中学1年の数学を整理し直す｜Layer 1

どのような人に向けて作られた記事か？

中学1年の数学を学び直したい人

実用数学技能検定で5級を取りたい人

この記事は、平成29年告示の学習指導要領に則った内容です。

はじめに

• ［一覧，著者，経緯，注意点］

見開き部分（ざっくり要点をおさえる）

数学検定の過去問対策

• 図形で頂点を表す記号というと、角度の記号ではなく単純にアルファベットのこと
• ある正方形の外周1辺の配置数が決められているとき、周全体の配置数を4等分すれば適当な配置数が求まる
• 作図にコンパスをつかう場合、半径について同手順とみなし、作図対象も手順のひとつに含める
• 答えが小数第何位までかを指定されている場合、本数で聞かれても小数で答える
• 約数の個数を比較する場合、表にまとめる
• 拡大図の問題で四角形が拡大図か聞かれたときは、対応する辺の長さの比の値がすべて同じであるか確認する
• 場合の数の問題で重複になる人数を聞かれたときは、先に何通りの並び方があるか確認する
• 周長が同じ四角形を比べたとき、正方形の面積がもっとも大きいのは、線分に近づくほど面積が縮むから
• 縮図や拡大図の作図では、分かりにくい頂点を辺上で移動させる形とする

応用問題

• 2つの文字の正負の違いによって加減乗除の結果の正負の判定も変わる
• 基準との差をつかって平均を求めるのは帯分数の計算方法に似ている
• 2の累乗の［一の位の数］は［2,4,8,6］の4種類に分類される
• 特定の値を整数の平方にするためには、素因数分解を用いて乗算する素数を決定する
  ＊例えば$2^6$と$8^2$は同じであるから、特定値が$2^5$なら2を乗算する
• 最大公約数と最小公倍数が与えられたとき、それらを満たす自然数の組は［変動する素数の組み合わせの数+1］通りである
  ＊ここで+1は、自然数の組が最大公約数と最小公倍数になる場合である
• 2つの円錐の底面の半径が与えられており、円錐の側面展開図を合わせて円になるとき、それぞれの母線の長さは等しいので各底面の円周から母線を求め、各円錐の側面積を求める
• 立体表面上の最短距離は展開図を描いて2点を線分で結ぶ

文章問題

一覧

• 基本：［連続数，自然数，分配，代金，過不足，平均，年齢，割合，割引，面積，濃度］
• 速さ：［追付時間，追付地点，変速，往復，周回］
• 比例反比例：［歯車，釘，水槽，燃料，仕事，地点，動点，図形］

問題別における注意点

• 割引：利益は原価に対して生じる
• 濃度：速さのキハジの表と同様に塩全濃の表で覚える
  ＊真水が含まれる場合は全体の質量を先に求める
• 速さ：指定がなければ速さの単位を基準に合わせる

認識における注意点

• 問題中の単位は解答に合わせて換算する
• 単位を単位で除算する意識をもち、これは分数の除算であり単位の係数を1としたときの解答が文章問題の解答の単位である
• 文章問題では解答導出に使わない数の表現が出ることがある
• 文章問題は文字式情報に落とし込んで解く
• 求めるものをxとする
• ［被除数，除数，商，剰余］の関係は等式にできる
• 問題文や式の構成から関係式なのか関数なのか判断して書き分ける
• 関係式は関数$y=ax$の形のようにyを先頭に書かずxが先でも良い
• 比例や反比例の表のxは問題の都合上、連続数ではない場合がある
• 度数分布表で点数が上から◯番目と指定されたとき、表示上で階級の上からという意味ではなく、点数の高い順という意味で表現される場合を含む
• 測定値で測定の位を聞かれたときは有効数字の最小の位を答える
• 垂直記号は線分の端でなくても適用できる
• 半円の周の長さを問われたときに直径部分も含めて求める
• 円錐の表面積はできるだけ展開図を描いて求める方が分かりやすい

言葉遣いの注意点

• 式：文字式
  • ［$𝑥,𝑦,𝑧$］：未知数としての伝統
  • $𝑛$：「数(number)」の頭文字であり整数や自然数を意味する
  • 他アルファベット：該当英単語の頭文字自身を含む前後の文字等が採用される
• 数：分類や物が何個あるかを指し、下記を含む呼び方である
  • 値：ある問題や式の答え
  • 数値：測定された値や物の長さ
  • 数字：数を文字と区別して表現する
  • 数量：物の分量を数で表現する
  • 基本的には［慣習＋連想しやすさ］の積み重ね

数の表し方の整理（分数・正負・加減乗除の構造理解）

分数

• 分数の中央に引かれる横線のことを括線と呼ぶ
• 中学数学以降においては必ずしも仮分数を帯分数に直さずともよい
  ＊仮分数の数直線位置を把握していることを前提として、仮分数のまま計算することが増えるから
• 乗算と除算は被乗数や被除数の括線の上下に移動して表記可能であることから分解表記も可能である
• 係数が分数の方程式は分母の最小公倍数を両辺に乗算する
  ＊通分の仕組みをつかう
  ＊分母をはらうとも呼ぶ

割合

• 比の値：$x:y$と表された比を$\frac x y$のように分数で表したもの
• 比を簡単にする：比をできるだけ小さな整数の比になおすこと
• 比の相等：比の値が等しいこと
• 比例式の性質：比の相等を前提として、両辺の比の値を求め分母同士を乗算したものを両辺に乗算して得られる内項の積と外項の積の関係式

正負の数の符号

• $x>0$：xは正の数→符号は正の符号［+］を左につける
  ＊整数の場合は自然数と呼ぶ
• $x<0$：xは負の数→符号は負の符号［-］を左につける
  ＊+の反対の性質を表すので、「-5の加算」→「5の減算」
• $x=0$：xは正の数でも負の数でもない

正負の数の数直線

• 原点：0
• 正の数：原点より右側
• 負の数：原点より左側
• 絶対値：数直線上の原点からの距離
  ＊符号のないもの

正負の数の分類

• 実数：数直線上に書ける数
  • 原点
  • 整数
    • 正の整数：自然数
    • 負の整数
  • 分数
    • 正の分数
    • 負の分数
  • 小数
    • 正の小数
    • 負の小数

正負の数の計算

• 加算
  • 同符号の和：絶対値の和に共通の符号をつける
  • 異符号の和：絶対値の差に絶対値の大きい方の符号をつける
• 減算
  • 符号が反対する性質から加算に直して計算する
• 乗算
  • 受取重複：$正の数×正の数=正の数$
    ＊例えば、1人が4個受け取る行為を、2回繰り返すと8個受け取ることになる
  • 受取反転：$正の数×負の数=負の数$
    ＊例えば、1人が4個受け取る行為を、2回向き返すと8個与えることになる
  • 譲与重複：$負の数×正の数=負の数$
    ＊例えば、1人が4個与える行為を、2回繰り返すと8個与えることになる
  • 譲与反転：$負の数×負の数=正の数$
    ＊例えば、1人が4個与える行為を、2回向き返すと8個受け取ることになる
• 除算
  • 受取分担：$正の数÷正の数=正の数$
    ＊例えば、1人が4個受け取る行為を、2人で分担すると2個ずつ受け取ることになる
  • 受取準備：$正の数÷負の数=負の数$
    ＊例えば、1人が4個受け取るために、2人が準備すると2個ずつ与えることになる
  • 譲与分担：$負の数÷正の数=負の数$
    ＊例えば、1人が4個与える行為を、2人で分担すると2個ずつ与えることになる
  • 譲与結果：$負の数÷負の数=正の数$
    ＊例えば、1人が4個与えた結果として、2人が2個ずつ受け取ることになる

累乗

同じ数の乗算が続く場合を累乗と呼ぶ

• 底：繰り返し乗算する元となる数
• 指数：底の右上に記入し何回同じ乗算を行うかを示す
  ＊括弧を伴う答えのときには括弧の外に記入する
  ＊分数の累乗は分子と分母をそれぞれ指数の数だけ乗算する
  ＊2乗のことを平方、3乗のことを立方とも呼ぶ

加減乗除の型

• 加算や減算を含む3つの数以上の計算は全ての括弧を外して、同符号同士まとめて計算する
• 各数を符号で管理するため、減算も式の先頭を含めた交換が可能となる
  • 同符号同士をまとめない場合
    1. 分数の分母が揃っているとき
    2. 部分的な計算結果が計算しやすい数になるとき
• 加減乗除を含む3つの数以上の計算は加減乗除の法則に従う
  ＊乗算を含む式のときは最初に分配法則を適用することで計算が簡単になる場合がある
  ＊除算の部分を式の先頭と交換すれば逆数の扱いになるため、分数の乗算に直すことで交換が可能となる

累乗を含む加減乗除の計算順序

1. 累乗付き括弧内を計算する
2. 累乗を計算する
3. 括弧内を計算する
4. 乗算と除算を計算する
5. 加算と減算を計算する

素数

• 素数：約数が1と自分自身の2つしかない自然数のこと
• 因数：数や式を作るための乗算で使われる数のこと
  ＊似た意味の「約数」では、整数のみを対象としている
• 共通因数：数や式に共通する因数のこと
• 因数分解：数や式を可能な限り簡単な積の形で表すこと
• 素因数分解：自然数を可能な限り小さい素数の積の形で表すこと
  ＊大きい数を素因数分解するときは小さな素数から順に割っていく
  ＊同じ数が続く場合は累乗をつかって表す

最大公約数と最小公倍数

• 最大公約数：共通の素因数に小さい方の指数をつけて積にする
• 最小公倍数^[1]：全ての素因数に大きい方の指数をつけて積にする

文字式の基礎と意味（やり直し・式の構造理解）

概要

• 代入：式のなかの文字を数字に置き換えること
  ＊負の数の場合は括弧をつけて代入する
• 式の値：代入して計算した結果
• 項：式を符号の前で区切ったもの
• 係数：数字と文字の積の数字部分
  ＊括弧を含む式部分の係数が1のとき、分配法則で符号の変わる場合がある
• 元数：式全体の文字の種類数
• 1元式：1種類の文字と数の和でできている式
• 次数：各項の文字数
• 1次式：最高次数が1次の項と数の和でできている式
  ＊数字だけの部分はまとめる
• 同類項：同じ次数の同じ文字を持つ項
  ＊分配法則の逆の操作をし、共通因数でまとめることができる

文字式の積の表し方

• 乗算の記号は省く
  ＊除算は乗算に直して省く
• 数字と文字の積では数字を先に書き1は省く
• 文字はふつうアルファベット順に書く
• 括弧内で加減する場合、括弧全体を1つの文字のように扱う
  ＊この括弧はアルファベットよりも後ろの扱いとする

文字式の商の表し方

• 除算の記号の代わりに分数の括線をつかう
• 分子や分母全体につく括弧は省く
• 負の符号は分数の前に書く

関係式

等式

［=］を使って2つの数量が等しい関係を表した式

• 左辺：等号の左側
• 右辺：等号の右側
• 両辺：左辺と右辺をあわせた呼び方
  ＊両方を同じ数字で加減乗除しても成り立つ
  ＊等式は左辺と右辺を入れ替えても成り立つ

不等式

不等号を使って2つの数量の大小関係を表した式
＊等式の等号を不等号に置き換えると各部分の名称は同じなので省略する

• 不等号には種類がある
  • ＞：〜より大きい
  • ＜：〜より小さい
  • ≧：〜以上
  • ≦：〜以下

方程式

式の中にある値を代入すると成り立つ等式

• 1元1次方程式：文字種類数1かつ最高次数1の方程式
• 解：方程式を成り立たせる値
• 方程式を解く：方程式の解をもとめること
• 移項：左辺または右辺の項を符号を変えて他方に移動すること

関数とグラフの理解（比例・座標の関係整理）

関数

• 変数：いろいろな値をとる文字
• 関数：変数xの値を決めると、それにともなって変数yの値が1つだけ決まる。このような場合yはxの関数であるという
• 変域：変数のとりうる値の範囲
  • 不等号を使って表す場合、端の数を含むときは≦、含まないときは＜をつかう
  • 数直線上に図で表す場合、端の数を含むときは ●、含まないときは○をつかう
  • 最大値：変数のとりうる最も大きい値
  • 最小値：変数のとりうる最も小さい値
    ＊［最大値，最小値］という用語は上記の意味を基本として他の分野でも使用される
• 比例：xとyの関係が$y=ax$となるとき 「yはxに比例する」という
• 反比例：xとyの関係が$xy=a$となるとき 「yはxに反比例する」という
• 比例定数：上記aのこと
  ＊ここでいう比例や反比例は実質的に符号を無視するため絶対値についての関係である

座標

関数ではxとyの値の組を座標で表す

• 座標軸
  • x軸：横の数直線(横軸)
  • y軸：縦の数直線(縦軸)
• 座標平面：座標軸のある平面のこと
• 原点：座標軸が交わる点O
• 対称：軸または原点を基準に折り返して重なること
• 象限：原点を中心として座標軸で区切られた領域のこと［第1：(正,正)，第2：(負,正)，第3：(負,負)，第4：(正,負)］
• 交点：垂線と各座標軸や直線同士の交わる点
• グラフの象限
  • 比例定数aが正の数なら1と3、負の数なら2と4になり、それぞれ点対称である
  • 軸上の点は象限に含まれない
• 比例のグラフ：原点を通る直線
  • 傾き：比例定数aのこと
• 反比例のグラフ：原点を通らない2つの曲線
  • 双曲線：上記のこと
  • 比例のグラフを対称の軸として線対称である
    ＊反比例の関数にしたがってxの増減とyの増減が反転しているから

データ分布

主に度数分布表をつかって表す

各名称

• 分布の範囲：あるデータの最大の値から最小の値を減算した値
• 度数分布：最小最大範囲を持つ項目ごとにどれぐらいの割合で個数が配分されるのか表や棒グラフにすること
• 階級：度数分布の最小最大範囲を持つ各項目の呼称
• 度数：特定の階級に含まれるデータの個数
• 累積度数：特定の階級までの度数の合計
• 相対度数：ある階級の度数を度数の合計で除算したもの
• 累積相対度数：ある階級の累積度数を度数の合計で除算したもの
• 階級の幅：階級の範囲の幅
• 代表値：［平均値，中央値，最頻値］の総称
  • 平均値：データの値の合計をデータの総数で除算した値
  • 中央値：データを昇順に並べたときの中央の値
  • 最頻値：データの中でもっとも多く現れる値
• 階級値：階級の中央値
  ＊度数分布表全体の「中央値」や「最頻値」としても階級値をつかう
• 測定値：ある対象を測定した値
• 近似値：ある値に近い測定値や四捨五入して得られた値のこと
• 真の値：近似値の目安となる値
• 誤差：近似値と真の値の差
  ＊四捨五入による誤差の絶対値は最大でも0.5である
• 有効数字：［整数部分が1桁の小数］×［10の累乗］
  ＊四捨五入して切り上げもしくは切り捨てられた部分を除く

度数分布表のグラフ表現

• 棒グラフの場合には各階級に対応する個数を積み上げる
• 棒グラフの上辺中点を結び度数折れ線グラフを作図できる

平面図形の考え方（性質・作図・円の基礎）

概要

• 直線：限りなくのびる真っ直ぐな線
• 線分：直線のうちのある点からある点までの部分
  ＊長さが等しい場合は「=」で表す
• 半直線：線分の片方を限りなく延長した線
• 頂点：線分と線分が端で交わる点
• 中点：線分を二等分する点
• 辺：頂点を作る線分
• 垂線^[2]：垂直に交わる直線
• 距離^[3]：ある場所までの道のり
• 2点間の距離：線分の長さ
• 点と直線の距離：垂線の長さ
• 垂直二等分線：線分の中点を通る垂線で、点からの距離が等しい
• 角の二等分線：ある角を二等分する線で、辺からの距離が等しい
• 平面：1直線上にない3点を通る
  ＊または［直線と1点，平行な2直線，交わる2直線］によって、ある直線を軸とする平面の回転を制限する
• 外周：周長に値する周そのもの、あるいは図形の1辺に対する周全体のこと

記号

• ［//］：平行
• ［⊥］：垂直
• ［△］：三角形
• ［∠］：角度

作図

• 垂線と二等分線：三角形の合同条件を用いる
• 円の中心：任意の点の垂直二等分線の交点
• 角度：指定された角度になる点を求めるときには二等分線をつかう
  ＊正三角形の60°や垂線の90°を基点として作図していく
• 平行線：垂線の垂線
• 円の接線：半径半直線の垂線
• 外接円の中心：垂直二等分線の交点
• 内接円の中心：角の二等分線の交点
• 対称の軸：対応する点どうしを結んだ線分の垂直二等分線
• 回転の中心：対応する点どうしを結んだ線分の垂直二等分線の交点のことで、対称の中心に回転の概念を含めた呼称
• 最短経路：対称な点と目的地を結ぶ直線
• 半円接線内接円の中心：直径と接線を延長した角の二等分線と半円の中心と接点を結ぶ直線の交点
  ＊接点が指定されているとき、半円の半径上に内接円の中心がある

図形の移動

• 平行移動：図形を一定の方向に一定の距離だけ動かす移動で、対応する点を結ぶ線分は平行かつ長さが等しい
• 対称移動：図形をある直線を折り目として折り返す移動で、対称の軸は対応する点を結ぶ線分の垂直二等分線になる
• 回転移動：図形をある点を中心として一定の角度だけ回転させる移動で、対応する点は回転の中心からの距離が等しく、対応する点と回転の中心を結んでできる角の大きさはすべて等しい
• 点対称移動：180°の回転移動のこと

円

• 円
  • 円周率：$π$（パイ）
  • 半径：$r$
  • 円周：$l=2πr$
  • 面積：$S=πr^2$
  • 接線：円周と接しており、半径と垂直な線^[4]
  • 接点：円と接線の交点
  • 外接円：図形のすべての点が接点となるような円
  • 内接円：図形のすべての辺が接線となるような円
• 扇形：円の一部
  • 中心角：$a$［扇形で2つの半径がつくる角］
  • 弧：$l=2πr × {\frac a {360}}$［扇形の円周部分］
  • 弦：弧の両端を結ぶ最短距離の線分
  • 面積：$S=πr^2 × {\frac a {360}}$
    • 公式：$S={\frac 1 2}lr$
  • 角度：$a=360×{\frac l {2πr}}$

空間図形の基礎（立体の体積・展開図の理解）

概要

• 直線と直線の位置関係：［平行，交わる，ねじれ］
• 平面と平面の位置関係：［平行，交わる］＊空間は限定されるので、ねじれは含まない
• 平面と直線の位置関係：［平行，交わる，平面上］
• 平面と直線の垂直：平面上の2直線の交点で交わる垂線は平面の垂線である
  ＊平面上の直線が垂線の傾きを制限する
• 底面積：立体の底面を形作る面積のこと
• 側面積：立体の側面を形作る面積のこと
• 表面積：底面積と側面積を足し合わせたもの

作図表現

• 見取図：立体の全体像を見た様子そのままの形
• 展開図：立体を辺で切り開いた形
• 立面図：立体を正面から見た形
• 平面図：立体を真上から見た形、底面の形
• 投影図：立面図と平面図を描き合わせたもの

錐

• $体積 = 底面積×高さ×{\frac 1 3}$
  ＊立方体の頂点を空間的平面的に点対称な点で、同じ錐に3分割できるから
• 底面がどのような形であれ上記公式は適用可能である
  1. 四角錐：四角形は正方形の横か縦の長さが違うだけだから
     ＊公式の高さが異なっても交換法則が適用できる
  2. 三角錐：三角形は四角形の半分だから
  3. 多角錐：多角形は三角形の集まりだから
  4. 円錐：円周率は正多角形による近似値だから

球

• 球：半球を2倍したもの
  ＊半球は円を小刻みに輪切りで追加したもの
• 体積：${\frac 4 3}πr^3$
• 表面積：$4πr^2$
  ＊これらの公式を求めるには高校の数学Ⅱで習う定積分の知識が必要である

回転体

［円錐，円柱，半球］を組み合わせたもの

• 母線：円柱や円錐の側面を形作る部分の長さのこと

宣伝

• 算数を学び直してアルゴリズムを理解する: シリーズの第一歩

参考サイト

• 実用数学技能検定 算数5級
• 平成29年告示 中学校学習指導要項 数学
• 中学校数学・学習サイト

---

脚注

1. 例えば10を20にするのに2倍、10を30にするのに3倍、最小公倍数の仕組みから見ると、正方形の1辺を形成するために、それぞれの倍数が影響し合うことで最小公倍数60が求まる。

2. 垂線の作図に使う交点を結ぶ三角形は線対称になるから、直線の垂線は対称の軸でもあり直線に90度で交わる。

3. 問題の出し方にもよるが基本は、ある場所までの最短距離のことを「距離」と呼び、真っ直ぐ向かうのが一番早いので線分である。
   現実的には道のりに障害物があったり、道が飛び飛びであったり、行き止まりであったり、分岐していたり、曲がっていたり、斜めであったり、中継地点があったりするので、それらをふまえた単語として「距離」が用いられる。

4. なぜ垂直か？