はじめに
この記事では、重積分（変数変換）の計算方法についてまとめていきます。
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参考書籍について
この記事の定理や計算方法については、チャート式シリーズ 大学教養 微分積分を参考にしています。
この書籍は、大学数学の微分積分を高校数学からスムーズに学べる工夫がされており、工学部や経済学部など、数理論理を除いた計算分野に特化した領域の人にとっては、まさに現代の状況に適したバイブルとなると思います。
定理（変数変換）
※参考書籍の定理よりも若干定理の文章を加筆しています。
uv-平面の有界閉領域E上のC^\prime級関数
\begin{alignat*}{2}
x &= g(u, v) \\
y &= h(u, v) \\
\end{alignat*}
が、
\begin{alignat*}{2}
J(u, v) &= \cfrac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \\
&= \begin{vmatrix}
\hspace{1mm}
\cfrac{\partial x}{\partial u} &
\cfrac{\partial x}{\partial v}
\hspace{1mm} \\
\hspace{1mm}
\cfrac{\partial y}{\partial u} &
\cfrac{\partial y}{\partial v}
\hspace{1mm} \\
\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}
g_u (u, v) & g_v (u, v) \\
h_u (u, v) & h_v (u, v) \\
\end{vmatrix} \\
&= g_u (u, v) h_v (u, v) - g_v (u, v) h_u (u, v) \\
&\neq 0
\end{alignat*}
であるとする。また、変数変換x = g(u, v), y = h(u, v)によって領域Eがxy-平面の領域Dに写されるとする。このとき、D上の連続関数f(x, y)に対して、次の等式が成り立つ。
\int \int_D f(x, y) \ dx dy = \int \int_E f(g(u, v), h(u, v)) \left| J(u, v) \right| du dv
例題
（「大学教養 微分積分」より）
次の重積分を計算せよ。
\int \int_D (x - y) e^{x + y} \ dx dy, \
D = \{ (x, y) | 0 \leqq x + y \leqq 2, 0 \leqq x - y \leqq 2 \}
解答
積分範囲が有界閉区間の直積[0, 1] \times [0, 1]になるように変換したい。
今、0 \leqq x + y \leqq 2, 0 \leqq x - y \leqq 2より
0 \leqq \cfrac{x + y}{2} \leqq 1, \\
0 \leqq \cfrac{x - y}{2} \leqq 1
であるから、
\begin{alignat*}{2}
u &= \cfrac{x + y}{2} \cdots ① \\
v &= \cfrac{x - y}{2} \cdots ② \\
\end{alignat*}
とおけばよい。すると① + ②より、
① - ②より、
となるので、つまりはx, yそれぞれ
とおけばよい。ここで、
f(x, y) = (x - y) e^{x + y}
とおくと、
\begin{alignat*}{2}
f(u + v, -u + v) &= \{ (u + v) - (-u + v) \} e^{(u + v) + (-u + v)}
\end{alignat*}
であるから、次の等式が成り立つ。
\begin{alignat*}{2}
\int \int_D (x - y) e^{x + y} dx dy
&= \int \int_E \{ (u + v) - (-u + v) \} e^{(u + v) + (-u + v)} |J(u, v)| \ du dv \\
&= \int \int_E 2u e^{2v} |J(u, v)| \ du dv
\end{alignat*}
ただし、E = \{ (u, v) | 0 \leqq u \leqq 1, 0 \leqq v \leqq 1 \}とする。ここで、
\begin{alignat*}{2}
|J(u, v)| &= \left| \cfrac{\partial x}{\partial u} \cdot
\cfrac{\partial y}{\partial v} -
\cfrac{\partial x}{\partial v} \cdot
\cfrac{\partial y}{\partial u}
\right| \\
&= |1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)| \\
&= 2
\end{alignat*}
より、
\begin{alignat*}{2}
\int \int_D (x - y) e^{x + y} dx dy
&= \int \int_E 2u e^{2v} \cdot 2 \ du dv \\
&= \left( \int_{0}^{1} 2u \ du \right) \cdot
\left( \int_{0}^{1} 2e^{2v} \ du \right) \\
&= \left(
\left[ u^2 \right]_{0}^{1}
\right) \cdot
\left(
\left[ e^{2v} \right]_{0}^{1}
\right) \\
&= (1 - 0) \cdot (e^2 - 1) \\
&= \underline{ \ e^2 - 1 \ }
\end{alignat*}
例題（極座標変換）
（「大学教養 微分積分」より）
次の重積分を計算せよ。
\int \int_D e^{x^2 + y^2} \ dx dy, \
D = \{ (x, y) | y \geqq 2, x^2 + y^2 \leqq a^2 \} (a \text{は正の実数})
解答
x = r \cos \theta \\
y = r \sin \theta
とおく。ただし、0 \leqq r \leqq a, 0 \leqq \theta \leqq \piとする。
（※この変換を極座標変換といいます。）
すると次の等式が成り立つ。
\begin{alignat*}{2}
\int \int_D e^{x^2 + y^2} dx dy
&= \int \int_E e^{(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2} |J(r, \theta)| \ dr d \theta \\
&= \int \int_E e^{r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} |J(r, \theta)| \ dr d \theta \\
&= \int \int_E e^{r^2} |J(r, \theta)| \ dr d \theta \\
\end{alignat*}
ただし、E = \{ (r, \theta) | 0 \leqq r \leqq a, 0 \leqq \theta \leqq \pi \}とする。ここで、
\begin{alignat*}{2}
|J(u, v)| &= \left| \cfrac{\partial x}{\partial r } \cdot
\cfrac{\partial y}{\partial \theta} -
\cfrac{\partial x}{\partial \theta} \cdot
\cfrac{\partial y}{\partial r }
\right| \\
&= |\cos \theta \cdot r \cos \theta -
(- r \sin \theta) \cdot \sin \theta| \\
&= |r (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)| \\
&= r
\end{alignat*}
より、
\begin{alignat*}{2}
\int \int_D e^{x^2 + y^2} dx dy
&= \int \int_E e^{r^2} r \ dr d \theta \\
&= \int_{0}^{\pi} d \theta \ \int_{0}^{a} r e^{r^2} dr \\
&= \left(
\left[ \theta \right]_{0}^{\pi}
\right) \cdot
\left(
\left[ \cfrac{e^{r^2}}{2} \right]_{0}^{a}
\right) \\
&= \left( \pi - 0 \right) \cdot
\left( \cfrac{e^{a^2}}{2} - \cfrac{1}{2} \right) \\
&= \underline{\cfrac{e^{a^2} - 1}{2} \pi}
\end{alignat*}
参考資料
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