二輪車が倒れずに走ることができるのは、倒れる方向へ自動的に舵が切れる「セルフステア」という機能によるものです。これまでの記事では、このセルフステアがどのようなメカニズムで発生し、その効果が運動方程式にどのように現れるのかを紹介してきました。
では、セルフステアに影響する設計要素をどのように設計すれば、車両は安定して走行できるのでしょうか。
この問題を理論的に考えるためには、まず「車両が倒れる」という現象が数式でどのように表されるのかを理解する必要があります。そこで今回は、セルフステアが働かない場合の車両の運動を考えてみます。
例えばハンドルロックなどによって舵を切れないようにすると、セルフステアが働かなくなり、二輪車は直立を保てなくなって、やがて倒れてしまいます。
この状況は運動方程式の観点から見ると非常に扱いやすく、安定性を考える上でも基本的なモデルになります。
舵角を固定した運動方程式
二輪車の運動方程式において舵角を\delta = 0に固定すると、次の式が得られます。
\begin{aligned}
& \begin{bmatrix} M_{\phi\phi} & M_{\phi\delta} \\ M_{\phi\delta} & M_{\delta\delta} \end{bmatrix} \
\begin{bmatrix} \ddot{\phi} \\ 0 \end{bmatrix} \
+ v \begin{bmatrix} 0 & C_{1\phi\delta} \\ C_{1\delta\phi} & C_{1\delta\delta} \end{bmatrix} \
\begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ 0 \end{bmatrix} \\
&\quad + \left( g \begin{bmatrix} K_{0\phi\phi} & K_{0\phi\delta} \\ K_{0\phi\delta} & K_{0\delta\delta} \end{bmatrix} \
+ v^2 \begin{bmatrix} 0 & K_{2\phi\delta} \\ 0 & K_{2\delta\delta} \end{bmatrix} \right) \
\begin{bmatrix}\phi \\ 0 \end{bmatrix} = \
\begin{bmatrix}T_\phi \\ T_\delta\end{bmatrix}
\end{aligned}
これを連立方程式として展開すると、次のようなシンプルな式になります。
\begin{cases}
M_{\phi\phi}\ddot{\phi} + g K_{0\phi\phi}\phi &= T_{\phi} \\
M_{\phi\delta}\ddot{\phi} + v C_{1\delta\phi}\dot{\phi} + g K_{0\phi\delta}\phi &= T_\delta
\end{cases}
このうち第2式は操舵系の運動方程式であり、左辺はセルフステアによって発生するトルクを表しています。すなわち舵角を０に保つには、セルフステアトルクと釣り合うような拘束トルクを与える必要があることを意味しています。
そのため、実際に車両の運動を表しているのは第1式のロール運動方程式のみになります。
このロールの運動方程式には速度vの項が現れていません。これは、舵が固定されると車両は進行方向に等速直線運動を行うことになるためです。ガリレイの相対性原理によれば、等速運動する座標系でも力学法則は同じ形で成立するため、車速によらず yz 平面内のロール運動のみを考えればよいことになります。
倒立振子の運動方程式
さらにM_{\phi\phi} = I_{Txx},\: K_{0\phi\phi} =m_Tz_Tを代入すると、ロールの運動方程式は次のように書き直すことができます。
I_{Txx}\ddot{\phi} +m_Tz_Tg\phi = T_\phi
ここで、
-
I_{Txx} : 車両全体のロール軸回りの慣性モーメント
-
m_T : 車両全体の質量
-
z_T : 車両全体の重心高さ
を表しています。
この式は、原点を中心とした車両全体のロール運動を表しており、これを模式的に表すと次のようなモデルになります。
このモデルは高校物理で扱う単振り子の運動方程式によく似ていますが、重心が支点より上にあるため上下が逆になっており、「倒立振子」と呼ばれます。
単振り子では重力によって元の位置に戻る方向のモーメントが働きますが、倒立振子では重力によってさらに傾きを大きくするモーメントが働きます。そのため、わずかに傾くだけでもその傾きが増幅され、外から支える力が加わらない限り車両は倒れてしまいます。
このことは、上の運動方程式に現れる\phiに関する常微分方程式を解くことによっても確認することができます。
次からの記事では、常微分方程式を実際に解くことで、倒立振子がどのように倒れていくのかを数式から見ていきます。
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