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【ePrint解説】Liberating TFHE 1/4

2022/09/25に公開約4,900字

2週間前の9/9(金)にIACRに掲載されたePrint(以下めんどいので論文とかペーパーとか)について解説します.

対象とするペーパーは次のとおりです:

M. Joye, M. Walter: "Liberating TFHE: Programmable Bootstrapping with General Quotient Polynomials", Cryptology ePrint Archive, 2022.

*ZamaのePrintでは,なぜか花文字が多く出てくる(𝒻, 𝓅, 𝓋 など)のですが,わざわざ花文字を使う必要性を感じないので,普通のアルファベットで書きます
*プログラマブルブートストラップの内容は仮定します(詳しくは今回の「2,3章について」

全4回通しでの目次

第1回(イマココ)

  • 本論文全体の流れ
  • 2,3章について
  • 4章でやりたいこと
  • 4.1 Monomial Multiplication in (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})[X] / (p(X))

第2回

第3回

第4回

本論文全体の流れ

  • どういう背景や課題・モチベーションがあって,
  • どのようなアイディアのもとで,
  • どのような結果が得られたのか

を整理します.

背景・課題
現在のプログラマブルブートストラップで用いられているFFTは有限の精度で近似する必要があり,NTTを用いるにはいくつかのパラメタに制約がある

アイディア
円分多項式として用いられる X^N + 1 を「性質の良い」多項式(これ以外の円分多項式とか)に拡張する

結果
プログラマブルブートストラップで用いられるFFTをNTTへと一般化し,test vector をプログラムするためのいくつかの公式が与えられた

それらを元に各章を整理すると,次のようになります:

1章:イントロ
2章:FFTやNTTの導入
3章:プログラマブルブートストラップ
4章:一般化プログラマブルブートストラップ
5章:プログラマブルブートストラップの関数
6章:ノイズ
7章:パラメタの例

一番言いたいことは4章, 5章です.6, 7章も触れます.

2,3章について

そんなこんなで,今回はこの2つに関しては省略します.2章は別で記事を書いているので,そちらを参照してください.
3章は,プログラマブルブートストラップの原著論文を理解する回 4/4に大体書かれています.3.2については触れられていませんが,「背景・課題」と「アイディア」で書いた部分が詳しく書かれているので,興味のある方はお読みください.

4章でやりたいこと

現在のプログラマブルブートストラップでは,平文空間などは (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})[X] / (X^N + 1) なる剰余環で考えています(q, N 共に2べき).
この X^N + 1 の部分を一般化しようと思うと,例えば,N を変えて他の円分多項式を使うなどが考えられます.その変更を行なった際に,そもそもどのような演算なのか,や,プログラマブルブートストラップで必要な Blind Rotation などの処理がどのように変更されるのか,を考察していきます.

その際に,N を2べきにする必要ないのであれば,(\mathbb{Z} / q \mathbb{Z}) の部分も一般化してOKなので,以降では,一般の(単位元を持つ)環 R とします.
*論文には書かれていませんが,記事内では可換環とします(そうでないと結論としておかしい部分があるため)

4.1

*タイトルだと,「Monomial Multiplication in (\mathbb{Z} / q \mathbb{Z})[X] / (p(X))」になっていますが,正しくは,「Monomial Multiplication in R[X] / (p(X))」です

R 上のモニック(最高次係数が1)な N 次多項式 p(X) = X^N + p_{N - 1} X^{N - 1} + \cdots + p_1 X + p_0 を取ります.そして,p(X) は次の条件を満たすものとします:

  • ある正整数 M が存在して,p(X)X^M - 1 を割り切る

p(X) は既約でなくてもOK

便宜上 p_N = 1 として,\displaystyle p(X) = \sum_{j = 0}^N p_j X^j と書きます.ここで,次の命題が成り立ちます:

*次のProp1, 2は論文と記載の順が逆ですが,こちらの方が議論として綺麗かなと


\underline{\mathrm{Prop1}}
p_0R で可逆


証明
「ある正整数 M が存在して,p(X)X^M - 1 を割り切る」から,ある R 上の多項式 q(X) が存在して,X^M - 1 = p(X) q(X) と表せます.また,p(X)N 次多項式であることから,q(X)M - N 次多項式であり,特に \displaystyle q(X) = \sum_{i = 0}^{M - N} q_i X^i となります(q_{M - N} = 1 に注意).
X^M - 1 = p(X) q(X) の定数項に注目すると,-1 = p_0 q_0 が成り立ちます.よって,p_0 (- q_0) = 1 ゆえ,示されました.


また,次の命題が成り立ちます:


\underline{\mathrm{Prop2}}
R[X] / (p(X)) において,\displaystyle X^{-1} = (- p_0)^{-1} \sum_{j = 0}^{N - 1} p_{j + 1} X^j が成り立つ


証明
R[X] / (p(X)) では(mod p(X) なので),p(X) = 0 i.e. \displaystyle \sum_{j = 0}^N p_j X^j = 0 です.すると,R[X] / (p(X)) において,\displaystyle \sum_{j = 1}^N p_j X^j = - p_0 が成り立ちます.
よって,R[X] / (p(X)) において,\displaystyle (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^j = 1 なので(Prop 1 より p_0^{-1} が存在),両辺に X^{-1} を掛けて,

\begin{align*} X^{-1} & = (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^j X^{-1} \\ & = (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^{j - 1} \\ & = (- p_0)^{-1} \sum_{j = 0}^{N - 1} p_{j + 1} X^{j} \end{align*}

ゆえ,示されました.

*ちなみに,\displaystyle \sum_{j = 1}^N p_j X^j = - p_0 から \displaystyle (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^j = 1 を導出する部分は,左から (- p_0) 掛けています,\displaystyle (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^j = 1 から \displaystyle X^{-1} = (- p_0)^{-1} \sum_{j = 1}^N p_j X^j X^{-1} を導出する部分は,右から X^{-1} を掛けています


さて,N - 1 次多項式 \displaystyle v(X) = \sum_{i = 0}^{N - 1} v_i X^i \in R[X] / (p(X)) を取ります.便宜上 (v(X))_i := v_i と書くことにします.
すると,v_N = 0 として,

\begin{align*} X^{-1} v(X) & = X^{-1} \sum_{i = 0}^{N - 1} v_i X^i \\ & = \sum_{i = 0}^{N - 1} v_i X^{i - 1} \hspace{10pt} \cdots (\star) \\ & = \left( \sum_{i = 1}^{N - 1} v_i X^{i - 1} \right) + v_0 X^{-1} \\ & = \left( \sum_{i = 0}^{N - 2} v_{i + 1} X^i \right) + v_0 (- p_0)^{-1} \left( \sum_{j = 0}^{N - 1} p_{j + 1} X^j \right) \hspace{10pt} \because) \mathrm{Prop 2} \\ & = \left( \sum_{i = 0}^{N - 2} v_{i + 1} X^i \right) + (- p_0)^{-1} v_0 \left( \sum_{j = 0}^{N - 1} p_{j + 1} X^j \right) \hspace{10pt} \cdots (\star) \\ & = \left( \sum_{i = 0}^{N - 2} (v_{i + 1} + (- p_0)^{-1} v_0 p_{i + 1}) X^i \right) + (- p_0)^{-1} v_0 p_N X^{N - 1} \hspace{10pt} \because) 同類項を整理 \\ & = \sum_{i = 0}^{N - 1} (v_{i + 1} + (- p_0)^{-1} v_0 p_{i + 1}) X^i \hspace{10pt} \because) v_N = 0 \\ & = \sum_{i = 0}^{N - 1} (v_{i + 1} + (- p_0)^{-1} p_{i + 1} v_0) X^i \hspace{10pt} \cdots (\star) \\ \end{align*}

となりますので,X^{-1} v(X) = \sum_{i = 0}^{N - 1} (v_{i + 1} + (- p_0)^{-1} p_{i + 1} v_0) X^i を得ます.これは,Blind Rotation で見る形(test vector を回す部分)に対応しています.

*上の式変形で (\star) とした部分で R の可換性を使っています


今回の内容はここまでです.ここまでご覧になってくださった方々ありがとうございます!

Discussion

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