母平均の信頼区間

母平均の信頼区間

一般的に信頼区間を求める場合、中心極限定理を使って求めます。母分散は既知とします。

中心極限定理
平均 $\mu$ , 分散 $\sigma^2$ に従う母集団からn個の標本を抽出した時、

標本平均を$\bar x = \sum_{i=1}^n x_i$とすると

$$\bar x \hspace{5pt}\dot{\sim}\hspace{5pt} N(\mu , \sigma^2/n)$$

つまり、nが十分大きければ、標本平均は母平均に収束します。

この性質を使って標準化すると

$$-1.96 \le \frac{\bar x - \mu }{\sqrt{\sigma^2/n}} \le 1.96$$

母平均 $\mu$ の95%信頼区間は次のように求められる。

$$\bar x -1.96 \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}} \le \mu \le \bar x + 1.96 \sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}$$