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統計のための行列代数 第13章 練習問題 解答例

2022/10/08に公開約21,200字

はじめに

統計のための行列代数 練習問題 解答例まとめを参照

第13章 練習問題

1.

\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \boxed{a_{14}} \\ \boxed{a_{21}} & a_{22} & a_{23} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & \boxed{a_{33}} & a_{34} \\ a_{41} & \boxed{a_{42}} & a_{43} & a_{44} \end{pmatrix}

\mathbf{(a)} \mathbf{A}の四角に囲まれた4個の要素から作れる対をすべて書け.
\mathbf{(b)} \mathbf{(a)}からの各々の対の正負を述ベよ.
\mathbf{(c)} \mathbf{(a)}の対のうち負のものの個数を公式(1.1)を用いて計算せよ. そしてこの計算の結果を\mathbf{(b)} の答えと検算せよ.

\sigma_n\left(1, i_1 ; \ldots ; n, i_n\right)=\sigma_n\left(i_1, 1 ; \ldots ; i_n, n\right)=\phi_n\left(i_1, \ldots, i_n\right) \tag{1.1}

\mathbf{(a)}, \mathbf{(b)}
(a_{14}, a_{21}) \rightarrow - ,(a_{14}, a_{33}) \rightarrow -,(a_{14}, a_{42}) \rightarrow -,
(a_{21}, a_{33}) \rightarrow +, (a_{21}, a_{42}) \rightarrow +, (a_{33}, a_{42}) \rightarrow -

\mathbf{(c)}

\phi_4(4,1,3,2)=3+0+1=4

2.

n \times n行列

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}x+\lambda & x & \cdots & x \\ x & x+\lambda & & x \\ \vdots & & \ddots & \\ x & x & & x+\lambda\end{pmatrix}

を考える. 定理13.2.10を用いて

|\mathbf{A}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda)

を示せ.
ヒント:\mathbf{A}の第1列にその後ろのn-1個の列を加えよ. そして結果として得た行列の第1行を後ろのn-1個の行の各々から引け.

定理13.2.10. n\times n行列\mathbf{A}の任意の1つの行(あるいは列)に,1つ以上の他の行(あるいは列)のスカラー倍を加えて作った行列を\mathbf{B}とする.このとき,

|\mathbf{B}| = |\mathbf{A}|
である.


\mathbf{A}の第1列にその後ろのn-1個の列を加えたものは,

\mathbf{B}=\begin{pmatrix} n x+\lambda & x & \cdots & x \\ n x+\lambda & x+\lambda & & x \\ \vdots & & \ddots & \\ n x+\lambda & x & & x+\lambda \end{pmatrix}

\mathbf{B}の第1行を後ろのn-1個の行の各々から引いたものは,

\mathbf{C}=\begin{pmatrix} n x+\lambda & x & \ldots & x \\ 0 & \lambda & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & \lambda \end{pmatrix}

定理13.2.10より, |\mathbf{A}|=|\mathbf{B}|=\left|\mathbf{C}\right|. また, 補助定理13.1.1より, |\mathbf{C}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda). よって, |\mathbf{A}|=\lambda^{n-1}(n x+\lambda) を得る.

補助定理 13.1.1. もし n \times n 行列 \mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\} が(上あるいは下)三角行列ならば,

|\mathbf{A}|=a_{11} a_{22} \cdots a_{n n}
である. すなわち, 三角行列の行列式はその対角要素の積に等しい.

3.

\mathbf{A}n \times n非特異行列とする. もし\mathbf{A}, \mathbf{A}^{-1}の要素がすべて整数ならば, |\mathbf{A}|=\pm 1を示せ.


\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}の要素はすべて整数であるとする。
行列式の定義(テキストP.213)から、|\mathbf{A}||\mathbf{A}^{-1}|はともに整数である。
また、定理13.3.7より|\mathbf{A}^{-1}|=1/|\mathbf{A}|が成り立つ。
従って、|\mathbf{A}|1 /|\mathbf{A}|はともに整数なので、|\mathbf{A}|=\pm 1.が導かれる。

定理13.3.7. \mathbf{A}n\times n行列とすると、|\mathbf{A}|\neq0のときかつそのときに限って、Aは非特異(すなわち、可逆)であり、この場合には

\left|\mathbf{A}^{-1}\right|=1 /|\mathbf{A}|
である.


4.

\mathbf{T}m \times m行列,\mathbf{U}m \times n行列,\mathbf{V}n \times m行列,\mathbf{W}n \times n行列とする. もし\mathbf{T}が非特異ならば,

\left|\begin{array}{cc}\mathbf{V} & \mathbf{W} \\ \mathbf{T} & \mathbf{U}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{U} & \mathbf{T} \\ \mathbf{W} & \mathbf{V}\end{array}\right|=(-1)^{m n}|\mathbf{T}|\left|\mathbf{W}-\mathbf{V T}^{-1} \mathbf{U}\right|

であることを示せ.


定理13.2.7より

\left| \begin{array}{cc} \mathbf{V} & \mathbf{W} \\ \mathbf{T} & \mathbf{U} \end{array} \right|= (-1)^{mn} \left| \begin{array}{cc} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{array} \right| , \quad \left| \begin{array}{cc} \mathbf{U} & \mathbf{T} \\ \mathbf{W} & \mathbf{V} \end{array} \right|= (-1)^{mn} \left| \begin{array}{cc} \mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{array} \right|

であることと、定理13.3.8より示された。

定理13.2.7 n \times p 行列 \mathbf{B}n \times q 行列 \mathbf{C}(ただし p+q=n )に対して

\left|\mathbf{B}, \mathbf{C}\right| = (-1)^{pq}\left|\mathbf{C}, \mathbf{B}\right|

定理13.3.8
m \times m 行列 \mathbf{T}, m \times n 行列 \mathbf{U}, n \times m 行列 \mathbf{V}, n \times n 行列 \mathbf{W} に対して、\mathbf{T} が非特異ならば

\left|\begin{array}{cc}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W} \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} \mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T} \end{array} \right|=\left|\mathbf{T}\right|\left|\mathbf{W} - \mathbf{VT}^{-1}\mathbf{U}\right|

5.

4 \times 4行列

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & 4 & 0 & 5 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -6 & 0\end{pmatrix}

の行列式を次の2つの各々の方法で計算せよ.

\mathbf{(a)}(1.2)あるいは(1.6)の中の0でない項を見出して加える.
\mathbf{(b)} 余因子を用いての展開を繰り返す. (公式(5.1)あるいは(5.2)を用いて, |\mathbf{A}|を展開するのに3 \times 3行列の行列式を用い,3 \times 3行列の行列式を展開するのに2 \times 2行列の行列式を用い, 最後に2 \times 2行列の行列式を展開するのに1 \times 1行列の行列式を用いよ.)

\begin{aligned}|\mathbf{A}|&=\sum(-1)^{\sigma_{n}\left(1, j_{1} ; \ldots ; n, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{n j_{n}} \\ &=\sum(-1)^{\phi_{n}\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} \cdots a_{n j_{n}}\end{aligned} \tag{1.2}
\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=\sum(-1)^{\sigma_{n}\left(i_{1}, 1 ; \ldots ; i_{n}, n\right)} a_{i_{1} 1} \cdots a_{i_{n} n} \\ &=\sum(-1)^{\phi_{n}\left(i_{1}, \ldots, i_{n}\right)} a_{i_{1} 1} \cdots a_{i_{n} n} \end{aligned} \tag{1.6}
|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n} \tag{5.1}
|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1j} \alpha_{1j}+\cdots+a_{nj} \alpha_{nj} \tag{5.2}

\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=(-1)^{\phi_4(2,1,4,3)} 4(1)(-2)(-6)+(-1)^{\phi_4(4,1,2.3)} 5(1)(3)(-6) \\ &=(-1)^{1+0+1} 48+(-1)^{3+0+0}(-90) \\ &=48+90 \\ &=138 \end{aligned}
\begin{aligned}|\mathbf{A}| &=(1)(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{rrr}4 & 0 & 5 \\ 3 & 0 & -2 \\ 0 & -6 & 0\end{array}\right| (一列目に関して展開 )\\ &=(-1)^3(-6)(-1)^{3+2}\left|\begin{array}{rr}4 & 5 \\ 3 & -2\end{array}\right| (3行目に関して展開) \\ &=(-1)^3(-6)(-1)^5\left[4(-1)^{1+1}(-2)+5(-1)^{1+2}(3)\right] \\ &=(-6)(-8-15) \\ &=138 . \end{aligned}

6.

\mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\}n \times n行列とする. もし\mathbf{A}が対称ならば, (\mathbf{A}の)余因子行列もまた対称であることを証明せよ.


a_{ij}の余因子を\alpha_{ij}で表す。行列\mathbf{A}_{i j}を行列\mathbf{A}i行目とj列目を削除して得た(n-1) \times(n-1)部分行列とする。また、行列\mathbf{B}_{ji}\mathbf{A}^{\prime}j行目とi列目を削除して得た(n-1)\times (n-1)部分行列とする。補助定理13.2.1を利用すると

\begin{aligned} \alpha_{i j}&=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right| \\ &=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}^{\prime}\right| (\because 補助定理13.2.1) \\ &=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{B}_{j i}\right| (\because 第2章の結果(1.1)) \\ &=(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{j i}\right| (\because \mathbf{A}が対称行列ならば\mathbf{B}_{j i}=\mathbf{A}_{j i}) \\ &=\alpha_{j i} \end{aligned}

したがって、\mathbf{A}が対称行列ならば\mathbf{A}の余因子行列も対称となることが示された。

補助定理13.2.1 任意のn \times n行列\mathbf{A}に対して

|\mathbf{A}^{\prime}| = |\mathbf{A}|
である.

第2章 結果(1.1) \mathbf{A}_*m \times n行列\mathbf{A}の第i_1, \ldots, i_{m-r}行と第j_1, \ldots, j_{n-s}列を削除して作った(\mathbf{A}の)r \times s部分行列とする. また\mathbf{B}_*\mathbf{A}^{\prime}の第j_1, \ldots, j_{n-s}行と第i_1, \ldots, i_{m-r}列を削除して作った(\mathbf{A}^{\prime}の)s \times r部分行列とする. このとき, 容易に証明されるように

\mathbf{B}_*=\mathbf{A}_*^{\prime}
である.

7.

\mathbf{A}n \times n行列とする.
\mathbf{(a)} もし\mathbf{A}が特異ならば,\operatorname{adj}(\mathbf{A})も特異であることを示せ.
\mathbf{(b)} \operatorname{det}[\operatorname{adj}(\mathbf{A})]=[\operatorname{det}(\mathbf{A})]^{n-1}を示せ.


\mathbf{(a)} \mathbf{A}が零行列であれば\operatorname{adj}(\mathbf{A})も零行列であり、従って特異であることは明らか。
もし\mathbf{A}が零でない特異行列の場合、\mathbf{A}のうちゼロでない行(第i行; \mathbf{a}_i^{\prime}とする)が存在する。
\mathbf{A}が特異なので |\mathbf{A}|=0であり、従って定理13.5.3により\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}である。よって、

\mathbf{a}_i^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}

これは、(\mathbf{a}_i^{\prime}が非零なので)\operatorname{adj}(\mathbf{A})の各行が線型従属であることを意味する。従って、\operatorname{adj}(\mathbf{A})が特異であることが示された。
\mathbf{(b)} 定理13.3.4、定理13.5.3、系13.2.4および (1.9)式を用いて、

|\mathbf{A}||\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=|\mathbf{A} \operatorname{adj}(\mathbf{A})|=\operatorname{det}\left(|\mathbf{A}| \mathbf{I}_n\right)=|\mathbf{A}|^n\left|\mathbf{I}_n\right|=|\mathbf{A}|^n .

もし\mathbf{A}が非特異(|\mathbf{A}| \neq 0)であれば、上式の両辺を|\mathbf{A}|で割って

|\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=|\mathbf{A}|^{n-1} \text {. }

を得る。また、\mathbf{A}が特異であれば、(a)の帰結により\operatorname{adj}(\mathbf{A})も特異なので、

|\operatorname{adj}(\mathbf{A})|=0=|\mathbf{A}|^{n-1}

である。

8.

公式(5.7)を用いて2 \times 2非特異行列の逆行列に対する公式(8.1.2)を証明せよ.

\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \tag{5.7}

2 \times 2の非特異行列Aを以下で表す。

\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}

\alpha_{i j}a_{i j}(i, j=1,2)余因子とすると(5.7)式より以下となる。

\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|)\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \alpha_{21} \\ \alpha_{12} & \alpha_{22} \end{pmatrix} \tag{*}

また各余因子は以下で表現できる。

\begin{gathered} \alpha_{11}=(-1)^{1+1} a_{22}=a_{22}, \quad \alpha_{21}=(-1)^{2+1} a_{12}=-a_{12}, \\ \alpha_{12}=(-1)^{1+2} a_{21}=-a_{21}, \quad \alpha_{22}=(-1)^{2+2} a_{11}=a_{11}, \\ |\mathbf{A}|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} . \end{gathered}

上記を(*)に代入すると(8.1.2)となり証明された。

9.

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}2 & 0 & -1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix}

とする.
\mathbf{(a)} \mathbf{A}の各々の要素の余因子を計算せよ.
\mathbf{(b)} \mathbf{A}の第2行の要素の余因子を用いて|\mathbf{A}|を展開することで|\mathbf{A}|を計算せよ. そして\mathbf{A}の第2列の要素の余因子を用いて|\mathbf{A}|を展開することで検算せよ.
\mathbf{(c)} 公式(5.7)を用いて\mathbf{A}^{-1}を計算せよ.

\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \tag{5.7}

\mathbf{(a)} \mathbf{A}ij成分の余因子を\alpha_{ij}として表すと

\begin{aligned} &\alpha_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -4 & 5 \end{vmatrix}=19, & &\alpha_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=5, \\ &\alpha_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}=4, & &\alpha_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ -4 & 5 \end{vmatrix}=4, \\ &\alpha_{22}=(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=10, & & \alpha_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -4 \end{vmatrix}=8, \\ &\alpha_{31}=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}=3, & & \alpha_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=-1, \\ &\alpha_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}=6 \end{aligned}

\mathbf{(b)} 定理13.5.1. (5.1)i=2として

|\mathbf{A}| = \sum_{j=1}^{n}a_{2j}\alpha_{2j} = (-1)\cdot 4 + 3\cdot 10 + 1\cdot 8 =34

(5.2)j=2として検算すると

|\mathbf{A}| = \sum_{i=1}^{n}a_{i2}\alpha_{i2} = 0\cdot 5 + 3\cdot 10 + (-4)\cdot (-1) = 34

以上で|\mathbf{A}| = 34となる。

定理 13.5.1.\quad a_{i j}n \times n行列\mathbf{A}の第ij要素,\alpha_{ij}a_{i j}(i, j=1, \ldots, n)の余因子とする. このとき,i=1, \ldots, nに対して,

|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n} \tag{5.1}
であり,j=1, \ldots, nに対して,
|\mathbf{A}|=\sum_{i=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1 j} \alpha_{1 j}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n j}\tag{5.2}
である。

\mathbf{(c)}

\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A}), \quad \operatorname{adj} \mathbf{A}=\begin{pmatrix}\alpha_{11} & \cdots & \alpha_{n 1} \\\vdots & \ddots & \vdots \\\alpha_{1 n} & \cdots & \alpha_{n n}\end{pmatrix}を用いて

\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{34}\begin{pmatrix}19 & 4 & 3 \\ 5 & 10 & -1 \\ 4 & 8 & 6\end{pmatrix}

10.

\mathbf{A} = \{a_{ij}\}n\times n(ここでn \ge 2とする)行列,\alpha_{ij}a_{ij}の余因子とする.
\mathbf{(a)} (たとえば, 練習問題11.3 の\mathbf{(b)}の結果を用いて)もし\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1ならば,\mathbf{x}=\left\{x_{j}\right\}\mathbf{y}=\left\{y_{i}\right\}\mathbf{A x}=\mathbf{0}\mathbf{A}^{\prime} \mathbf{y}=\mathbf{0}を満たす任意の\mathbf{0}でないn次元列ベクトルとして,\operatorname{adj}(\mathbf{A})=c \mathbf{x} \mathbf{y}^{\prime}を満たすスカラーcが存在することを示せ. またc0ではなく,y_{i} \neq 0x_{j} \neq 0を満たす任意のi, jに対してc=\alpha_{i j} /\left(y_{i} x_{j}\right)と表せることを示せ.
\mathbf{(b)} もし\operatorname{rank}(\mathbf{A}) \le n-2ならば,\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \mathbf{0}であることを示せ.


\mathbf{(a)}
\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n-1と仮定する。そのとき、\det (\mathbf{A}) = 0であり、それゆえ(定理13.5.3より)

\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A}=\mathbf{0}

である。

定理13.5.1 n\times n行列\mathbf{A}に対して

\mathbf{A}\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = \operatorname{adj}(\mathbf{A})\mathbf{A}=|\mathbf{A}|\mathbf{I}_n
である。

それゆえ 練習問題11.3 Part(b)より\operatorname{adj}(\mathbf{A})=c\mathbf{x}\mathbf{y}'をみたす(もしくは同等に(\operatorname{adj}\mathbf{A})'=c\mathbf{y}\mathbf{x}'をみたす)ようなスカラーcが存在し、したがって、(任意のijについて)

\alpha_{ij} = cy_ix_j \tag{S.3}

が成り立つ。

練習問題11.3 Part(b)
\mathbf{(b)}適当なスカラーcに対して\mathbf{Z}=c\mathbf{x}\mathbf{y}^{\prime}のときかつそのときに限って,\mathbf{AZ}=\mathbf{ZA}=\mathbf{0}であることを示せ.

さらに、(定理4.4.10より)\mathbf{A}(n-1)\times(n-1)の非特異部分行列を含み、あるi,jについて\alpha_{ij} \neq 0であり、これはc\neq 0ということである。そして、y_i\neq 0かつx_j\neq 0となる任意のi,jについて、(S.3に照らし合わせて)c = \alpha_{ij} / (y_ix_j)が成り立つ。

定理4.4.10 \mathbf{A}を階数rの任意のm\times n行列とする。このとき、\mathbf{A}r個の線型独立な行とr個の線型独立な列を含む。そして\mathbf{A}の任意のr個の線型独立な行とr個の線型独立な列に対して、他のm-r個の行とn-r個の列を削除することで得られるr\times r部分行列は非特異である。さらに、(\mathbf{A}の)r個より多い行あるいはr個より多い列の任意の集合は線型従属である。そして階数がrを超える\mathbf{A}のいかなる部分行列は存在しない。

\mathbf{(b)}
もし\operatorname{rank}(\mathbf{A})\leq n-2ならば、定理4.4.10より任意の\mathbf{A}(n-1)\times(n-1)部分行列は特異であり、すなわち任意のi,jについて\alpha_{ij} = 0であること、または同等に\operatorname{adj}(\mathbf{A})=\mathbf{0}であることを意味する。

11.

\mathbf{A}n \times n非特異行列,\mathbf{b}n次元列ベクトルとする.(\mathbf{x}に関する)線形系\mathbf{A x}=\mathbf{b}の解は,\mathbf{A}_{j}\mathbf{A}の第j列に\mathbf{b}を代入して作った行列として, その第j成分が

\left|\mathbf{A}_{j}\right| /|\mathbf{A}|

であるn次元列ベクトルであることを示せ(j = 1,..., n). (この結果をガブリエル・クラメール(Gabriel Cramer, 1704-1752) に因んでクラメールの法則(Cramer's rule) と呼ぶ.)


\mathbf{Ax} = \mathbf{b}の解は\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}と表される.ここでb_i\mathbf{b}i成分,\alpha_{ij}\mathbf{A}ij要素の余因子とする.このとき系13.5.4より\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}j成分は

(1 /|\mathbf{A}|)\left(\alpha_{1 j}, \ldots, \alpha_{n j}\right)\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}=(1 /|\mathbf{A}|) \sum_{i=1}^n b_i \alpha_{i j}

明らかに、\mathbf{A}_jij 番目の要素の余因子 は \mathbf{A} (i = 1, ... , n)ij 番目の要素の 余因子 と同じなので、定理 13.5.1 により \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}j 番目の要素は \left|\mathbf{A}_{j}\right| /|\mathbf{A}| であることがわかる。

系13.5.4. もし\mathbf{A}n \times n非特異行列ならば,

\operatorname{adj}(\mathbf{A})=|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1}
すなわち,
\mathbf{A}^{-1}=(1 /|\mathbf{A}|) \operatorname{adj}(\mathbf{A})
である.

定理13.5.1. a_{i j}n \times n 行列 \mathbf{A} の第 i j 要素, \alpha_{i j}a_{i j}(i, j=1, \ldots, n) の 余因子とする. このとき, i=1, \ldots, n に対して,

|\mathbf{A}|=\sum_{j=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{i 1} \alpha_{i 1}+\cdots+a_{i n} \alpha_{i n}
であり, j=1, \ldots, n に対して,
|\mathbf{A}|=\sum_{i=1}^n a_{i j} \alpha_{i j}=a_{1 j} \alpha_{1 j}+\cdots+a_{n j} \alpha_{n j}
である.

12.

cをスカラー,\mathbf{x}, \mathbf{y}n次元列ベクトル,\mathbf{A}n\times n行列とする.

\mathbf{(a)}

\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y}\tag{E.1}

であることを示せ。

\mathbf{(b)} 特に\mathbf{A}が非特異の場合には, 結果(\textrm{E}.1)

\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|=|\mathbf{A}|\left(c-\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y}\right)

と書き換えられ,結果(3.13)と一致することを示せ.

\left|\begin{array}{cc}\mathbf{T} & \mathbf{U} \\ \mathbf{V} & \mathbf{W}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}\mathbf{W} & \mathbf{V} \\ \mathbf{U} & \mathbf{T}\end{array}\right|=|\mathbf{T}|\left|\mathbf{W}-\mathbf{V} \mathbf{T}^{-1} \mathbf{U}\right|\tag{3.13}

\mathbf{(a)}

13.5.1 a_{ij}n\times n行列Aの第ij要素、\alpha_{ij}a_{ij}の余因子とする.このとき, i = 1,... , n に対して,

|\mathbf{A}|= \sum_j a_{ij} \alpha_{ij}

今、13.5.1から与えられた行列を最後の行とそれ以外の行に分け、最後の行の余因子について展開すると、

\left|\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c\end{array}\right|= \sum_j x_j (-1)^{n+1+j} \det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y}) + c(-1)^{2(n+1)}|\mathbf{A}|

が成り立つ。ただし、\mathbf{A}_jAからj列目を除いたn \times n-1行列である。

同様に、\det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y})についても最後の列の余因子について展開すると、

\det(\mathbf{A_j}, \mathbf{y}) = \sum_i y_i (-1)^{i+n} |\mathbf{A}_{ij}|

が成り立つ。ただし、y_i\mathbf{y}i番目の要素であり、\mathbf{A}_{ij}は、Aからi行目とj列目を除いたn-1×n-1行列である。

よって両式をまとめると、

\begin{aligned} \left|\begin{array}{ll} \mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c \end{array}\right| &=\sum_j x_j(-1)^{n+1+j} \sum_i y_i(-1)^{i+n}\left|\mathbf{A}_{i j}\right|+c(-1)^{2(n+1)}|\mathbf{A}| \\ &=\sum_{i, j} y_i x_j(-1)^{2 n+1+i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right|+c|\mathbf{A}| \\ &=c|\mathbf{A}|-\sum_{i, j} y_i x_j(-1)^{i+j}\left|\mathbf{A}_{i j}\right| \\ &=c|\mathbf{A}|-\sum_{i, j} y_i x_j \alpha_{i j} \\ &=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y} \end{aligned}

が成り立つ。よって題意が満たされた。ただし、\alpha_{ij}a_{ij}の余因子である。

\mathbf{(b)}

(13.5.4) もし\mathbf{A}が非特異行列ならば、

\operatorname{adj}(\mathbf{A}) = |\mathbf{A}|\mathbf{A}^{-1}

今、\mathbf{(a)}で求めた式に(13.5.4)を代入すると、

\begin{aligned} \left|\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{y} \\ \mathbf{x}^{\prime} & c \end{array}\right| &=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime} \operatorname{adj}(\mathbf{A}) \mathbf{y} \\ &=c|\mathbf{A}|-\mathbf{x}^{\prime}|\mathbf{A}| \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y} \\ &=|\mathbf{A}|\left(c-\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{y}\right) \end{aligned}

が成立し、題意は満たされた。

13.

n \times nヴァンデルモンド行列

\mathbf{V}=\begin{pmatrix}1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{pmatrix}

の第k行と第n(最後の)列を削除して得られる(n-1) \times(n-1)部分行列を\mathbf{V}_{k}とする (ここでx_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}は任意のスカラーとする)

|\mathbf{V}|=\left|\mathbf{V}_{k}\right|(-1)^{n-k} \prod_{i \neq k}\left(x_{k}-x_{i}\right)

を示せ.


\mathbf{V}^*は、以下を満たすn\times n行列とする。

  • 1,...,(k-1)番目の行がそれぞれ\mathbf{V}1,...,(k-1)番目の行
  • k,...,(n-1)番目の行がそれぞれ\mathbf{V}(k+1),...,n番目の行
  • n番目の行を\mathbf{V}k番目の行

このとき、\mathbf{V}^*(\mathbf{V}と同様)はn\times nのヴァンデルモンド行列であり、\mathbf{V}_k\mathbf{V}^*の最後の行と列を削除した(n-1)\times(n-1)の部分行列に相当する。
ここで、\mathbf{V}\mathbf{V}^*からn-k個の行の組の連続した交換によって得ることができる。具体的には、\mathbf{V}^*n番目の行を\mathbf{V}^*(n-1), ..., k番目の行と連続して入れ替えることにより、\mathbf{V}\mathbf{V}^*より得ることができる。
したがって、定理13.2.6と(6.4)を利用すると、以下のようになる。

\begin{aligned} |\mathbf{V}| &=(-1)^{n-k}\left|\mathbf{V}^*\right| (\because 定理 13.2.6)\\ &=(-1)^{n-k}\left(x_k-x_1\right) \cdots\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(x_k-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_k-x_n\right)\left|\mathbf{V}_k\right| (\because \mathbf{V}^*の最終行と列について余因子展開)\\ &=\left|\mathbf{V}_k\right|(-1)^{n-k} \prod_{i \neq k}\left(x_k-x_i\right) (\because 結果 6.4) \end{aligned}

定理 13.2.6. n \times n 行列 \mathbf{A}=\left\{a_{i j}\right\} の 2つの行あるいは列を交換して n \times n 行列 \mathbf{B}=\left\{b_{i j}\right\} を作ると,

|\mathbf{B}|=-|\mathbf{A}|
である。

結果 6.4

\begin{aligned} |\mathbf{V}|=& \prod_{\substack{i, j \\ (j<i)}}\left(x_i-x_j\right) \\ =&\left(x_n-x_1\right)\left(x_n-x_2\right) \cdots\left(x_n-x_{n-1}\right) \\ & \times\left(x_{n-1}-x_1\right)\left(x_{n-1}-x_2\right) \cdots\left(x_{n-1}-x_{n-2}\right) \cdots\left(x_2-x_1\right) \end{aligned}

14.

n \times n行列\mathbf{A}, \mathbf{B}に対して

\operatorname{adj}(\mathbf{A B})=\operatorname{adj}(\mathbf{B}) \operatorname{adj}(\mathbf{A})

を示せ.
(ヒント:ビネーコーシーの公式を用いて\operatorname{adj}(\mathbf{A B})\operatorname{adj}(\mathbf{B}) \operatorname{adj}(\mathbf{A})の第i j要素が等しいことを証明せよ.)


一般に正方行列 \mathbf{X} に対して \text{adj}\mathbf{X}(i, j) 成分は (-1)^{i+j}|\mathbf{X}_{ji}|(ただし \mathbf{X}_{ji}\mathbf{X} の第 j 行と第 i 列を削除した行列)であるから、\text{adj}(\mathbf{AB})(i, j) 成分は (-1)^{i+j}|(\mathbf{AB})_{ji}| であり、(\text{adj}\mathbf{B})(\text{adj}\mathbf{A})(i, j) 成分は

\begin{aligned} &\sum_k (\text{adj}\mathbf{B})_{ik} (\text{adj}\mathbf{A})_{kj} \\ =&\sum_k (-1)^{i+k+k+j} |\mathbf{B}_{ki}||\mathbf{A}_{jk}| \\ =&(-1)^{i+j}\sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}| \end{aligned}

である。よって

|(\mathbf{AB})_{ji}| = \sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}| \tag{*}

を示せばよい。以下これを示す。

\mathbf{A} から第 j 行を削除した行列を \mathbf{A}_j とおき、\mathbf{B} から第 i 列を削除した行列を \mathbf{B}_i とおくと (\mathbf{AB})_{ji} = \mathbf{A}_j \mathbf{B}_i であるから、ビネ・コーシーの公式より

\begin{aligned} |(\mathbf{AB})_{ji}| &= |\mathbf{A}_j \mathbf{B}_i| \\ &= \sum_{\{i_1, \ldots, i_{n-1}\} \subset [n]} |\mathbf{A}_j^{\{i_1, \ldots, i_{n-1}\}}||\mathbf{B}_{i\ \{i_1, \ldots, i_{n-1}\}}| \\ &= \sum_k |\mathbf{A}_{jk}||\mathbf{B}_{ki}| \end{aligned}

が成り立つので、(*)が示された。

Discussion

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