[統計検定準1級] 確率分布と母関数

• 周辺確率密度関数

f(x, y) について、Xの周辺確率密度関数はYについての積分。

f_X(x) = \int f(x,y) dy

• 条件付き確率密度関数

Xを与えた時のYの条件付き確率密度関数は、分母がXについての関数、分子がX,Yについての関数。

f_{Y|X}(y|x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}

• 確率母関数

整数値をとる確率変数Xの確率関数がp(x)の時、確率母関数は、

G(s) = E[s^X] = \displaystyle\sum_x s^xp(x)

• 確率母関数をもちいた期待値と分散の計算

\begin{aligned} G'(1) &= E[X] \\ G''(1) &= E[X(X-1)] = E[X^2]-E[X] \end{aligned}

より、

\begin{aligned} E[X] &= G'(1) \\\\ V[X] &= E[X^2] - (E[X])^2 \\ &= G''(1)+G'(1)-(G'(1))^2 \end{aligned}

• モーメント母関数

m(\theta) = \int_{-\infin}^{\infin} e^{\theta x} f(x) dx