ざっくり統計｜ピアソンの相関係数

ざっくり統計｜ピアソンの相関係数

概要

ピアソンの相関係数（Pearson correlation coefficient）は、2つの変数の線形的な関係性の強さと向きを測定する指標です。
相関係数は -1から1の範囲をとり、

• +1: 完全な正の相関（Xが増えるとYも増える）
• 0: 相関なし（線形関係がない）
• -1: 完全な負の相関（Xが増えるとYは減る）

を意味します。

概念

巷ではゴチャゴチャした数式が蔓延っていますが、ピアソンの相関係数の端的な定義は以下の通りです:

相関係数（r） = 標準化したX（$ZXZ_X$）と標準化したY（$ZYZ_Y$）の共分散

$$r=Cov(ZX,ZY)=Cov(X,Y)Sx⋅Sy \begin{align*} r &= Cov(Z_X, Z_Y) \\[2ex] &= \frac{Cov(X, Y)}{S_x \cdot S_y} \end{align*}$$

細かな証明

$$r=Cov(ZX,ZY)=1n−1∑i=1n(zxi−zxˉ)⋅(zyi−zyˉ)=1n−1∑i=1nzxi⋅zyi because zxˉ=zyˉ=0=1n−1∑i=1nxi−xˉSx⋅yi−yˉSy=1n−1∑i=1n(xi−xˉ)⋅(yi−yˉ)Sx⋅Sy=Cov(X,Y)Sx⋅Sy \begin{align*} r &= Cov(Z_X, Z_Y) \\[2ex] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (z_{x_i} - \bar{z_x}) \cdot (z_{y_i} - \bar{z_y}) \\[2ex] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} z_{x_i} \cdot z_{y_i} \text{ because } \bar{z_x} = \bar{z_y} = 0 \\[2ex] &= \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i - \bar{x}}{S_x} \cdot \frac{y_i - \bar{y}}{S_y} \\[2ex] &= \frac{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) \cdot (y_i - \bar{y}) } { S_x \cdot S_y } \\[2ex] &= \frac{Cov(X, Y)}{S_x \cdot S_y} \end{align*}$$

標準化とは、各変数から平均を引き、標準偏差で割る操作のことです。
これにより、平均0・分散1の変数に変換され、共通のスケールで比較可能になります。

$$zxi=xi−xˉSx z_{x_i} = \frac{x_i - \bar{x}}{S_x}$$

つまり、ピアソンの相関係数については以下が成り立ちます。

• スケールの影響は受けず、事前の標準化は不要（内部で標準化が行われる）
• 傾きの影響は必ずしも受けない（標準化後の傾きをみている）

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公式

2変数 $X=(x1,x2,...,xn)X = (x_1, x_2, ..., x_n)$、$Y=(y1,y2,...,yn)Y = (y_1, y_2, ..., y_n)$ のピアソン相関係数 $rr$ は以下の式で定義されます：

$$r=∑i=1n(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑i=1n(xi−xˉ)2⋅∑i=1n(yi−yˉ)2 r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}$$

または、標準化後の変数 $ZX,ZYZ_X, Z_Y$ を使って：

$$r=1n−1∑i=1nzxi⋅zyi r = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} z_{x_i} \cdot z_{y_i}$$

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検定（有意性の検定）

相関係数が偶然得られたものではなく、統計的に有意かどうかを検定するために、以下の t 分布を用いた検定を行います。

帰無仮説（$H0H_0$）:

$$ρ=0(母集団の相関係数は0である) \rho = 0 \quad (\text{母集団の相関係数は0である})$$

対立仮説（$H1H_1$）:

$$ρ≠0(母集団の相関係数は0でない) \rho \neq 0 \quad (\text{母集団の相関係数は0でない})$$

検定統計量:

$$t=rn−21−r2（自由度 n−2） t = \frac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}} \quad \text{（自由度 } n - 2 \text{）}$$

得られた t 値に基づいて、t 分布を使って p 値を計算します。

実は、相関係数のt値（p値）は回帰係数のt値（p値）と全く同じ値になります。
つまり、相関検定と回帰係数検定は全く同じ手法です。
相関と回帰を混同すると袋叩きにされてしまいますが、この２つは密接に関係しています。
このあたりは別記事で解説予定です。

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信頼区間

ピアソンの相関係数の信頼区間を求めるには、Fisherのz変換を用います。

手順：

1. 相関係数 $r$ を Fisherのz値 に変換：

$$z = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + r}{1 - r}\right)$$

2. $z$の標準誤差：

$$SE_z = \frac{1}{\sqrt{n - 3}}$$

3. $z$の信頼区間（95%信頼区間など）：

$$z_{\text{lower}} = z - 1.96 \cdot SE_z \\ z_{\text{upper}} = z + 1.96 \cdot SE_z$$

4. zの信頼区間を相関係数 $r$ の信頼区間に逆変換：

$$r_{\text{lower}} = \frac{e^{2z_{\text{lower}}} - 1}{e^{2z_{\text{lower}}} + 1} \\ r_{\text{upper}} = \frac{e^{2z_{\text{upper}}} - 1}{e^{2z_{\text{upper}}} + 1}$$

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まとめ

項目	内容
定義	標準化したXとYの共分散
範囲	-1 〜 +1
検定方法	t分布を用いて有意性を評価
信頼区間	Fisherのz変換を用いて計算