はじめに
統計のための行列代数 練習問題 解答例まとめを参照
第11章 練習問題
1.
任意の行列\mathbf{A}に対して
\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{N}(\mathbf{I} - \mathbf{AA^{-}})
であることを示せ.
\mathbf{x} を\mathbf{A}の行の数と同じ次元を持つ列ベクトルだとする.系9.3.6 から, \mathbf{x} \in \mathcal{C}(\mathbf{A})であるのは, \mathbf{x}= \mathbf{A A}^{-} \mathbf{x}のときだけに限り, 等価な表現として \left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right) \mathbf{x}=\mathbf{0}と表せる.
系9.3.6. \mathbf{A}をm \times n行列とする.このとき，任意のm次元列ベクトル\mathbf{x}に対して，\mathbf{x} = \mathbf{AA^{-}x}のときかつそのときに限って，\mathbf{x}\in \mathcal{C}(\mathbf{A})である.また，任意のn次元行ベクトル\mathbf{y}^{\prime}に対して，\mathbf{y}^{\prime} = \mathbf{y}^{\prime}\mathbf{A}^{-}\mathbf{A}のときかつそのときに限って，\mathbf{y}^{\prime} \in \mathcal{R}(\mathbf{A})である.
後者の表現は \mathbf{x} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A} \mathbf{A}^{-}\right)であることを示している.したがって, \mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{N}\left(\mathbf{I}-\mathbf{A A}^{-}\right)
2.
もし\mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{k}が（\mathbf{X}に関する）線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解でc_{1}, \ldots, c_{k}が\sum_{i=1}^{k} c_{i}=1を満たすスカラーならば, 行列\sum_{i=1}^{k} c_{i} \mathbf{X}_{i}は\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることを示せ.
\mathbf{AX} = \mathbf{B}の\mathbf{X}に\sum_{i=1}^{k} c_{i} \mathbf{X}_{i}を代入して成立することを示せば良い。
\begin{aligned}
\mathbf{A}\left(\sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{X}_i\right) = \sum_{i = 1}^k c_i (\mathbf{A}\mathbf{X}_i) = \sum_{i = 1}^k c_i \mathbf{B} = \mathbf{B}.
\end{aligned}
以上で示された。
3.
\mathbf{A}, \mathbf{Z}をn \times n行列とする.\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1と仮定し,\mathbf{x}, \mathbf{y}を\mathbf{Ax}= \mathbf{0}, \mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}を満たす\mathbf{0}でないn次元列ベクトルとする.
\mathbf{(a)}適当なn次元行べクトル\mathbf{k}^{\prime}に対して \mathbf{Z}=\mathbf{x}\mathbf{k}^{\prime}のときかつそのときに限って,\mathbf{AZ}=\mathbf{0}であることを示せ.
\mathbf{(b)}適当なスカラーcに対して\mathbf{Z}=c\mathbf{x}\mathbf{y}^{\prime}のときかつそのときに限って,\mathbf{AZ}=\mathbf{ZA}=\mathbf{0}であることを示せ.
\mathbf{(a)} \Rightarrowは、命題の仮定により\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}なので、以下の式が成り立つことから明らか。
\mathbf{A Z}=(\mathbf{A x}) \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} \mathbf{k}^{\prime}=\mathbf{0} .
次に、\Leftarrowの命題を示す。\mathbf{Z}=(\mathbf{z}_{1}, \mathbf{z}_{j}, \cdots, \mathbf{z}_{n})とおく。
補助定理11.3.1および定理4.3.9により、\mathcal{N}(\mathbf{A})の基底は\{\mathbf{x}\}である。
さらに命題の仮定より\mathbf{A Z}=\mathbf{0}なので、\mathbf{Z}のどの列 \mathbf{z}_{j} に対しても、あるスカラーk_jが存在して、\mathbf{z}_{j}=k_{j} \mathbf{x}となる。(j=1, \ldots, n)
このような\mathbf{k}^{\prime}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)に対して、 \mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}が成立する。
\mathbf{(b)} \Rightarrowは、命題の仮定により\mathbf{Z}=c \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}なので、以下の式が成り立つことから明らか。
\begin{aligned}
\mathbf{A Z}
=&c(\mathbf{A x}) \mathbf{y}^{\prime}=c\mathbf{0} \mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{0} \\
\mathbf{Z A}=&c \mathbf{x y}^{\prime} \mathbf{A}=c \mathbf{x}\left(\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}\right)^{\prime}=c \mathbf{x} \mathbf{0}^{\prime}=\mathbf{0}
\end{aligned}
次に、\Leftarrowの命題を示す。
命題の仮定により\mathbf{A Z}=\mathbf{0}なので、(a)の帰結により\mathbf{Z}=\mathbf{x k}^{\prime}となるような\mathbf{k}^{\prime}が存在する。
命題の仮定により\mathbf{Z A}=\mathbf{0}なので、
\begin{aligned}
\mathbf{k}^{\prime}
&=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right) \mathbf{k}^{\prime}
=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \\
\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A}
&=\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{x}\right)^{-1} \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{Z} \mathbf{A}=\mathbf{0}^{\prime} \\
\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{k}
&=\left(\mathbf{k}^{\prime} \mathbf{A}\right)^{\prime}=\mathbf{0}
\end{aligned}
となり、\mathbf{k} \in \mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right.)が言える。
(a)と同様の議論で、（補助定理11.3.1と定理4.3.9により）\mathcal{N}\left(\mathbf{A}^{\prime}\right)の基底が \{\mathbf{y}\}であると言えるので、あるスカラーcが存在して\mathbf{k}=c \mathbf{y}である。
以上により、\mathbf{Z}=c \mathbf{x y}^{\prime}である。
4.
\mathbf{AX}=\mathbf{B}を(n \times p行列\mathbf{X}に関する)非同次線形系と仮定する. s=p[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]と置き, \mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}を(n \times p行列\mathbf{Z} に関する) 同次線形系\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間の基底を成す任意のs個のn \times p行列となるようにとる.\mathbf{X}_{0}を\mathbf{A X}=\mathbf{B}の任意の特殊解とし,\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)と置く.
\mathbf{(a)} s+1個の行列\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}が\mathbf{A X}=\mathbf{B}の線形独立な解であることを示せ.
\mathbf{(b)} \mathbf{A X}=\mathbf{B}のあらゆる解は\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合として表せることを示せ.
\mathbf{(c)} \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合 \sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}はスカラーk_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}が\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1を満たすときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることを示せ.
\mathbf{(d)} \mathbf{A X}=\mathbf{B}解集合は線形空間\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)の真部分集合であることを示せ.
\mathbf{(a)} 問題の設定より\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}は\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}の解空間の基底なので、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}自身も\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{0}の解である。また\mathbf{X}_{0} を \mathbf{A X}=\mathbf{B} は任意の特殊解としているので、定理11.2.3より\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s} は\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B} の解であることが分かる。あとはこれが線形独立であることを示せば良い。
定理 11.2.3. \mathbf{X}_{0} を（ \mathbf{X} に関する）無矛盾な線形系 \mathbf{A X}=\mathbf{B} の任意の特定の 解（特殊解と呼ぶ）を表すとするこのとき，行列 \mathbf{X}^{*} は（Zに関する）同次 線形系の \mathbf{A Z}=0 の適当な解 \mathbf{Z}^{*} に対して
\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}
のときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B} の解である.
線形独立を示すにはスカラーk_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s}において\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}の解が唯一
k_{0}=\ldots=k_{s}=0となること示せば良い。
\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}に\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)を代入すると以下の式になる。
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0} (S.1)
(S.1)
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{AX}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{AZ}_{i}=\mathbf{A}\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}=\mathbf{0}
問題文より、\mathbf{A X}_{0}=\mathbf{B}、\mathbf{A} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}なので以下となる。
\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\mathbf{0}\quad(S.2)
\mathbf{A X}=\mathbf{B}は非同次線形系なので\mathbf{B} \neq \mathbf{0}より以下が成り立つ
\sum_{i=0}^{s} k_{i}=0 (S.3)
(S.3)を(S.1)に代入すると
\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}=\mathbf{0}
となり、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}は\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解空間の基底より、線形独立であるのでk_{1}=\ldots=k_{s}=0
この結果と（S.3)よりk_{0}=0となる。よって、s+1 個の行列 \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s} が \mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B} の線形独立な解であることが示された.
\mathbf{(b)} \mathbf{X}^{*}を\mathbf{A X}=\mathbf{B}の任意の解とする。この時、定理11.2.3より、\mathbf{X}^{*}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}^{*}（\mathbf{Z}^{*}は\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解、\mathbf{X}_{0}は\mathbf{A X}=\mathbf{B}の特殊解）で表すことができる。
また、\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}は\mathbf{A Z}=\mathbf{0}の解空間の基底（問題の前提より）なので
\mathbf{Z}^{*}=\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}（k_{i}, \ldots, k_{s}はスカラー）と\mathbf{Z}_{1}, \ldots, \mathbf{Z}_{s}の線形結合で表現できる。
よって、\mathbf{X}^{*}は以下の式で表すことができる。
\begin{aligned}
X^{*} &=X_{0}+Z^{*}=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} Z_{i} \\
&=X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i}\left(X_{i}-X_{0}\right) （\mathbf{X}_{i}=\mathbf{X}_{0}+\mathbf{Z}_{i}(i=1, \ldots, s)より） \\
&=\left(1-\sum_{i=1}^{s} k_{i}\right) X_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} X_{i}
\end{aligned}
よって、\mathbf{A X}=\mathbf{B} のあらゆる解は \mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合として表せることを示された.
\mathbf{(c)} 問題\mathbf{(a)}より以下の等式が成り立つ
\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{A}\left[\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{X}_{0}+\sum_{i=1}^{s} k_{i} \mathbf{Z}_{i}\right]=\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B} \quad (S.4)
もし、\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1であれば、\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}は\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解になる。
逆にもし\sum_{i=0}^{s} k_{i} {\mathbf{X}}_{i}が\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}の解であれば\mathbf{A}\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i}\right)=\mathbf{B}なので、これを(S.4)に代入すると\left(\sum_{i=0}^{s} k_{i}\right) \mathbf{B}=\mathbf{B}になる。\mathbf{B} \neq \mathbf{0}より、\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1となる。
よって、\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s} の線形結合 \sum_{i=0}^{s} k_{i} \mathbf{X}_{i} はスカラー k_{0}, k_{1}, \ldots, k_{s} が \sum_{i=0}^{s} k_{i}=1 を満たすとき かつそのときに限って， \mathbf{A X}=\mathbf{B}の解であることが示された.
\mathbf{(d)} 問題\mathbf{(b)}から明らかなように、\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解は\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)（\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}の線形結合で表せる全ての行列からなる集合）に属する。しかし、問題\mathbf{(c)}より、全ての\operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right)は\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解ではない（\sum_{i=0}^{s} k_{i}=1の制約がある）。よって、\mathbf{A X}=\mathbf{B} 解集合は線形空間 \operatorname{sp}\left(\mathbf{X}_{0}, \mathbf{X}_{1}, \ldots, \mathbf{X}_{s}\right) の真部分集合であることが分かる。
5.
\mathbf{AX}=\mathbf{B}を(n \times p行列\mathbf{X}に関する)無矛盾な線形系と仮定する. もし\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt nかつ\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt pならば, \mathbf{A}のいかなる一般逆行列\mathbf{G}に対しても,\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}のように表せない\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解\mathbf{X}^{*}が存在することを示せ.
\mathbf{A}はm\times n, \mathbf{B}はm \times p行列である。定理11.5.1がn\times p行列\mathbf{X}に関して\operatorname{rank}(\mathbf{A})=nと\operatorname{rank}(\mathbf{B})=pの仮定のもとでのみ成り立つのに対し、この問題では\textrm{rank}が足りていない状態を論じる。
まず\mathbf{AX} = \mathbf{B}が無矛盾であるならば、定理7.2.1より次のことが言える。
定理 7.2.1. 次の各々の条件は（\mathbf{X}に関する）線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}が無矛盾であるための必要十分条件である.
(1) \mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A}).
(2) \mathbf{B}のあらゆる列が\mathcal{C}(\mathbf{A})に属する.
(3) \mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathcal{C}(\mathbf{A}).
(4) \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\operatorname{rank}(\mathbf{A})
\operatorname{rank}(\mathbf{B}) \lt pであれば、同次線形系\mathbf{Bk} = \mathbf{0}となるような零ベクトルでないp次元列ベクトル\mathbf{k}が少なくとも1つ存在する。（定理11.3.1で示されているように線形独立な\mathbf{k}は最大でp-\operatorname{rank}(\mathbf{B})個取れる）
さらに定理4.3.12によると
定理4.3.12. k次元線形空間\mathcal{V}の中にあるr個の線形独立な行列の任意の集合Sに対して，Sの中の行列のr個のすべて(とk-r個の追加した行列)を含む\mathcal{V}の基底が存在する.
p次元線形空間\mathcal{V}について、1個の線形独立な列ベクトル\mathbf{k}_{1}に追加して、\mathcal{V}の基底となりうる線形独立なp-1個の列ベクトル\mathbf{k}_{2}, \ldots, \mathbf{k}_{p}が存在する。これを利用して\mathbf{K}_{2} = (\mathbf{k}_{2}, \cdots, \mathbf{k}_{p})として\mathbf{K} = (\mathbf{k}_{1}, \mathbf{K}_{2})とすると、この\mathbf{K}は非特異行列である。\mathbf{BK} = (\mathbf{Bk}_{1}, \mathbf{BK}_{2}) = (\mathbf{0}, \mathbf{BK}_{2})となる。
次に\mathbf{A}は\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \lt nなので\mathbf{Ay}^{*} = \mathbf{0}となるような零ベクトルでないn次元ベクトル\mathbf{y}_{1}^{*}が最低1つは存在する。ここで、\mathbf{Y}_{2}^{*}を（\mathbf{Y}_{2}における）\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}の任意の解とし（問題の仮定から\mathbf{AX} = \mathbf{B}が無矛盾な線形系であり、補助定理4.2.2から\mathcal{C}(\mathbf{BK}_{2}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{B})(\subset \mathcal{C}(\mathbf{A}))なので、\mathbf{AY_{2}^{*}} = \mathbf{BK}_{2}も当然無矛盾である）、これを用いて\mathbf{Y}^{*} = (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*})とする。このとき明らかに\mathbf{AY}^{*} = \mathbf{BK}が成立する。
\mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}とすると
\mathbf{AX}^{*} = \mathbf{A}\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} = \mathbf{BKK}^{-1} = \mathbf{B}
と変形できるので、\mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1}は\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解の1つとして存在する。
ここで命題について背理法を用いて証明する。\mathbf{A}のある一般逆行列\mathbf{G}を適切にとれば\mathbf{AX} = \mathbf{B}の解を\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}として常に書き表すことができるものと仮定する。このとき、先程の解は
\begin{aligned}
\mathbf{X}^{*} = \mathbf{Y}^{*}\mathbf{K}^{-1} &\iff \mathbf{Y}^{*} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{K} \\
& \iff (\mathbf{y}_{1}^{*}, \mathbf{Y}_{2}^{*}) = (\mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1}, \mathbf{X}^{*}\mathbf{K}_{2})
\end{aligned}
となるが、これに\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}を代入すると、
\mathbf{y}^{*}_{1} = \mathbf{X}^{*}\mathbf{k}_{1} = \mathbf{GBk}_{1} = \mathbf{0}
となってしまい、n次元ベクトル\mathbf{y}_{1}^{*}が零ベクトルでないということと矛盾する。したがって背理法から\mathbf{X}^{*}=\mathbf{G B}の形で表せない解が存在することが示された。
6.
練習問題7.1 の\mathbf{(b)}の結果を用いて，補助定理11.6.1を一般化せよ.
補助定理11.6.1. \mathbf{A}をm\times n行列，\mathbf{B}をm \times p行列とする.もし\mathbf{C}がr\times m行列で最大列階数(すなわち，階数m) ならば， (\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は線形系\mathbf{AX}=\mathbf{B}に同値である.
もし\mathbf{C}がr\times q行列で\mathbf{D}がm\times q行列として、\operatorname{rank}(\mathbf{C}\mathbf{D}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})とすると、（練習問題7.1の\mathbf{(b)}から明らかなように）線型系\mathbf{CDAX}=\mathbf{CDB}は線型系\mathbf{DAX}=\mathbf{DB}と同値になる。したがって、線型系\mathbf{AX} = \mathbf{B}と同値であることが示せた。
練習問題7.1 \mathbf{(b)}
\mathbf{A}, \mathbf{B}をm \times n行列とする. (1) もし\mathbf{C}がr \times q行列で，\mathbf{D}が\operatorname{rank}(\mathbf{CD}) = \operatorname{rank}(\mathbf{D})を満たすq \times m行列ならば， \mathbf{CDA} = \mathbf{CDB}のとき\mathbf{DA} = \mathbf{DB}である。
7.
\mathbf{A}をm \times n行列, \mathbf{B}をm \times p行列, \mathbf{C}をq \times m行列とし, \mathbf{A X}=\mathbf{B}と\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}を(\mathbf{X}に関する) 線形系と仮定する.
\mathbf{(a)} もし\operatorname{rank}[(\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})ならば, \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は\mathbf{A X}=\mathbf{B}に同値であり, それによって補助定理11.6.1と補助定理11.6.2が一般化されることを示せ.
補助定理11.6.2. 任意のm\times n行列\mathbf{A}とn \times p行列\mathbf{F} に対して，線形系\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AX} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AF}は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{AX}=\mathbf{AF}に同値である.
\mathbf{(b)} もし\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]\lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})でありかつ\mathbf{CAX}= \mathbf{CB}が無矛盾であるならば,\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解集合は \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合である(すなわち, \mathbf{AX}=\mathbf{B}の解でない\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解が存在する）ことを示せ.
\mathbf{(c)} もし\operatorname{rank}[\mathcal{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})] \lt \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})でありかつ\mathbf{AX}= \mathbf{B}が矛盾しているならば, \mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は無矛盾のことも矛盾していることもあることを例を挙げて示せ.
\mathbf{(a)} \operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]= \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})であるとする。このとき定理4.4.7から\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B}) したがって\mathcal{R}(\mathbf{A}, \mathbf{B})\subset\mathcal{R}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]である。ここで定理4.2.2によるとある行列\mathbf{L}に対して(\mathbf{A}, \mathbf{B})=\mathbf{LC}(\mathbf{A}, \mathbf{B})となることがわかる。
補助定理4.2.2 任意のm\times n行列\mathbf{A}とm\times p行列\mathbf{B} に対して， \mathbf{B}=\mathbf{AF} を満たすn\times p行列\mathbf{F} が存在するときかつそのときに限って， \mathcal{C}(\mathbf{B})\subset\mathcal{C}(\mathbf{A})である.同様に，任意のm\times n行列\mathbf{A}と任意のq\times n行列\mathbf{C} に対して， \mathbf{C}=\mathbf{LA} を満たす q\times m行列\mathbf{L} が存在するときかつそのときに限って，\mathcal{R}(\mathbf{C})\subset\mathcal{R}(\mathbf{A})である.
したがって\mathbf{A}=\mathbf{LCA},\mathbf{B}=\mathbf{LCB}である。\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の任意の解\mathbf{X}^*について
\mathbf{AX}^*=\mathbf{LCAX}^*=\mathbf{LCB}=\mathbf{B}
となる。したがって\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の任意の解は\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解であり，(\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解であることから)\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は\mathbf{AX}=\mathbf{B}と等価であることがわかる。
\mathbf{(b)} \operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]< \operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})で\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}が無矛盾であるとする。ここで\mathbf{AX}=\mathbf{B}が無矛盾でないとき\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合であることは明らかである。したがって\mathbf{AX}=\mathbf{B}が無矛盾であるとする。このとき定理7.2.1を用いると
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})>\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=\operatorname{rank}(\mathbf{C A}, \mathbf{C B})=\operatorname{rank}(\mathbf{C A})
となることがわかる。このことから
n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})<n-\operatorname{rank}(\mathbf{C A})\tag{1}
となることがわかる。
\mathbf{X}_0を\mathbf{AX}=\mathbf{B}の任意の特殊解であるとする。定理11.2.3によると\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合の要素n\times p行列\mathbf{X}^*は同じ係数行列を持つ線形同次系\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解\mathbf{Z}^*を用いて
\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*
と表される。同様に\mathbf{X}_0は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解でもあるので\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の要素n\times p行列\mathbf{X}^*は線形同次系\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解\mathbf{Z}^*を用いて
\mathbf{X}^*=\mathbf{X}_0+\mathbf{Z}^*
と表される．
補助定理11.3.2から\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間の次元はp[n-\operatorname{rank}(\mathbf{A})]に等しく，\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の次元はp[n-\operatorname{rank}(\mathbf{CA})]に等しいことがわかる。\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間が\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の部分空間であることは明らかであり，これと(1)の不等式を踏まえると\mathbf{AZ}=\mathbf{0}の解空間は\mathbf{CAZ}=\mathbf{0}の解空間の真部分空間であることがわかる．したがって\mathbf{AX}=\mathbf{B}の解集合は\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}の解集合の真部分集合であることがわかる。
\mathbf{(c)} \mathbf{AX}=\mathbf{B}は任意の無矛盾でない線形系で\mathbf{C}=\mathbf{0}とすると
\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A},\mathbf{B})]=0<\operatorname{rank}(\mathbf{A},\mathbf{B})
である。このとき\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は無矛盾である。
次に
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right), \mathbf{C}=(1,0)
の場合を考える。このとき\mathbf{A X}=\mathbf{B}は明らかに矛盾している。また
\operatorname{rank}[\mathbf{C}(\mathbf{A}, \mathbf{B})]=1<2=\operatorname{rank}(\mathbf{A}, \mathbf{B})
である。したがって\mathbf{CAX}=\mathbf{CB}は明らかに矛盾している。
8.
\mathbf{A}をq\times n行列，\mathbf{B}をm\times p行列，\mathbf{C}をm\times q行列とし，(n\times p行列\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{CAX} = \mathbf{B}が無矛盾であると仮定する. \operatorname{rank}(\mathbf{CA}) = \operatorname{rank}(\mathbf{A})のときかつそのときに限って，\mathbf{AX}の値が\mathbf{CAX} = \mathbf{B}のあらゆる解に対して同ーであることを示せ.
\mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A}) ならば \operatorname{rank} の定義から \operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) であり, 逆に \operatorname{rank}(\mathbf{CA})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) ならば系 4.4.7 より \mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A}) である.
系 4.4.7. \mathbf{A} を m \times n 行列, \mathbf{F} を n \times p 行列とする. \operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) ならば, \mathcal{C}(\mathbf{A F})=\mathcal{C}(\mathbf{A}) である. 同様に, もし \operatorname{rank}(\mathbf{A F})=\operatorname{rank}(\mathbf{F}) ならば, \mathcal{R}(\mathbf{A F})=\mathcal{R}(\mathbf{F}) である.
よって, \operatorname{rank}(\mathbf{C A})=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) のときかつそのときに限って, \mathcal{R}(\mathbf{A}) = \mathcal{R}(\mathbf{C A})
であり, \mathcal{R}(\mathbf{C A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}) よりこれは \mathcal{R}(\mathbf{A}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{C A}) と同値であるから, 定理 11.10.1 より題意が示される.
定理 11.10.1. \mathbf{A X}=\mathbf{B} が (n \times p 行列 \mathbf{X} に関する) 無矛盾な線形系と仮定し, \mathbf{L}, \mathbf{K} を n \times q 行列とする. このとき, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X} の値は, \mathcal{R}\left(\mathbf{K}^{\prime}\right) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A}) のときかつそのときに限って, すなわち, \mathbf{K}^{\prime} のあらゆる行が \mathcal{R}(\mathbf{A}) に属するときかつそのときに限って, \mathbf{A X}=\mathbf{B} のあらゆる解に対して同一である.
9.
(1) 定理11.10.4と (2)定理11.10.5 を証明せよ.
定理11.10.4 \mathbf{A}をm\times n行列，\mathbf{B}をm \times p行列，\mathbf{K}をn \times q行列とする. もし\mathbf{X}^{*},\mathbf{L}^{*}がそれぞれ(\mathbf{X}, \mathbf{L}に関する)線形系
\begin{pmatrix}\mathbf{A} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{K}^{\prime} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix}\tag{10.2}の任意の解の第1と第2の部分ならば, \mathbf{X}^{*}は(\mathbf{X}に関する）線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解で\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}である. 逆に, もし\mathbf{X}^{*}が\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}の任意の解ならば, \mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}はそれぞれ線形系(10.2)の適当な解の第1と第2の部分である.
定理 11.10.5.\mathbf{A}をn \times n行列,\mathbf{B}をn \times p行列,\mathbf{K}をn \times q行列とする. もし\mathbf{X}^{*}, \mathbf{L}^{*}がそれぞれ（\mathbf{X}, \mathbf{L}に関する）線形系
\begin{pmatrix}\mathbf{A}+\mathbf{K} \mathbf{K}^{\prime} & -\mathbf{K} \\ -\mathbf{K} & \mathbf{I}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathbf{X} \\ \mathbf{L}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathbf{B} \\ \mathbf{0}\end{pmatrix} \tag{10.3}の任意の解の第1と第2の部分であるならば，\mathbf{X}^{*}は(\mathbf{X}に関する)線形系\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解で\mathbf{L}^{*}=\mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}である．逆に，もし\mathbf{X}^{*}が\mathbf{A X}=\mathbf{B}の解ならば,\mathbf{X}^{*}, \mathbf{K}^{\prime} \mathbf{X}^{*}はそれぞれ線形系(10.3)の適当な解の第1と第2の部分である.
(1)
まず、定理11.10.4を考える。
今、\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}がそれぞれ(10.2)式の任意の解の第１と第２の部分とする。すると、(10.2)式より明らかに、
\begin{aligned}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{aligned}
が成り立つ。今、\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つため、\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{A}\mathbf{X} = \mathbf{B}の解である。
同様に、
\begin{aligned}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast}
= \mathbf{0} &(\because 仮定) \\
&\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast}
\end{aligned}
が成り立つ。よって\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}の解である。
次に、逆を考える。\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つとする。(10.2)式に代入すると、
\begin{aligned}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{0}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{aligned}
が成り立つ。
さらに、\mathbf{L} = \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}を代入すると、
\begin{aligned}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
= \mathbf{0}
\end{aligned}
である。よって逆も成り立つ。よって、11.10.4が成り立つ。
次に、定理11.10.5を考える。今、\mathbf{X}^{\ast}, \mathbf{L}^{\ast}がそれぞれ(10.3)式の任意の解の第1と第2の部分とする。すると、(10.3)式より明らかに、
\begin{aligned}
&-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{L}^{\ast}
= \mathbf{0} &(\because 仮定) \\
&\Leftrightarrow \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{L}^{\ast}
\end{aligned}
が成り立つ。よって、\mathbf{X}^{\ast}は、\mathbf{K}'\mathbf{X} = \mathbf{L}^{\ast}の解である。また、この式を代入すると、
\begin{aligned}
(\mathbf{A}+\mathbf{K}\mathbf{K}') \mathbf{X}^{\ast} -\mathbf{K}\mathbf{L}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{aligned}
が成り立つ。よって、\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} = \mathbf{B}が成り立つので、\mathbf{X}^{\ast}は\mathbf{A}\mathbf{X}= \mathbf{B}の解である。
逆を考えて、10.3式に解を導入すると、
\begin{aligned}
\mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{K}\mathbf{K}' \mathbf{X}^{\ast} - \mathbf{K} \mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
&= \mathbf{A}\mathbf{X}^{\ast} \\
&= \mathbf{B} &(\because 仮定)
\end{aligned}
が成り立つ。また、
\begin{aligned}
-\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast} + \mathbf{I}\mathbf{K}'\mathbf{X}^{\ast}
= \mathbf{0}
\end{aligned}
今、10.3式が満たされたので、これらは解である。
Discussion