2022/09/12 基本数学をプレイしている

高校数学からやり直し
ついでにLaTeXを勉強しようと思う。

数について

参考： 3Dグラフィックスのための数学入門

実数

基本だけどおさらい。

自然数 \mathbb N, \mathrm{Natural Number} は、1以上の数（整数）
整数 \mathbb I, \mathrm{Integer} は全ての数、改めて整数を定義しようとすると難しい。

整数だけの世界では足し算・引き算・掛け算ができるが 割り算はできない ( 厳密な定義としては違うんだろうけどとりあえず理解として )

割り算を行うためには整数の比（分数） a/b \quad a,b(\neq0) \land a,b \in \mathrm{R} として表す有理数\mathbb{Q}を導入する。

有理数の定義は「２つの整数a,b (\neq0)を用いて、a/bという分数で表せる実数」と定義するらしい。上とほぼ一緒。

さらに x^2 = 2 の x を求めるには、a/b \quad a,b(\neq0)では表すことのできない数として 無理数 を導入する必要がでてくる。

自然数と整数を含む有理数と無理数を合わせて実数 \mathrm{Real number} \quad \mathbb{R}と定義している。

無理数の数 >> 有理数の数

正の有理数全体の集合は自然数全体の集合と1対1で対応し、番号付けができる

このことを、可算無限集合あるいは可付番無限集合という

---

（後輩にこの辺の話を聞きました）

虚数

次に x^2 = -1 という数式を解くのは実数だけではできず、x^2 = -1の答えとして、x=\pm{i}=\pm{\sqrt{-1}} とする虚数 i \quad Imaginary Number を定義する。

実数と虚数が組み合わさった数を複素数 \mathbb{C} \quad \mathrm{Complex}とする

数の計算

可換

a+b=b+a, a \times b=b \times a

といった形でa,b左右を入れ替えても結果が同じであることを可換や交換可能と呼ぶ。
行列では乗算において可換が成立しないことが実数との違いの１つ。

複素数

複素数は

• 四則演算が可能
• 交換可能である
  $a \times b = b \times a $

複素数は一般的に実数 a,bを用いて

\alpha = a+bi

とあらわされ、 aを実部、bを虚部と呼ぶ。

複素数の四則演算

以降

\alpha = a+bi\\[8pt] \beta = c+di

とする。

\alpha + \beta = (a+b) + (c+d)i \\[16pt] \alpha - \beta = (a-b) + (c-d)i \\[16pt] \alpha \times \beta = (ac-bd) + (ad+bc)i \\[16pt] \alpha \div \beta = \frac{bc-ad}{c^2 + b^2} + \frac{ad-bc}{c^2+d^2}i