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# キーエンス プログラミング コンテスト2021 A - Two Sequences 2

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キーエンス プログラミング コンテスト2021 A - Two Sequences 2

問題へのリンク

https://atcoder.jp/contests/keyence2021/tasks/keyence2021_a

問題概要

長さ N の数列 a, b があり、 i 番目の数はそれぞれ a_i, b_i である。c_n = max_{1 \leqq i \leqq j \leqq n}a_ib_i を要素として持つ長さ N の数列 c を作る。各 c_1, c_2, \dots, c_N を求めよ。

制約

1 \leqq N \leqq 2 × 10^5
1 \leqq a_i, b_i \leqq 10^9

ABC中の解答

制約 1 \leqq N \leqq 2 × 10^5 から単純に for を2回使って計算しては TLE となってしまうので何かしらの工夫は必要だと気づいた。けどそれが何かぱっと思いつかなかった。累積和と同じように累積Max的なものを取ればいいのかな?でも A 側から使える B が全部とは限らないしなと考えていた。
ノートにまとめていくと、 c_i の場合 A_i だけ B_i のみしか考慮できないが、それより前の A の値たちはすべての B_i を考慮してよいと気づいたので、 i より前の A の最大値と B の最大値をメモしておけば、最大値と i 番目の値のみ考慮しそれ以外は計算しなくてよいと考えDP風に実装した。

dp = [Ai番目までの最大値, Bi番目までの最大値, A_xB_yの最大値すなわちc_i]
とした。

N = int(input())
A = list(map(int, input().split()))
B = list(map(int, input().split()))
# cn = max1<=i<=j<=n aibj

dp = [A[0], B[0], A[0] * B[0]]
print(dp[2])
for i in range(1, N):
    dp[2] = max(dp[2], dp[0] * B[i], A[i] * B[i])
    dp[0] = max(dp[0], A[i])
    dp[1] = max(dp[1], B[i])
    print(dp[2])

https://atcoder.jp/contests/keyence2021/submissions/19466016

公式解法1

c_nc_n = max(c_{n-1}, max(a_1, a_2, \dots, a_n)b_n) と表すことができる。したがって、ABC中の解答でも触れたように累積Maxを計算しておけば O(N) で解くことができる。

N = int(input())
A = list(map(int, input().split()))
B = list(map(int, input().split()))

max_A = [A[0]]
for i in range(1, N):
    max_A.append(max(max_A[i - 1], A[i]))

C = [A[0] * B[0]]
for i in range(1, N):
    C.append(max(C[i - 1], max_A[i] * B[i]))

for c in C:
    print(c)

https://atcoder.jp/contests/keyence2021/submissions/19480371

Discussion

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