【初心者基礎】ベクトルの計算
はじめに
ベクトルと行列は、線形代数という数学の分野で中心的な役割を果たす概念です。一見抽象的な概念ですが、実は私たちの身の回りの様々な現象を記述する上で非常に強力なツールとなっています。この記事では、ベクトルと行列の基礎から、より高度な概念まで、わかりやすく解説していきます。
ベクトル
- ベクトルの定義と表示
ベクトルとは、向きと大きさを持つ量のことです。例えば、力や速度はベクトルで表すことができます。ベクトルは、通常、矢印で表され、矢印の先端がベクトルの向き、矢印の長さがベクトルの大きさを表します。
ベクトルは、成分表示という形で数値で表すこともできます。例えば、2次元空間のベクトルは、(x, y)のように、x軸方向の成分とy軸方向の成分の組で表されます。
- ベクトルの演算
- ベクトルの和: 同じ次元のベクトル同士は、対応する成分同士を足し合わせることで新しいベクトルを作ることができます。
- スカラー倍: ベクトルにスカラー（数）をかける操作です。ベクトルの向きは変わりませんが、大きさがスカラー倍されます。
- ノルム: ベクトルの大きさを表す値です。通常、ユークリッドノルム(L2ノルム)が用いられます。ベクトルの各成分の二乗和の平方根で表されます。2次元空間では、ベクトルの始点から終点までの直線距離に相当します。
- 内積: 2つのベクトルの間の角度や、ある方向への射影などを計算するために用いられます。内積の計算は対応する成分の積の和で行います。内積はスカラー値（数値）を返します。
- ベクトルの応用
ベクトルは、物理学、工学、コンピュータグラフィックスなど、様々な分野で活用されています。例えば、力学における力の合成や分解、コンピュータグラフィックスにおける3次元空間での座標の表現などに用いられます。
行列はまた次回
前回の練習問題
練習問題１ 答え
-
y = x^2 + 3x - 2
Geminiy' = 2x + 3
わたしy' = 2x + 3 -
y = sin x * cos x
Geminiy' = (sin x)' cos x + sin x (cos x)'
= cos x * cos x + sin x * (-sin x)
= cos^2 x - sin^2 x
わたしy' = cos x^2 - sin x^2
２乗の位置が違ってた！確かにこれではx^2 - 曲線
y = x^2
Geminiy' = 2x
y'(2) = 2 * 2 = 4
わたしy' = 2x
2*2=4
練習問題２ 答え
-
y = (x^2 + 3x - 2)^4
Gemini
y' = 4(x^2 + 3x - 2)^3 \cdot (2x + 3)
わたし
y = t^4, t = x^2 + 3x -2
y' = \frac{dy}{dt}*\frac{dt}{dx} = 4t^3 * (2x + 3) = 4(x^2 + 3x -2) * (2x + 3) tの3乗を忘れた！
-
y = sin(2x + 1)
Gemini
y' = cos(2x + 1) \cdot 2
わたし
y = sin t, t = 2x + 1
y' = \frac{dy}{dt}*\frac{dt}{dx} = cos t * 2 = 2cos(2x + 1) -
y = e^{x^3 - 2x}
Gemini
y' = e^{x^3 - 2x} \cdot (3x^2 - 2)
わたし
y = e^t, t = x^3 - 2x
y' = \frac{dy}{dt}*\frac{dt}{dx} =e^t * 3x^2 = e^(x^3 - 2x) * 3x^2
書き方が違ってた。eの何乗の部分のかっこは()じゃなくて｛｝にしないといけなかった！
e^{x^3 - 2x}
3x^2-2 3x^2-2x 3x-2
Discussion