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QR-UOV 理解ログ 5/7

2022/08/01に公開約3,700字

前回からの続きです.

QR-UOV 理解ログ 1/7
QR-UOV 理解ログ 2/7
QR-UOV 理解ログ 3/7
QR-UOV 理解ログ 4/7

全7回通しでの目次

第1回

  • 本論文全体の流れ
  • MQ問題
  • 多変数多項式暗号署名方式
  • UOV署名方式

第2回

  • 巡回行列と逆巡回行列
  • BAC-UOV 署名方式
  • BAC-UOV への Structual Attack

第3回

  • 多項式行列
  • 今回の主定理

第4回

  • 前回の主定理の例
  • f の既約性

第5回

  • Description
  • 鍵生成アルゴリズム

第6回

第7回

突貫で書いてしまった部分もあるので,大いに誤りを含む可能性があります.誤字・脱字レベルでも構いませんので,ご指摘ください.
また,予告なしに内容の加筆や構成の変更を行うことがありますが,読みやすくするためのものですので,ご容赦ください

Description

\ell, v, m を正整数として,v, m\ell で割り切れ,v > m とします.また,n := v + m, N = \frac{n}{\ell} と置きます.
f \in \mathbb{F}_q[x]\ell 次の既約多項式として,W を可逆行列として,W A_f の任意の行列が対称行列とします.
1 \leq i, j \leq NX_{i, j} \in A_f \subset \mathbb{F}_q^{\ell \times \ell} とします.\begin{pmatrix} X_{11} & \cdots & X_{1N} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ X_{N1} & \cdots & X_{NN} \end{pmatrix} を任意の元とする \mathbb{F}_q^{n \times n} の部分空間 A_f^{(N)} を考えます.
また,n \times n 行列 W^{(N)} = \begin{pmatrix} W & & \\ & \ddots & \\ & & W \end{pmatrix} とします.

ここで,次の命題が成り立ちます.


\underline{\mathrm{Prop}}
任意の X \in A_f^{(N)}, \ Y \in W^{(N)} A_f^{(N)} として,X^{T} Y X \in W^{(N)} A_f^{(N)} である.


証明
\mathbb{F}_q[x] / (f) の任意の元 g を取ると,A_f の元は,\Phi_g^f と表せることを思い出します.

参考:QR-UOV 理解ログ 3/7「多項式行列」

N = 1 のとき,\mathbb{F}_q[x] / (f) の任意の元 g_X, g_Y を取ると,X = \Phi_{g_X}^f, \ Y = W \Phi_{g_Y}^f と表せます.よって,

\begin{align*} X^T Y X & = (\Phi_{g_X}^f)^T (W \Phi_{g_Y}^f) \Phi_{g_X}^f \\ & = (\Phi_{g_X}^f)^T W^T \Phi_{g_Y}^f \Phi_{g_X}^f \\ & = (W \Phi_{g_X}^f)^T \Phi_{g_Y}^f \Phi_{g_X}^f \\ & = W \Phi_{g_X}^f \Phi_{g_Y}^f \Phi_{g_X}^f \\ & = W \Phi_{g_X g_Y g_X}^f \end{align*}

となり,示されました.ただし,1行目から2行目の変形では,W が対称(A_f の元として単位行列を取って,W A_f の任意の元が対称であることから分かる)なので W = W^T を使っています.また,2行目から3行目の変形では、行列について A^T B^T = (B A)^T を使って,3行目から4行目では,W A_f が対称であること,最後では \Phi_{g_1}^f \Phi_{g_2}^f = \Phi_{g_1 g_2}^f を使っています.

参考:QR-UOV 理解ログ 3/7「多項式行列」

N \leq 2 として,X^T Y Xi, j 成分を考えます.これは,X^T Y X[i][j] \in W A_f を示せばOKだからです.

\begin{align*} \displaystyle X^T Y X[i][j] & = \sum_{k = 1}^{N} X^T Y[i][k] X[k][j] \\ & = \sum_{k = 1}^{N} \left( \sum_{\ell = 1}^{N} X^T[i][\ell] Y[\ell][k] \right) X[k][j] \\ & = \sum_{k = 1}^{N} \sum_{\ell = 1}^{N} \left( X^T[i][\ell] Y[\ell][k] X[k][j] \right) \end{align*}

すると,X^T[i][\ell] は,ある \mathbb{F}_q[x] / (f) の元 g_{X, i, \ell} を用いて,\Phi_{g_{X, i, \ell}}^f と表せます.同様に,Y[\ell][k] = \Phi_{g_{Y, \ell, k}}^f, \ X[k][j] = \Phi_{g_{X, k, j}}^f と表すことができて,N = 1 の議論から,\Phi_{g_{X, i, \ell}}^f \Phi_{g_{Y, \ell, k}}^f \Phi_{g_{X, k, j}}^f \in W A_f を満たします.よって,X^T[i][\ell] Y[\ell][k] X[k][j] \in W A_f です.
ここで,A_f の任意の元 \Phi_{g_1}^f, \ \Phi_{g_2}^f について,\Phi_{g_1}^f + \Phi_{g_2}^f = \Phi_{g_1 + g_2}^f なので,A_f は行列の足し算に関して群になります.
よって,W A_f も行列の足し算に関して群なので,\sum_{k = 1}^{N} \sum_{\ell = 1}^{N} \left( X^T[i][\ell] Y[\ell][k] X[k][j] \right) \in W A_f を得ます.
以上より示されました.

鍵生成アルゴリズム


  1. f \in \mathbb{F}_q[x]\ell 次の既約多項式として,W を可逆行列として,W A_f の任意の行列が対称行列とする
  2. 左下の m \times m 部分行列が零行列なる F_iW^{(N)} A_f^{(N)} から選ぶ
  3. A_f^{(N)} からランダムに可逆行列 S を選ぶ
  4. P_i = S^T F_i S を計算する

このアルゴリズムを使って,QR-UOV を構成します(Rainbow にも応用できるそうです).


今回の内容はここまでです.ここまでご覧になってくださった方々ありがとうございます!

次回で QR-UOV の原論文の解説ログは終わりです.

Discussion

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