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統計のための行列代数 第11章 練習問題 解答例

2022/09/03に公開約23,200字

はじめに

統計のための行列代数 練習問題 解答例まとめを参照

第11章 練習問題

1.

任意の行列\mathbf{A}に対して

\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{N}(\mathbf{I} - \mathbf{AA^{-}})

であることを示せ.


\mathbf{x}\mathbf{A}の行の数と同じ次元を持つ列ベクトルだとする.系9.3.6 から, \mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{A})であるのは, \mathbf{x}= \mathbf{A A}^{-} \mathbf{x}のときだけに限り, 等価な表現として \left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right) \mathbf{x}=\mathbf{0}と表せる.

系9.3.6. \mathbf{A}m \times n行列とする.このとき,任意のm次元列ベクトル\mathbf{x}に対して,\mathbf{x} = \mathbf{AA^{-}x}のときかつそのときに限って,\mathbf{x}\in \mathcal{C}(\mathbf{A})である.また,任意のn次元行ベクトル\mathbf{y}^{\prime}に対して,\mathbf{y}^{\prime} = \mathbf{y}^{\prime}\mathbf{A}^{-}\mathbf{A}のときかつそのときに限って,\mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{R}(\mathbf{A})である.

後者の表現は \mathbf{x} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right)であることを示している.したがって, \mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A A}^{-}\right)

2.

もし\mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{k}が(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解でc_{1}, \ldots, c_{k}\sum_{i=1}^{k} c_{i}=1を満たすスカラーならば, 行列\sum_{i=1}^{k} c_{i} \mathbf{X}_{i}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることを示せ.


\mathbf{AX} = \mathbf{B}\mathbf{X}\sum_{i=1}^{k} c_{i} \mathbf{X}_{i}を代入して成立することを示せば良い。

\begin{aligned} \mathbf{A}\left(\sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{X}_i\right) = \sum_{i = 1}^k c_i (\mathbf{A}\mathbf{X}_i) = \sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{B} = \mathbf{B}. \end{aligned}

以上で示された。

3.

\mathbf{A}, \mathbf{Z}n \times n行列とする.\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1と仮定し,\mathbf{x}, \mathbf{y}\mathbf{Ax}= \mathbf{0}, \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}を満たす\mathbf{0}でないn次元列ベクトルとする.

\mathbf{(a)}適当なn次元行べクトル\mathbf{k}^{\prime}に対して \mathbf{Z}=\mathbf{x}\mathbf{k}^{\prime}のときかつそのときに限って,\mathbf{AZ}=\mathbf{0}であることを示せ.

\mathbf{(b)}適当なスカラーcに対して\mathbf{Z}=c\mathbf{x}\mathbf{y}^{\prime}のときかつそのときに限って,\mathbf{AZ}=\mathbf{ZA}=\mathbf{0}であることを示せ.


\mathbf{(a)} \Rightarrowは、命題の仮定により\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}なので、以下の式が成り立つことから明らか。

\mathbf{A Z}=(\mathbf{A x}) \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} .

次に、\Leftarrowの命題を示す。\mathbf{Z}=(\mathbf{z}_{1}, \mathbf{z}_{j}, \cdots, \mathbf{z}_{n})とおく。
補助定理11.3.1および定理4.3.9により、\mathcal{N}(\mathbf{A})の基底は\{\mathbf{x}\}である。
さらに命題の仮定より\mathbf{A Z}=\mathbf{0}なので、\mathbf{Z}のどの列 \mathbf{z}_{j} に対しても、あるスカラーk_jが存在して、\mathbf{z}_{j}=k_{j} \mathbf{x}となる。(j=1, \ldots, n)
このような\mathbf{k}^{\prime}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)に対して、 \mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}が成立する。

\mathbf{(b)} \Rightarrowは、命題の仮定により\mathbf{Z}=c \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}なので、以下の式が成り立つことから明らか。

\begin{aligned} \mathbf{A Z} =&c(\mathbf{A x}) \mathbf{y}^{\prime}=c\mathbf{0} \mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0} \\ \mathbf{Z A}=&c \mathbf{x y}^{\prime} \mathbf{A}=c \mathbf{x}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}\right)^{\prime}=c \mathbf{x} \mathbf{0}^{\prime}=\mathbf{0} \end{aligned}

次に、\Leftarrowの命題を示す。
命題の仮定により\mathbf{A Z}=\mathbf{0}なので、(a)の帰結により\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}となるような\mathbf{k}^{\prime}が存在する。
命題の仮定により\mathbf{Z A}=\mathbf{0}なので、

\begin{aligned} \mathbf{k}^{\prime} &=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{k}^{\prime} =\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \\ \mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A} &=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \mathbf{A}=\mathbf{0}^{\prime} \\ \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{k} &=\left(\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{\prime}=\mathbf{0} \end{aligned}

となり、\mathbf{k} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right.)が言える。
(a)と同様の議論で、(補助定理11.3.1と定理4.3.9により)\mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)の基底が \{\mathbf{y}\}であると言えるので、あるスカラーcが存在して\mathbf{k}=c \mathbf{y}である。

以上により、\mathbf{Z}=c \mathbf{x y}^{\prime}である。

4.

\mathbf{AX}=\mathbf{B}を(n \times p行列\mathbf{X}に関する)非同次線形系と仮定する. s=p[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]と置き, \mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}を(n \times p行列\mathbf{Z} に関する) 同次線形系\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間の基底を成す任意のs個のn \times p行列となるようにとる.\mathbf{X}_{0}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の任意の特殊解とし,\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)と置く.

\mathbf{(a)} s+1個の行列\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の線形独立な解であることを示せ.

\mathbf{(b)} \mathbf{A X}=\mathbf{B}のあらゆる解は\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合として表せることを示せ.

\mathbf{(c)} \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合 \sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}はスカラーk_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1を満たすときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることを示せ.

\mathbf{(d)} \mathbf{A X}=\mathbf{B}解集合は線形空間\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)の真部分集合であることを示せ.


\mathbf{(a)} 問題の設定より\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}の解空間の基底なので、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}自身も\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}の解である。また\mathbf{X}_{0}\mathbf{A X}=\mathbf{B} は任意の特殊解としているので、定理11.2.3より\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B} の解であることが分かる。あとはこれが線形独立であることを示せば良い。

定理 11.2.3. \mathbf{X}_{0} を( \mathbf{X} に関する)無矛盾な線形系 \mathbf{A X}=\mathbf{B} の任意の特定の 解(特殊解と呼ぶ)を表すとするこのとき,行列 \mathbf{X}^{*} は(Zに関する)同次 線形系の \mathbf{A Z}=0 の適当な解 \mathbf{Z}^{*} に対して

\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}

のときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B} の解である.

線形独立を示すにはスカラーk_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}において\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}の解が唯一
k_{0}=\ldots=k_{s}=0となること示せば良い。

\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)を代入すると以下の式になる。

\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}  (S.1)   (S.1)
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{AX}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{AZ}_{i}=\mathbf{A}\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}

問題文より、\mathbf{A X}_{0}=\mathbf{B}\mathbf{A} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}なので以下となる。

\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\mathbf{0}\quad(S.2)

\mathbf{A X}=\mathbf{B}は非同次線形系なので\mathbf{B} \neq \mathbf{0}より以下が成り立つ

\sum_{i=0}^{s} k_{i}=0 (S.3)

(S.3)(S.1)に代入すると

\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}

となり、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解空間の基底より、線形独立であるのでk_{1}=\ldots=k_{s}=0

この結果と(S.3)よりk_{0}=0となる。よって、s+1 個の行列 \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B} の線形独立な解であることが示された.

\mathbf{(b)} \mathbf{X}^{*}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の任意の解とする。この時、定理11.2.3より、\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}\mathbf{Z}^{*}\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解、\mathbf{X}_{0}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の特殊解)で表すことができる。

また、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解空間の基底(問題の前提より)なので
\mathbf{Z}^{*}=\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}k_{i}, \ldots, k_{s}はスカラー)と\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}の線形結合で表現できる。

よって、\mathbf{X}^{*}は以下の式で表すことができる。

\begin{aligned} X^{*} &=X_{0}+Z^{*}=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} Z_{i} \\ &=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i}\left(X_{i}-X_{0}\right)  (\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)より) \\ &=\left(1-\sum_{i=1}^{s} k_{i}\right) X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} X_{i} \end{aligned}

よって、\mathbf{A X}=\mathbf{B} のあらゆる解は \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合として表せることを示された.

\mathbf{(c)} 問題\mathbf{(a)}より以下の等式が成り立つ

\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B} \quad (S.4)

もし、\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1であれば、\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解になる。
逆にもし\sum_{i=0}^{s} k_{i} {\mathbf{X}}_{i}\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}の解であれば\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{B}なので、これを(S.4)に代入すると\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{B}になる。\mathbf{B} \neq \mathbf{0}より、\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1となる。

よって、\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s} の線形結合 \sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i} はスカラー k_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1 を満たすとき かつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることが示された.

\mathbf{(d)} 問題\mathbf{(b)}から明らかなように、\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解は\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合で表せる全ての行列からなる集合)に属する。しかし、問題\mathbf{(c)}より、全ての\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解ではない(\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1の制約がある)。よって、\mathbf{A X}=\mathbf{B} 解集合は線形空間 \operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right) の真部分集合であることが分かる。

5.

\mathbf{AX}=\mathbf{B}を(n \times p行列\mathbf{X}に関する)無矛盾な線形系と仮定する. もし\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt nかつ\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt pならば, \mathbf{A}のいかなる一般逆行列\mathbf{G}に対しても,\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}のように表せない\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解\mathbf{X}^{*}が存在することを示せ.


\mathbf{A}m\times n, \mathbf{B}m \times p行列である。定理11.5.1がn\times p行列\mathbf{X}に関して\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n\operatorname{rank}(\mathbf{B})=pの仮定のもとでのみ成り立つのに対し、この問題では\textrm{rank}が足りていない状態を論じる。

まず\mathbf{AX} = \mathbf{B}が無矛盾であるならば、定理7.2.1より次のことが言える。

定理 7.2.1. 次の各々の条件は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}が無矛盾であるための必要十分条件である.
(1) \mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A}).
(2) \mathbf{B}のあらゆる列が\mathcal{C}(\mathbf{A})に属する.
(3) \mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathcal{C}(\mathbf{A}).
(4) \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})

\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt pであれば、同次線形系\mathbf{Bk} = \mathbf{0}となるような零ベクトルでないp次元列ベクトル\mathbf{k}が少なくとも1つ存在する。(定理11.3.1で示されているように線形独立な\mathbf{k}は最大でp-\operatorname{rank}(\mathbf{B})個取れる)

さらに定理4.3.12によると

定理4.3.12. k次元線形空間\mathcal{V}の中にあるr個の線形独立な行列の任意の集合Sに対して,Sの中の行列のr個のすべて(とk-r個の追加した行列)を含む\mathcal{V}の基底が存在する.

p次元線形空間\mathcal{V}について、1個の線形独立な列ベクトル\mathbf{k}_{1}に追加して、\mathcal{V}の基底となりうる線形独立なp-1個の列ベクトル\mathbf{k}_{2}, \ldots, \mathbf{k}_{p}が存在する。これを利用して\mathbf{K}_{2} = (\mathbf{k}_{2}, \cdots, \mathbf{k}_{p})として\mathbf{K} = (\mathbf{k}_{1}, \mathbf{K}_{2})とすると、この\mathbf{K}は非特異行列である。\mathbf{BK} = (\mathbf{Bk}_{1}, \mathbf{BK}_{2}) = (\mathbf{0}, \mathbf{BK}_{2})となる。

次に\mathbf{A}\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt nなので\mathbf{Ay}^{*} = \mathbf{0}となるような零ベクトルでないn次元ベクトル\mathbf{y}_{1}^{*}が最低1つは存在する。ここで、\mathbf{Y}_{2}^{*}を(\mathbf{Y}_{2}における)\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}の任意の解とし(問題の仮定から\mathbf{AX} = \mathbf{B}が無矛盾な線形系であり、補助定理4.2.2から\mathcal{C}(\mathbf{BK}_{2}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})(\subset \mathcal{C}(\mathbf{A}))なので、\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}も当然無矛盾である)、これを用いて\mathbf{Y}^{*} = (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*})とする。このとき明らかに\mathbf{AY}^{*} = \mathbf{BK}が成立する。

\mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}とすると

\mathbf{AX}^{*} = \mathbf{A}\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} = \mathbf{BKK}^{-1} = \mathbf{B}

と変形できるので、\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解の1つとして存在する。

ここで命題について背理法を用いて証明する。\mathbf{A}のある一般逆行列\mathbf{G}を適切にとれば\mathbf{AX} = \mathbf{B}の解を\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}として常に書き表すことができるものと仮定する。このとき、先程の解は

\begin{aligned} \mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} &\iff \mathbf{Y}^{*} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{K} \\ & \iff (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*}) = (\mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1}, \mathbf{X}^{*}\mathbf{K}_{2}) \end{aligned}

となるが、これに\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}を代入すると、

\mathbf{y}^{*}_{1} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1} = \mathbf{GBk}_{1} = \mathbf{0}

となってしまい、n次元ベクトル\mathbf{y}_{1}^{*}が零ベクトルでないということと矛盾する。したがって背理法から\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}の形で表せない解が存在することが示された。

6.

練習問題7.1 の\mathbf{(b)}の結果を用いて,補助定理11.6.1を一般化せよ.

補助定理11.6.1. \mathbf{A}m\times n行列,\mathbf{B}m \times p行列とする.もし\mathbf{C}r\times m行列で最大列階数(すなわち,階数m) ならば, (\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は線形系\mathbf{AX}=\mathbf{B}に同値である.


もし\mathbf{C}r\times q行列で\mathbf{D}m\times q行列として、\operatorname{rank}(\mathbf{C}\mathbf{D}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})とすると、(練習問題7.1の\mathbf{(b)}から明らかなように)線型系\mathbf{CDAX}=\mathbf{CDB}は線型系\mathbf{DAX}=\mathbf{DB}と同値になる。したがって、線型系\mathbf{AX} = \mathbf{B}と同値であることが示せた。

練習問題7.1 \mathbf{(b)}
\mathbf{A}, \mathbf{B}m \times n行列とする. (1) もし\mathbf{C}r \times q行列で,\mathbf{D}\operatorname{rank}(\mathbf{CD}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})を満たすq \times m行列ならば, \mathbf{CDA} = \mathbf{CDB}のとき\mathbf{DA} = \mathbf{DB}である。

7.

\mathbf{A}m \times n行列, \mathbf{B}m \times p行列, \mathbf{C}q \times m行列とし, \mathbf{A X}=\mathbf{B}\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}を(\mathbf{X}に関する) 線形系と仮定する.

\mathbf{(a)} もし\operatorname{rank}[(\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})ならば, \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}\mathbf{A X}=\mathbf{B}に同値であり, それによって補助定理11.6.1と補助定理11.6.2が一般化されることを示せ.

補助定理11.6.2. 任意のm\times n行列\mathbf{A}n \times p行列\mathbf{F} に対して,線形系\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AF}は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{AX}=\mathbf{AF}に同値である.

\mathbf{(b)} もし\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]\lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})でありかつ\mathbf{CAX}= \mathbf{CB}が無矛盾であるならば,\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解集合は \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合である(すなわち, \mathbf{AX}=\mathbf{B}の解でない\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解が存在する)ことを示せ.

\mathbf{(c)} もし\operatorname{rank}[\mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})] \lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})でありかつ\mathbf{AX}= \mathbf{B}が矛盾しているならば, \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は無矛盾のことも矛盾していることもあることを例を挙げて示せ.


\mathbf{(a)} \operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]= \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})であるとする。このとき定理4.4.7から\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) したがって\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B})\subset\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]である。ここで定理4.2.2によるとある行列\mathbf{L}に対して(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathbf{LC}(\mathbf{A}, \mathbf{B})となることがわかる。

補助定理4.2.2 任意のm\times n行列\mathbf{A}m\times p行列\mathbf{B} に対して, \mathbf{B}=\mathbf{AF} を満たすn\times p行列\mathbf{F} が存在するときかつそのときに限って, \mathcal{C}(\mathbf{B})\subset\mathcal{C}(\mathbf{A})である.同様に,任意のm\times n行列\mathbf{A}と任意のq\times n行列\mathbf{C} に対して, \mathbf{C}=\mathbf{LA} を満たす q\times m行列\mathbf{L} が存在するときかつそのときに限って,\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset\mathcal{R}(\mathbf{A})である.

したがって\mathbf{A}=\mathbf{LCA},\mathbf{B}=\mathbf{LCB}である。\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の任意の解\mathbf{X}^*について

\mathbf{AX}^*=\mathbf{LCAX}^*=\mathbf{LCB}=\mathbf{B}

となる。したがって\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の任意の解は\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解であり,(\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解であることから)\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}\mathbf{AX}=\mathbf{B}と等価であることがわかる。

\mathbf{(b)} \operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]< \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}が無矛盾であるとする。ここで\mathbf{AX}=\mathbf{B}が無矛盾でないとき\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合であることは明らかである。したがって\mathbf{AX}=\mathbf{B}が無矛盾であるとする。このとき定理7.2.1を用いると

\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})>\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{C A}, \mathbf{C B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C A})

となることがわかる。このことから

n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})<n-\operatorname{rank}(\mathbf{C A})\tag{1}

となることがわかる。

\mathbf{X}_0\mathbf{AX}=\mathbf{B}の任意の特殊解であるとする。定理11.2.3によると\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合の要素n\times p行列\mathbf{X}^*は同じ係数行列を持つ線形同次系\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解\mathbf{Z}^*を用いて

\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*

と表される。同様に\mathbf{X}_0\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解でもあるので\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の要素n\times p行列\mathbf{X}^*は線形同次系\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解\mathbf{Z}^*を用いて

\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*

と表される.

補助定理11.3.2から\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間の次元はp[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]に等しく,\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の次元はp[n-\operatorname{rank}(\mathbf{CA})]に等しいことがわかる。\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間が\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の部分空間であることは明らかであり,これと(1)の不等式を踏まえると\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間は\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の真部分空間であることがわかる.したがって\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合であることがわかる。

\mathbf{(c)} \mathbf{AX}=\mathbf{B}は任意の無矛盾でない線形系で\mathbf{C}=\mathbf{0}とすると

\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A},\mathbf{B})]=0<\operatorname{rank}(\mathbf{A},\mathbf{B})

である。このとき\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は無矛盾である。

次に

\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right), \mathbf{C}=(1,0)

の場合を考える。このとき\mathbf{A X}=\mathbf{B}は明らかに矛盾している。また

\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=1<2=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})

である。したがって\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は明らかに矛盾している。

8.

\mathbf{A}q\times n行列,\mathbf{B}m\times p行列,\mathbf{C}m\times q行列とし,(n\times p行列\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{CAX} = \mathbf{B}が無矛盾であると仮定する. \operatorname{rank}(\mathbf{CA}) = \operatorname{rank}(\mathbf{A})のときかつそのときに限って,\mathbf{AX}の値が\mathbf{CAX} = \mathbf{B}のあらゆる解に対して同ーであることを示せ.


\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A}) ならば \operatorname{rank} の定義から \operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) であり, 逆に \operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) ならば系 4.4.7 より \mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A}) である.

系 4.4.7. \mathbf{A}m \times n 行列, \mathbf{F}n \times p 行列とする. \operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) ならば, \mathcal{C}(\mathbf{A F})=\mathcal{C}(\mathbf{A}) である. 同様に, もし \operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{F}) ならば, \mathcal{R}(\mathbf{A F})=\mathcal{R}(\mathbf{F}) である.

よって, \operatorname{rank}(\mathbf{C A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) のときかつそのときに限って, \mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A})
であり, \mathcal{R}(\mathbf{C A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}) よりこれは \mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C A}) と同値であるから, 定理 11.10.1 より題意が示される.

定理 11.10.1. \mathbf{A X}=\mathbf{B}(n \times p 行列 \mathbf{X} に関する) 無矛盾な線形系と仮定し, \mathbf{L}, \mathbf{K}n \times q 行列とする. このとき, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X} の値は, \mathcal{R}\left(\mathbf{K}^{\prime}\right) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}) のときかつそのときに限って, すなわち, \mathbf{K}^{\prime} のあらゆる行が \mathcal{R}(\mathbf{A}) に属するときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B} のあらゆる解に対して同一である.

9.

(1) 定理11.10.4と (2)定理11.10.5 を証明せよ.

定理11.10.4 \mathbf{A}m\times n行列,\mathbf{B}m \times p行列,\mathbf{K}n \times q行列とする. もし\mathbf{X}^{*},\mathbf{L}^{*}がそれぞれ(\mathbf{X}, \mathbf{L}に関する)線形系

\begin{pmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{K}^{\prime} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix}\tag{10.2}
の任意の解の第1と第2の部分ならば, \mathbf{X}^{*}は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解で\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}である. 逆に, もし\mathbf{X}^{*}\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}の任意の解ならば, \mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}はそれぞれ線形系(10.2)の適当な解の第1と第2の部分である.

定理 11.10.5.\mathbf{A}n \times n行列,\mathbf{B}n \times p行列,\mathbf{K}n \times q行列とする. もし\mathbf{X}^{*}, \mathbf{L}^{*}がそれぞれ(\mathbf{X}, \mathbf{L}に関する)線形系

\begin{pmatrix}\mathbf{A}+\mathbf{K} \mathbf{K}^{\prime} & -\mathbf{K} \\ -\mathbf{K} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{10.3}
の任意の解の第1と第2の部分であるならば,\mathbf{X}^{*}は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解で\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}である.逆に,もし\mathbf{X}^{*}\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解ならば,\mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}はそれぞれ線形系(10.3)の適当な解の第1と第2の部分である.


(1)
まず、定理11.10.4を考える。
今、\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}がそれぞれ(10.2)式の任意の解の第1と第2の部分とする。すると、(10.2)式より明らかに、

\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast} &= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\ &= \mathbf{B} &(\because 仮定) \end{aligned}

が成り立つ。今、\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つため、\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}の解である。

同様に、

\begin{aligned} &-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast} = \mathbf{0} &(\because 仮定) \\ &\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast} \end{aligned}

が成り立つ。よって\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}の解である。

次に、逆を考える。\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つとする。(10.2)式に代入すると、

\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast} &= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\ &= \mathbf{B} &(\because 仮定) \end{aligned}

が成り立つ。

さらに、\mathbf{L} = \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}を代入すると、

\begin{aligned} &-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{0} \end{aligned}

である。よって逆も成り立つ。よって、11.10.4が成り立つ。

次に、定理11.10.5を考える。今、\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}がそれぞれ(10.3)式の任意の解の第1と第2の部分とする。すると、(10.3)式より明らかに、

\begin{aligned} &-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast} = \mathbf{0} &(\because 仮定) \\ &\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast} \end{aligned}

が成り立つ。よって、\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}の解である。また、この式を代入すると、

\begin{aligned} (\mathbf{A}+\mathbf{K}\mathbf{K}') \mathbf{X}^{\ast} -\mathbf{K}\mathbf{L}^{\ast} &= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} \\ &= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\ &= \mathbf{B} &(\because 仮定) \end{aligned}

が成り立つ。よって、\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つので、\mathbf{X}^{\ast}\mathbf{A}\mathbf{X}= \mathbf{B}の解である。

逆を考えて、10.3式に解を導入すると、

\begin{aligned} \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} &= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\ &= \mathbf{B} &(\because 仮定) \end{aligned}

が成り立つ。また、

\begin{aligned} -\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{0} \end{aligned}

今、10.3式が満たされたので、これらは解である。

Discussion

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