連続する n 個の自然数の積はかならず n!で割り切れる
Kanon「連続する ( n ) 個の自然数の積は、必ず ( n! ) で割り切れる」という主張を証明します。具体的には、次のような形の積が常に ( n! ) で割り切れることを示します。
[
N = m (m+1) (m+2) \cdots (m+n-1)
]
ここで ( m ) は任意の自然数であり、( n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n ) です。
証明：
1. 問題の整理
上記の積 ( N = m (m+1) (m+2) \cdots (m+n-1) ) を考えます。この積が ( n! ) で割り切れることを証明します。
2. 基本アイデア
( n! ) は ( 1 ) から ( n ) までの自然数の積です。連続する ( n ) 個の自然数の積には必ず ( 1 ) から ( n ) の全ての数が含まれるため、これがポイントになります。
3. 階乗 ( n! ) との関係
積 ( N = m (m+1) (m+2) \cdots (m+n-1) ) を展開したとき、その中には ( n ) 個の異なる数が含まれます。これらの ( n ) 個の数は、適切に選べば ( 1, 2, 3, \ldots, n ) の倍数を全て含むことになります。つまり、各素因数について考えると、それぞれの素因数の出現回数が ( n! ) に含まれるだけ十分な数が含まれることがわかります。
4. 具体例で確認
たとえば、( n = 3 ) の場合を考えます。任意の自然数 ( m ) に対して、次のような積が得られます。
[
N = m (m+1)(m+2)
]
これが ( 3! = 6 ) で割り切れることを確認します。この積には ( m, m+1, m+2 ) のいずれかが必ず ( 2 ) で割り切れ、いずれかが ( 3 ) で割り切れます。したがって、( N ) は ( 6 = 2 \times 3 ) で割り切れます。
5. 一般化
一般の場合も同様に、積 ( m(m+1)\cdots(m+n-1) ) には必ず ( 1 ) から ( n ) の全ての素因数を含む倍数が含まれるため、その積は必ず ( n! ) で割り切れることがわかります。
6. 結論
したがって、連続する ( n ) 個の自然数の積は、必ず ( n! ) で割り切れます。