はじめに
この記事では、重積分（累次積分）の計算方法についてまとめていきます。
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参考書籍について
この記事の定理や計算方法については、チャート式シリーズ 大学教養 微分積分を参考にしています。
この書籍は、大学数学の微分積分を高校数学からスムーズに学べる工夫がされており、工学部や経済学部など、数理論理を除いた計算分野に特化した領域の人にとっては、まさに現代の状況に適したバイブルとなると思います。
定理（長方形領域①）
長方形領域D = \left[ a, b \right] \times \left[ c, d \right]上の連続関数f(x, y)について、次の等式が成り立つ。
\begin{alignat*}{2}
\int \int_D f(x, y)dxdy &= \int_{a}^{b} \left( \int_{c}^{d} f(x, y)dy \right) dx \\
&= \int_{c}^{d} \left( \int_{a}^{b} f(x, y)dx \right) dy
\end{alignat*}
例題
（「大学教養 微分積分」より）
次の重積分を計算せよ。
\int \int_{D} (x + y) dxdy, \ D = \left[ 0, 1 \right] \times \left[ 0, 2 \right]
解答
\begin{alignat*}{2}
\text{与式} &= \int_{0}^{1}
\left( \int_{0}^{2} (x + y) dy \right) dx \\
&= \int_{0}^{1}
\left[ xy + \cfrac{1}{2} y^2 \right]_{0}^{2} dx \\
&= \int_{0}^{1} \left( (2x + 2) - 0 \right) dx \\
&= \int_{0}^{1} (2x + 2) dx \\
&= \left[ x^2 + 2x \right]_{0}^{1} \\
&= (1 + 2) - 0 \\
&= \underline{ \ 3 \ }
\end{alignat*}
定理（長方形領域②）
長方形領域D = \left[ a, b \right] \times \left[ c, d \right]上の連続関数f(x, y)が、
閉区間\left[ a, b \right]上の連続関数g(x)と閉区間\left[ c, d \right]上の連続関数h(x)によって、
の形で書けるとするとき、次の等式が成り立つ。
\int \int_{D} f(x, y) dxdy = \left( \int_{a}^{b} g(x) dx \right) \cdot \left( \int_{c}^{d} h(x) dy \right)
例題
（「大学教養 微分積分」より）
次の重積分を計算せよ。
\int \int_{D} \sin x \cos y \ dxdy, \ D = \left[ 0, \cfrac{\pi}{3} \right] \times \left[ 0, \cfrac{\pi}{6} \right]
解答
\begin{alignat*}{2}
\text{与式} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}}
\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sin x \cos y \ dy \right) dy \\
&= \left( \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \ dx \right) \cdot
\left( \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos y \ dy \right) \\
&= \left( \left[ - \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \right) \cdot
\left( \left[ \sin y \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \right) \\
&= \left( - \cos \cfrac{\pi}{3} + \cos 0 \right) \cdot
\left( \sin \cfrac{\pi}{6} - \sin 0 \right) \\
&= \left( - \cfrac{1}{2} + 1 \right) \cdot
\left( \cfrac{1}{2} - 0 \right) \\
&= \cfrac{1}{2} \times \cfrac{1}{2} \\
&= \underline{ \ \cfrac{1}{4} \ } \\
\end{alignat*}
定理（曲線間領域）
y = \phi (x), y = \psi (s)を閉区間\left[ a, b \right]で定義された連続関数とし、任意のx \in \left[ a, b \right]に対して、\phi (x) \leqq \psi (y)が成り立つとする。
このとき、D = \{ (x, y) | a \leqq x \leqq b, \phi (x) \leqq \psi (x) \}上で定義された連続関数f(s, y)について、次の等式が成り立つ。
\int \int_{D} f(x, y) dx dy = \int_{a}^{b}
\left(
\int_{\phi (x)}^{\psi (x)} f(x, y) dy
\right) dx
例題
（「大学教養 微分積分」より）
次の重積分を計算せよ。
\int \int_{D} x^2y \ dxdy, \ D = \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leqq 1, y \geqq 0 \}
解答
\begin{alignat*}{2}
D &= \{ (x, y) | x^2 + y^2 \leqq 1, y \geqq 0 \} \\
&= \{ (x, y) | -1 \leqq x \leqq 1, 0 \leqq y \leqq \sqrt{1 - x^2} \}
\end{alignat*}
であるから、
\begin{alignat*}{2}
\text{与式} &= \int_{-1}^{1}
\left(
\int_{0}^{\sqrt{1 - x^2}}
x^2 y \ dy
\right)
dx \\
&= \int_{-1}^{1}
\left(
\left[
\cfrac{1}{2} x^2 y^2
\right]_{0}^{\sqrt{1 - x^2}}
\right)
dx \\
&= \int_{-1}^{1}
\left(
\cfrac{1}{2} x^2 (1 - x^2) - 0
\right)
dx \\
&= \int_{-1}^{1}
\left(
\cfrac{1}{2} x^2 - \cfrac{1}{2} x^4
\right)
dx \\
&= \left[
\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{3} x^3 -
\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{1}{5} x^5
\right]_{-1}^{1} \\
&= \left( \cfrac{1}{6} - \cfrac{1}{10} \right) -
\left( - \cfrac{1}{6} + \cfrac{1}{10} \right) \\
&= \cfrac{2}{6} - \cfrac{2}{10} \\
&= \cfrac{1}{3} - \cfrac{1}{5} \\
&= \cfrac{5 - 3}{15} \\
&= \underline{ \ \cfrac{2}{15} \ } \\
\end{alignat*}
参考資料
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