Langevin系の熱力学的速度限界

https://www.kyoritsu-pub.co.jp/book/b10012378.html
にあったマルコフジャンプ過程の式の導出のLangevin版

n次元Langevin系

$\dot{x}=-\gamma x+s F(x)+D(x,t)\xi_t$

(Dを拡散定数)として

$\Lambda:=P(x,t)D(x,t)$

と置くと、エントロピー生成

$\dot{\sigma}:= \int \frac{J^2}{P} D^{-1}dx$

に対して

$\dot{\sigma}\Lambda= \int dx J^2 \geq \int dx |-J^2| \geq (\int dx|-J |)^2$

$\int dt \int dx |-J^2| =\int dt ( \int dx |\partial_t P|^2) \geq (\int dt \int dx |\partial_t P|)^2 \geq \int dx |\int dt \partial_t P|^2 :=L$
Lは変化の大きさと解釈することができる
一方同様に最左辺に$\int dt$を適用すると

$\sqrt{\int dt 2\dot{\sigma}\Lambda} \leq \sqrt{2\int dt \Lambda \int dt \dot{\sigma}} =\sqrt{2\tau \Lambda} \sigma$

よって

$2\tau \Lambda \sigma \geq L^2$

$\tau \geq \frac{L^2}{2\Lambda \sigma }$

となる。