Open2021/06/28にコメント追加1非線形計画問題mathHoshi2021/06/28 [証明] 2次元線形空間上の円は凸集合である 2次元線形空間 \R^2 上で、半径 R の円を表す領域は X=\{(x,y)\in\R^2|x^2+y^2\le R^2, R\in\R\} と表せる。ここで、 X の任意の2元 (x_1, y_1), (x_2, y_2) に対して、 (x,y)=(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2, \lambda y_1+(1-\lambda) y_2) となる (x,y) を考える。 \begin{align*} x^2+y^2&=\{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2\}^2 + \{\lambda y_1+(1-\lambda )y_2\}^2 \ \\ &=\lambda^2(x^2_1+y^2_1)+2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2)+(1-\lambda)^2(x_2^2+y^2_2)\\ &\le R^2-2\lambda(1-\lambda)R^2+2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2) \\ &= R^2 + 2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2-R^2)\\ &\le R^2 + 2\lambda(1-\lambda)(\sqrt{(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)}-R^2)\\ &\quad\because (x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)=(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_1y_2)^2\\ &=R^2 \end{align*}\\ \therefore x^2+y^2 \le R^2 上に示したとおり (x,y) \in X となるから、円は凸集合である。
Hoshi2021/06/28 [証明] 2次元線形空間上の円は凸集合である 2次元線形空間 \R^2 上で、半径 R の円を表す領域は X=\{(x,y)\in\R^2|x^2+y^2\le R^2, R\in\R\} と表せる。ここで、 X の任意の2元 (x_1, y_1), (x_2, y_2) に対して、 (x,y)=(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2, \lambda y_1+(1-\lambda) y_2) となる (x,y) を考える。 \begin{align*} x^2+y^2&=\{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2\}^2 + \{\lambda y_1+(1-\lambda )y_2\}^2 \ \\ &=\lambda^2(x^2_1+y^2_1)+2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2)+(1-\lambda)^2(x_2^2+y^2_2)\\ &\le R^2-2\lambda(1-\lambda)R^2+2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2) \\ &= R^2 + 2\lambda(1-\lambda)(x_1x_2+y_1y_2-R^2)\\ &\le R^2 + 2\lambda(1-\lambda)(\sqrt{(x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)}-R^2)\\ &\quad\because (x^2_1+y^2_1)(x^2_2+y^2_2)=(x_1x_2+y_1y_2)^2+(x_1y_2+x_1y_2)^2\\ &=R^2 \end{align*}\\ \therefore x^2+y^2 \le R^2 上に示したとおり (x,y) \in X となるから、円は凸集合である。
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