数の集合 $\mathbb{N}$ は、

\mathbb{N} = 1^{*} = 1 + 1^2 + 1^3 + \cdots = 1 + 1 + 1 + \cdots

と考えられます。つまり、

\mathbb{N} \xrightarrow{\lbrack 0, 1, 2, \cdots \rbrack} \mathbb{N}

です。

補足（直和の構成）

しばしば、直和は直積で次のように構成されます。

\begin{align*} X_1 \amalg X_2 &= X_1 \times 1 \cup 1 \times X_2 \\ &= \{(x_1, 0) | x \in X_1 \} \cup \{(0, x_2) | x_2 \in X_2\} \end{align*}

この定義に従えば次のような場合分けになります。

\lbrack f_1, f_2 \rbrack (x_1, x_2) = \begin{cases} f_1(x_1) & \cdots & x_2 = 0 \\ f_2(x_2) & \cdots & x_1 = 0 \end{cases}

直積による定義はあくまで定義のひとつです。場合分けが可能であれば普遍性を満たすため直和になります。

補足（Either型）

直和はデータ型で考えると理解しやすいです。

data Either a b ::= Left a | Right b
either                  :: (a -> c) -> (b -> c) -> Either a b -> c
either f g (Left x)     =  f x
either f g (Right y)    =  g y

コンストラクタ Left, Right が場合分けを可能にしています。

参考文献

リチャード・バード『プログラミングの代数（Algebra of Programming）』第2章「関手と圏」第5節「積と余積（Products and coproducts）」

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場合分けと排他的論理和

排他的論理和と直和