はじめに
統計のための行列代数 練習問題 解答例まとめを参照
第10章 練習問題
1.
もしn\times n行列\mathbf{A}が冪等であるならば，次のことが成り立つことを示せ.
\mathbf{(a)} 任意のn\times n非特異行列\mathbf{B}に対して，\mathbf{B}^{-1}\mathbf{AB}は冪等である.
\mathbf{(b)} 2以上の任意の整数kに対して，\mathbf{A}^k = \mathbf{A}である.
\mathbf{(a)}
\begin{aligned}
(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}) = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{B}.
\end{aligned}
\mathbf{(b)}
数学的帰納法による。定義より、k = 2のとき、\mathbf{A}^k = \mathbf{A}が成り立つ。今、k = k^{\star}のとき\mathbf{A}^k = \mathbf{A}であると仮定する。すると、
\begin{aligned}
\mathbf{A}^{k^{\star} + 1} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{k^{\star}} = \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A}.
\end{aligned}
2.
\mathbf{P}を\mathbf{P}^{\prime}\mathbf{P} = \mathbf{I}_{n}を満たすm\times n行列(ここでm \geq nとする) ，すなわち，列が (通常の内積に関して)正規直交系を成すm\times n行列とする.このとき，m\times m対称行列\mathbf{PP}^{\prime}が冪等であることを示せ.
\left(\mathbf{P P}^{\prime}\right) \mathbf{P P}^{\prime}=\mathbf{P}\left(\mathbf{P}^{\prime} \mathbf{P}\right) \mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P I}_{n} \mathbf{P}^{\prime}=\mathbf{P P}^{\prime}
より、冪等行列であることが示された。
3.
任意の対称冪等行列\mathbf{A}に対して，行列\mathbf{I}-2\mathbf{A}が直交行列であることを示せ.
\mathbf{A}は対称冪等行列なので\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime},\quad \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{2} = \mathbf{A}である。
直交行列の定義は
\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}=\mathbf{A}\mathbf{A^{\prime}}=\mathbf{I}
なので(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})^{\prime}(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}) = \mathbf{I}であることを証明すれば良い。
\begin{aligned}
(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})^{\prime}(\mathbf{I}-2 \mathbf{A})&=(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}^{\prime})(\mathbf{I}-2 \mathbf{A}) \\
&=\mathbf{I}-2 \mathbf{A}^{\prime}-2 \mathbf{A}+4 \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} \\
&=\mathbf{I}-2 \mathbf{A}-2 \mathbf{A}+4 \mathbf{A}=\mathbf{I}
\end{aligned}
よって、題意は示された。
4.
\mathbf{A}をm\times n行列とする.もし\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}が冪等ならば，\mathbf{AA^{\prime}}も冪等であることを示せ.
\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}が冪等であることを仮定すると、定義から\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}である。この仮定のもとで\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{AA}^{\prime} = \mathbf{AA}^{\prime}が成立することを示せば\mathbf{AA}^{\prime}が冪等であることを示せる。ここで
系5.3.3. (1) 任意のm\times n行列\mathbf{A}とn \times p行列\mathbf{B}，\mathbf{C}に対して， \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AB} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{AC}であるときかつそのときに限って，\mathbf{AB} = \mathbf{AC}である. (2) 同様に，任意のm\times n行列\mathbf{A}とp \times n行列\mathbf{B}，\mathbf{C}に対して，\mathbf{BA}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{CA}^{\prime}\mathbf{A}であるときかつそのときに限って，\mathbf{BA}^{\prime} = \mathbf{CA}^{\prime}である.
より、\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} \iff \mathbf{A}\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{A} = \mathbf{A}である（\mathbf{A}^{\prime}は\mathbf{A}の一般逆行列である。）。これを用いれば容易に
\begin{aligned}
\mathbf{AA}^{\prime}\mathbf{AA}^{\prime} &= \mathbf{AA}^{\prime}
\end{aligned}
であることが示される。したがって題意は示された。
5.
\mathbf{A}を対称行列，kを1以上の整数とする.もし\mathbf{A}^{k+1}=\mathbf{A}^{k}ならば， \mathbf{A}は冪等であることを示せ.
kから2までの整数mについて\mathbf{A}^{m+1}=\mathbf{A}^{m}ならば\mathbf{A}^{m}=\mathbf{A}^{m-1}であることを示せば十分である。
\mathbf{A}^{m+1}=\mathbf{A}^{m}を仮定する。そのとき、\mathbf{A}が対称行列であるため、
\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-1} = \mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-2}
が成り立つ（ただし\mathbf{A}^0 = \mathbf{I}）。また、系5.3.3から
\mathbf{A}\mathbf{A}^{m-1} = \mathbf{A}\mathbf{A}^{m-2}
となり、これは
\mathbf{A}^{m}=\mathbf{A}^{m-1}
と等しい。
系5.3.3.
(1) 任意のm\times m行列\mathbf{A}とn\times p行列\mathbf{B},\mathbf{C}に対して、\mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{A}'\mathbf{A}\mathbf{C}であるときかつその時に限って、\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{A}\mathbf{C}である。
(2) 同様に、任意のm\times m行列\mathbf{A}とp\times n行列\mathbf{B},\mathbf{C}に対して、\mathbf{B}\mathbf{A}'\mathbf{A} = \mathbf{C}\mathbf{A}'\mathbf{A}であるときかつその時に限って、\mathbf{B}\mathbf{A}'=\mathbf{C}\mathbf{A}'である。
6.
\mathbf{A}をn\times n行列とする.\mathbf{A}が対合のときかつそのときに限って，(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})が冪等であることを示せ. (ここで対合は練習問題8.2で定義したものである.)
\mathbf{A}は\mathbf{A}^2=\mathbf{I}のとき対合という。(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})の2乗を計算すると
\left\{\frac{1}{2}(\mathbf{I}+\mathbf{A})\right\}^2=\frac{1}{4}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{A}^2
となる．したがって(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})は以下が成り立つときかつその時に限り冪等行列となる
\frac{1}{4}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}+\frac{1}{4}\mathbf{A}^2=\frac{1}{2}\mathbf{I}+\frac{1}{2}\mathbf{A}
これは式をまとめると(1/4)\mathbf{A}^2 =(1/4)\mathbf{I}，すなわち\mathbf{A}^2=\mathbf{I}である。したがって\mathbf{A}が対合のときかつそのときに限って，(1/2)(\mathbf{I} + \mathbf{A})が冪等である。
7.
\mathbf{A},\mathbf{B}をn\times n対称冪等行列とする.もし\mathcal{C}(\mathbf{A}) = \mathcal{C}(\mathbf{B})ならば，\mathbf{A} = \mathbf{B}であることを示せ.
\mathcal{C}(\mathbf{A})=\mathcal{C}(\mathbf{B})と仮定する. 補助定理 4.2.2より, \mathbf{A}=\mathbf{B R} 及び \mathbf{B}=\mathbf{A S} となる n \times n 行列 \mathbf{R}, \mathbf{S} が存在する.
補助定理 4.2.2. 任意のm \times n行列\mathbf{A}とm \times p行列\mathbf{B}に対して,\mathbf{B}=\mathbf{AF}を満たすn \times p行列\mathbf{F}が存在するときかつそのときに限って, \mathcal{C}(\mathbf{B}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{A})である. 同様に, 任意のm \times n行列\mathbf{A}とq \times n行列\mathbf{C}に対して, \mathbf{C}=\mathbf{L} \mathbf{A}を満たすq \times m行列\mathbf{L}が存在するときかつそのときに限って, \mathcal{R}(\mathbf{C}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{A})である.
対称行列なので \mathbf{A} = \mathbf{A}^{\prime}, \mathbf{B} = \mathbf{B}^{\prime} が成立する. これらを用いて
\mathbf{B}=\mathbf{B}^{\prime}=(\mathbf{A S})^{\prime}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A} .
よって,
\mathbf{A}=\mathbf{B B R}=\mathbf{B A}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{A}=\mathbf{S}^{\prime} \mathbf{A}=\mathbf{B} .
以上で題意が示された.
8.
\mathbf{A}をr \times m行列，\mathbf{B}をm\times n行列とする.
\mathbf{(a)} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A B B}^{-} が冪等のときかつそのときに限って,\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}が \mathbf{A B}の一般逆行列であることを示せ.
\mathbf{(b)} もし\mathbf{A}が最大列階数をもつか \mathbf{B}が最大行階数をもつならば, \mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}が\mathbf{A B}の一般逆行列であることを示せ.
\mathbf{(a)} 冪等行列と一般逆行列の定義から、
\mathbf{A}^{-} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{B}^{-}=\mathbf{A}^{-} \mathbf{A B} \mathbf{B}^{-}
\ \ \
\Leftrightarrow
\ \ \
\mathbf{A B B}^{-} \mathbf{A}^{-} \mathbf{A B}=\mathbf{A B}
を示せばよい。
\Leftarrowを示すには、第2式において左から\mathbf{A}^{-}を、右から\mathbf{B}^{-}を、両辺に乗じればよい。
\Rightarrowを示すには、第1式において両辺に左から\mathbf{A}を、右から\mathbf{B}を乗じた上で、一般逆行列の定義式を使えばよい。
\mathbf{(b)} \mathbf{A}が最大列階数をもつなら、補助定理9.2.8により\mathbf{A}^{-}は\mathbf{A}の左逆行列に限られる (つまり、\mathbf{A}^{-} \mathbf{A}=\mathbf{I} )。
補助定理9.2.8.\mathbf{A}を最大列階数をもっ行列，\mathbf{B}を最大行階数をもつ行列とする.このとき，次のことが成り立つ. (1) 行列\mathbf{G}は，\mathbf{G}が\mathbf{A}の左逆行列のときかつそのときに限って，\mathbf{A}の一般逆行列である. (2) 行列\mathbf{G}は，\mathbf{G}が\mathbf{B}の右逆行列のときかつそのときに限って，\mathbf{B}の一般逆行列である.
両辺に右から\mathbf{B B}^{-}を乗じると、\mathbf{A}^{-} \mathbf{\mathbf { A B B } ^ { - }}=\mathbf{B B}^{-}であり、右辺の形は補助定理10.2.5から冪等行列である。したがって、左辺の\mathbf{A}^{-} \mathbf{\mathbf { A B B } ^ { - }}も冪等行列であると分かる。\mathbf{(a)}と合わせると、\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}が\mathbf{A B}の一般逆行列であることが示される。
補助定理10.2.5. \mathbf{A}をm\times n行列とすると，n \times n行列\mathbf{A}^{-}\mathbf{A}とm\times m行列\mathbf{AA}^{-}は共に冪等行列である.
\mathbf{B}が最大行階数をもつ場合も同様の議論で、\mathbf{B}^{-} \mathbf{A}^{-}が\mathbf{A B}の一般逆行列であることが示される。
9.
\mathbf{T}をm \times p 行列, \mathbf{U} を m \times q 行列, \mathbf{V} を n \times p 行列, \mathbf{W} を n \times q 行列とし, \mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-} \mathbf{U}と置く. 結果(2.1)と共に練習問題9.8 (a) を用いて，もし
\mathbf{(1)} \left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{Q}\right)=\mathbf{0} かつ
\mathbf{(2)} \left(\mathbf{I}-\mathbf{QQ}^{-}\right)\mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-}\mathbf{T}\right)=\mathbf{0} かつ
\mathbf{(3)} \left(\mathbf{I}-\mathbf{TT}^{-}\right) \mathbf{UQ}^{-} \mathbf{V}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}\right)=\mathbf{0} ならば,
\operatorname{rank}\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W}
\end{pmatrix}=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{Q})
であることを示せ.
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{array}\right)とする。そして、\mathbf{G}を練習問題9.8のパート(a)と同様に定義する。
\mathbf{G}=\begin{pmatrix}\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & -\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\ -\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} & \mathbf{Q}^{-}\end{pmatrix}
条件(1)～(3)を満たすとする。練習問題9.8を踏まえて、\mathbf{G}は \mathbf{A}の一般化逆行列であり、任意の行列\mathbf{B}について\operatorname{rank}(\mathbf{B})=\operatorname{tr}\left(\mathbf{B B}^{-}\right)と(2.1)から、以下の結果が得られる。
\begin{aligned}
\operatorname{rank}(\mathbf{A}) &=\operatorname{tr}(\mathbf{A G}) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{A}_{11}\mathbf{G}_{11}+\mathbf{A}_{12}\mathbf{G}_{21} & \mathbf{A}_{11}\mathbf{G}_{12}+\mathbf{A}_{12}\mathbf{G}_{22} \\
\mathbf{A}_{21}\mathbf{G}_{11}+\mathbf{A}_{22}\mathbf{G}_{21} & \mathbf{A}_{21}\mathbf{G}_{12}+\mathbf{A}_{22}\mathbf{G}_{22}
\end{array}\right) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T T}^{-}+\mathbf{T T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-}-\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\mathbf{V}\mathbf{T}^{-} & \mathbf{T}(-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-})+\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-}\\
\mathbf{V}(\mathbf{T}^{-}+\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-})+\mathbf{W}(-\mathbf{Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-}) & \mathbf{V}(-\mathbf{T}^{-}\mathbf{U}\mathbf{Q}^{-})+\mathbf{W}\mathbf{Q}^{-}
\end{array}\right) \\
&=\operatorname{tr}\left(\begin{array}{cc}
\mathbf{T T}^{-}-\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} & \left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \\
\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{-}\right) \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{Q Q}^{-}
\end{array}\right) (\because \mathbf{W}=\mathbf{Q}+\mathbf{VT}^{-1}\mathbf{U}) \\
&=\operatorname{tr}\left(\mathbf{T T}^{-}\right)-\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right]+\operatorname{tr}\left(\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{-}\right) \\
&=\operatorname{rank}(\mathbf{T})-\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right]+\operatorname{rank}(\mathbf{Q}) ... (\mathbf{A})
\end{aligned}
さらに、条件(3)から次のようになる。
\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V}=\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V} \mathbf{T}^{-} \mathbf{T} ... (\mathbf{B})
その結果、以下の計算により、(A)の右辺第2項は0になる。
\begin{aligned}
\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T ^ { - }}\right] &=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-} \mathbf{T T}^{-}\right] (\because \mathbf{B})\\
&=\operatorname{tr}\left[\mathbf{T T}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right] (\because \operatorname{tr}[\mathbf{XY}]=\operatorname{tr}[\mathbf{YX}])\\
&=\operatorname{tr}\left[\left(\mathbf{T T}^{-}-\mathbf{T T}^{-}\right) \mathbf{U} \mathbf{Q}^{-} \mathbf{V T}^{-}\right] \\
&=\operatorname{tr}(\mathbf{0}) (\because 2.1)\\
&=0
\end{aligned}
従って、以下の結論が導かれる。
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{Q})
10.
\mathbf{T}をm \times p行列,\mathbf{U}をm \times q行列, \mathbf{V}をn \times p行列, \mathbf{W}をn \times q 行列とする. \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{pmatrix}, \mathbf{Q}=\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-} \mathbf{U} と置く. 更に,
\mathbf{E}_{\mathbf{T}}=\mathbf{I}-\mathbf{T T}^{-}, \mathbf{F}_{\mathbf{T}}=\mathbf{I}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{T}, \mathbf{X}=\mathbf{E}_{\mathbf{T}} \mathbf{U}, \mathbf{Y}=\mathbf{V F}_{\mathbf{T}}, \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}=\mathbf{I}-\mathbf{Y} \mathbf{Y}^{-} \text {, }
\mathbf{F}_{\mathbf{X}}=\mathbf{I}-\mathbf{X}^{-} \mathbf{X}, \quad \mathbf{Z}=\mathbf{E}_{\mathbf{Y}} \mathbf{Q} \mathbf{F}_{\mathbf{X}}, \quad \mathbf{Q}^{*}=\mathbf{F}_{\mathbf{X}} \mathbf{Z}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{Y}}
と置く.
\mathbf{(a)} (Meyer 1973, Theorem 3.1).
\mathbf{G}_{1}=\left(\begin{array}{c|c}
\mathbf{T}^{-}-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{*} \mathbf{Q}\right) \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} \\
-\mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{*}\right) \mathbf{V T}^{-} & \mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q Q}^{*}\right) \\
-\mathbf{F}_{\mathbf{T}} \mathbf{Y}^{-}\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q} \mathbf{Q}^{*}\right) \mathbf{Q} \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} & \\
\hline\left(\mathbf{I}-\mathbf{Q}^{*} \mathbf{Q}\right) \mathbf{X}^{-} \mathbf{E}_{\mathbf{T}} & 0
\end{array}\right)
と
\mathbf{G}_{2}=\begin{pmatrix}
-\mathbf{T}^{-} \mathbf{U} \\
\mathbf{I}_{q}
\end{pmatrix} \mathbf{Q}^{*}\left(-\mathbf{V T}^{-}, \mathbf{I}_{n}\right)
と置くと, 行列
\mathbf{G}=\mathbf{G}_{1}+\mathbf{G}_{2} \tag{E.1}
が\mathbf{A}の一般逆行列となることを示せ.
\mathbf{(b)} (Meyer 1973, Theorem 4.1).
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=\operatorname{rank}(\mathbf{T})+\operatorname{rank}(\mathbf{X})+\operatorname{rank}(\mathbf{Y})+\operatorname{rank}(\mathbf{Z}) \tag{E.2}
を示せ，(ヒント：結果 (2.1) と共に\mathbf{(a)}を用いよ.)
\mathbf{(c)} \mathcal{C}(\mathbf{U}) \subset \mathcal{C}(\mathbf{T})かつ\mathcal{R}(\mathbf{V}) \subset \mathcal{R}(\mathbf{T})ならば\operatorname{rank}(\mathbf{A})についての公式\textrm{(E.2)}は公式(9.6.1)となり，\mathbf{A}の一般逆行列の公式(9.6.2)は公式\textrm{(E.1)}の特別な場合として得られることを示せ.
\mathbf{(a)}
\mathbf{E_TT} = \mathbf{0}, \mathbf{TF_T} = \mathbf{0}, \mathbf{XF_X} = \mathbf{0}, \mathbf{E_YY} = \mathbf{0}である。また\mathbf{Q}^{*}=\mathbf{F}_{\mathbf{X}} \mathbf{Z}^{-}\mathbf{E}_{\mathbf{Y}}なので\mathbf{X}\mathbf{Q}^{*}=\mathbf{0}, \mathbf{Q}^*\mathbf{Y} = \mathbf{0}であることに注意する。
計算すると、
\mathbf{AG_1A}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T} & \mathbf{U} \\
\mathbf{V} & \mathbf{W - QQ^*Q}
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{A}\mathbf{G_2}\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{0} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{QQ^*Q}
\end{pmatrix}
となる。（すみません、\mathbf{AG_1A}の(2,2)ブロックだけは手計算で確かめることができませんでした。）
よって\mathbf{AGA}=\mathbf{A}である。
\mathbf{(b)}
\mathbf{AG}を計算すると、その(1,1)ブロックは\mathbf{TT^-+XX^-E_T}, (2,2)ブロックは\mathbf{YY^-+E_YQQ^*}である。(9.2.1)より任意の行列\mathbf{B}に対して\text{rank}\mathbf{B}=\text{tr}\mathbf{BB^-}なので、
\begin{aligned}
\text{rank}\mathbf{A}
&=\text{tr}\mathbf{AG} \\
&=\text{tr}\mathbf{TT^-} + \text{tr}\mathbf{XX^-E_T}+\text{tr}\mathbf{YY^-}+\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*} \\
&=\text{rank}\mathbf{T} + \text{tr}\mathbf{XX^-E_T}+\text{rank}\mathbf{Y}+\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*}
\end{aligned}
である。ここで、\mathbf{E_T}, \mathbf{E_Y}が冪等であることに注意して
\begin{aligned}
\text{tr}\mathbf{XX^-E_T}=\text{tr}\mathbf{E_TXX^-}=\text{tr}\mathbf{E_TE_TUX^-}=\text{tr}\mathbf{E_TUX^-}=\text{tr}\mathbf{XX^-}=\text{rank}\mathbf{X}
\end{aligned}
\begin{aligned}
\text{tr}\mathbf{E_YQQ^*}=\text{tr}\mathbf{E_YQF_XZ^-E_Y}=\text{tr}\mathbf{E_YE_YQF_XZ^-}=\text{tr}\mathbf{E_YQF_XZ^-}=\text{tr}\mathbf{ZZ^-}=\text{rank}\mathbf{Z}
\end{aligned}
であるから示された。
\mathbf{(c)}
\mathcal{C}(\mathbf{U})\subset\mathcal{C}(\mathbf{T})かつ\mathcal{R}(\mathbf{V})\subset\mathcal{R}(\mathbf{T})のとき、補助定理9.3.5より
\begin{aligned}
\mathbf{X}&=\mathbf{E_TU}=(\mathbf{I-TT^-})\mathbf{U} = \mathbf{0},\\
\mathbf{Y} &= \mathbf{VF_T} = \mathbf{V}(\mathbf{I-T^-T}) = \mathbf{0}
\end{aligned}
である。よって\mathbf{F_X}=\mathbf{I},\ \mathbf{E_Y}=\mathbf{I},\ \mathbf{Z}=\mathbf{Q}である。従って(E.2)の右辺は\text{rank}\mathbf{T}+\text{rank}\mathbf{Q}となり、(9.6.1)に一致する。
また、\mathbf{X} = \mathbf{0}, \mathbf{Y} = \mathbf{0}なので\mathbf{X^-} = \mathbf{0}, \mathbf{Y^-} = \mathbf{0}と取れる。また、\mathbf{Q^*}=\mathbf{F_XZ^-E_Y}=\mathbf{Z^-}=\mathbf{Q^-}であるから、
\mathbf{G_1} + \mathbf{G_2}=
\begin{pmatrix}
\mathbf{T^-} & \mathbf{0} \\
\mathbf{0} & \mathbf{0}
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
-\mathbf{T^-U}\\
\mathbf{I}
\end{pmatrix}
\mathbf{Q^-}
\begin{pmatrix}
-\mathbf{VT^-}, & \mathbf{I} \\
\end{pmatrix}
となり(9.6.2)に一致する。
Discussion