適度なセルフステアを定義しようとすると、操縦性も絡んでライダーの好みも影響してしまうため明確な定義は困難ですが、倒れないことを適度なセルフステアの条件とすれば数式で表すことは可能です。
しかし、それでも二輪車の運動方程式から数式的に表すと非常に複雑で、ほぼ理解不能となってしまいます、そこでまず、舵が切れなければ二輪車は倒れるということを表すことで、安定性の評価方法をご紹介したいと思います。
二輪車の運動方程式の舵角を\delta = 0に固定すると、以下のようになります。
\begin{bmatrix} M_{\phi\phi} & M_{\phi\delta} \\ M_{\phi\delta} & M_{\delta\delta} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \ddot{\phi} \\ 0 \end{bmatrix} +
v \begin{bmatrix} 0 & C_{1\phi\delta} \\ C_{1\delta\phi} & C_{1\delta\delta} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix}\dot{\phi} \\ 0 \end{bmatrix} +
\left( g \begin{bmatrix} K_{0\phi\phi} & K_{0\phi\delta} \\ K_{0\phi\delta} & K_{0\delta\delta} \end{bmatrix} +
v^2 \begin{bmatrix} 0 & K_{2\phi\delta} \\ 0 & K_{2\delta\delta} \end{bmatrix} \right)
\begin{bmatrix}\phi \\ 0 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}T_\phi \\ T_\delta\end{bmatrix}
これを連立方程式に展開すると以下のように非常にシンプルな式になります。
\begin{cases}
M_{\phi\phi}\ddot{\phi} + g K_{0\phi\phi} &= T_{\phi} \\
M_{\phi\delta}\ddot{\phi} + v C_{1\delta\phi}\dot{\phi} + g K_{0\phi\delta}\phi &= T_\delta
\end{cases}
このうち第2式の運動方程式は操舵系の式であり、左辺はセルフステアトルクです。これは舵角を０に保つにはセルフステアトルクと等しくなるように拘束トルクを発生させる必要があることを表している式で、実際に車両の運動を表しているのは第1式のロールの運動方程式だけです。
ロールの運動方程式からは速度vの項が無くなっていますが、これは舵が切れなくなることで車両は進行方向には等速度運動をすることになり、速度によらずyz平面内でのロール運動のみを考えれば良いことを表しています。
更にM_{\phi\phi} = I_{Txx},\: K_{0\phi\phi} =m_Tz_tを代入するとロールの運動方程式は次の式で表されます。
I_{Txx}\ddot{\phi} +m_Tz_Tg\phi = T_\phi
I_{Txx}は車両全体のロール軸回りの慣性モーメント、m_Tは車両全体の質量、z_Tは車両全体の重心高さであり、原点を中心とした車両全体のロール運動を表す運動方程式となっていて、これを模式図にすると次のようになります。
高校の物理で習う単振り子の運動方程式によく似ていますが、単振り子とは上下がさかさまで、倒立振子と呼ばれています。運動方程式上の違いは、z_Tの符号はマイナスで単振り子とは重力によるモーメントの向きが逆になります。
図を見れば一度傾くと支える力が加わらない限り倒れてしまうことは直感的にもわかりますが、この運動方程式から車両が倒れることがどのように表されるかは、\phiについての常微分方程式を解くことによってわかります。次の記事から常微分方程式の解法についてご紹介したいと思います。
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