熱伝導方程式の意味

熱拡散方程式を扱うことがあり、今更ながら意味を考察した。メモ。

熱拡散方程式

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \Delta u$$

$$u: 温度分布 u(t) \\ \alpha : 熱拡散係数 \\ \Delta : ラプラシアン演算子 ２階微分$$

物理的意味

• $\frac{\partial u}{\partial t}$は温度の時間変化を表す式だと示している
• $\alpha$ は物質固有の熱拡散係数であり熱伝導率に比例し密度と比熱に反比例する定数。これに比例するよということ。
• $\Delta u$ は温度勾配の勾配 に比例して 温度が変化するよという意味

ポイント

• ポイントはこの式は温度の時間変化を示しており、エネルギーの変化や移動を示したものではないということ。エネルギーの移動の結果が温度として現れる。
• 例えば冬に暖房をつけて一定温度を保っているとき、窓の断面の温度勾配と温度は一定であるが、熱エネルギーは常に流出し続けている。
• この式の意味は温度勾配は「平ら」になるように温度は時間変化していく ということ
• 温度勾配が「平ら」であれば、斜めであっても一定温度であってもその箇所は温度変化しない
• 温度勾配の勾配に傾きが生じている箇所に温度の時間変化が生じる という意味である

参考

感謝

• 熱伝導方程式の導出
• 基礎方程式とその意味を考える