ガンマ関数の積分公式

ガンマ関数の積分公式

$$∫0∞⋯∫0∞x1α1−1⋯xnαn−1dx1⋯dxn−1=∏i=1nΓ(αi)Γ(∑i=1nαi) \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} x_1^{\alpha_1-1} \cdots x_n^{\alpha_n-1} dx_1 \cdots dx_{n-1} = \frac{\prod_{i=1}^n\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^n\alpha_i)}$$

ただし、左辺の定積分の範囲は $xi≥0(i=1,...,n)x_i \geq 0 \hspace{3pt} (i = 1,...,n)$ および $∑i=1nxi=1\sum_{i=1}^n x_i =1$とする。

注意：
$∑i=1nxi=1\sum_{i=1}^n x_i =1$ の制約によって$xn=1−∑i=1n−1xix_n= 1-\sum_{i=1}^{n-1} x_i$ となるので独立な変数は$x1,...,xn−1x_1,...,x_{n-1}$
そのため積分変数も$xn−1x_{n-1}$までとなっている。

証明

ガンマ関数

$α>0\alpha > 0$ に対して、ガンマ関数 $Γ(α)\Gamma(\alpha)$ は次のように定義されます。

$$Γ(α)=∫0∞xα−1e−xdx \Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} dx$$

ガンマ関数の定義より、

$$∏i=1nΓ(αi)=∫0∞⋯∫0∞e−∑i=1ntit1α1−1⋯tnαn−1dt1⋯dtn \prod_{i=1}^n\Gamma(\alpha_i) = \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} e^{-\sum_{i=1}^nt_i} t_1^{\alpha_1-1} \cdots t_n^{\alpha_n-1} dt_1 \cdots dt_n$$

ここで、変数変換

$$ti=xiz,xi≥0(i=1,...,n),∑i=1nxi=1 t_i = x_i z \hspace{3pt} ,\hspace{3pt} x_i\ge 0 \hspace{3pt}(i=1,...,n), \hspace{3pt} \sum_{i=1}^n x_i =1$$

とする。

ヤコビアンを考える。

$$J=∣∂t1/∂x1⋯∂t1/∂xn−1∂t1/∂z⋮∂tn−1/∂x1⋯∂tn−1/∂xn−1∂tn−1/∂z∂tn/∂x1⋯∂tn/∂xn−1∂tn/∂z∣=∣z x1⋱00⋱⋮zxn−1−z⋯⋯−zxn∣=∣zx1⋱00⋱⋮zxn−10⋯01∣=zn−1 \begin{align*} J &= \left|\begin{matrix}\partial t_1 / \partial x_1 & \cdots &\partial t_1/ \partial x_{n-1} & \partial t_1 / \partial z\\ & \vdots\\ \partial t_{n-1} / \partial x_1 & \cdots &\partial t_{n-1}/ \partial x_{n-1} & \partial t_{n-1} / \partial z\\ \partial t_n / \partial x_1 & \cdots &\partial t_n/ \partial x_{n-1} & \partial t_n / \partial z \end{matrix} \right| \\ &=\left|\begin{matrix} z & & & & x_1\\ & \ddots & \text{\huge{0}} \\ & \text{\huge{0}} & \ddots & & \vdots \\ & & & z & x_{n-1}\\ -z & \cdots & \cdots & -z & x_n \end{matrix} \right| \\ &= \left|\begin{matrix} z & & & & x_1\\ & \ddots & \text{\huge{0}}& \\ & \text{\huge{0}} & \ddots & & \vdots\\ & & & z & x_{n-1}\\ 0 & &\cdots & 0 & 1 \end{matrix} \right| \\ & = z^{n-1} \end{align*}$$

ヤコビアンは $zn−1z^{n-1}$ であることが分かる。

したがって

$$∏i=1nΓ(αi)=∫0∞e−z∑i=1nxiz∑i=1nαi−nzn−1dz×∫0∞⋯∫0∞x1α1−1⋯xn−1αn−1−1xnαn−1dx1⋯dxn−1 \begin{align*} \begin{split} \prod_{i=1}^n\Gamma(\alpha_i) = &\int_0^{\infty} e^{-z\sum_{i=1}^nx_i} z^{\sum_{i=1}^n\alpha_i - n} z^{n-1}dz \\ &\times \int_0^\infty \cdots \int_0^\infty x_1^{\alpha_1-1} \cdots x_{n-1}^{\alpha_{n-1}-1} x_n^{\alpha_n-1} dx_1 \cdots dx_{n-1} \end{split} \end{align*}$$

1つ目の積分は$∑i=1nxi=1\sum_{i=1}^n x_i =1$とガンマ関数の定義より

$$∫0∞e−z∑i=1nxiz∑i=1nαi−nzn−1dz=∫0∞e−zz∑i=1nαi−1dz=Γ(∑i=1nαi) \begin{align*} \int_0^{\infty} e^{-z\sum_{i=1}^nx_i} z^{\sum_{i=1}^n\alpha_i - n} z^{n-1}dz &=\int_0^{\infty} e^{-z} z^{\sum_{i=1}^n\alpha_i - 1} dz\\ &=\Gamma\left(\sum_{i=1}^n\alpha_i\right) \end{align*}$$

2つ目の積分は「積分公式」の左辺と等しい。

以上より

$$∫0∞⋯∫0∞x1α1−1⋯xnαn−1dx1⋯dxn−1=∏i=1nΓ(αi)Γ(∑i=1nαi) \int_0^{\infty} \cdots \int_0^{\infty} x_1^{\alpha_1-1} \cdots x_n^{\alpha_n-1} dx_1 \cdots dx_{n-1} = \frac{\prod_{i=1}^n\Gamma(\alpha_i)}{\Gamma(\sum_{i=1}^n\alpha_i)}$$

となる。

まとめ

ディリクレ分布の期待値や分散を求めるのに必要な公式を導出しました。

結構複雑で、大変でした。

ディリクレ分布の期待値や分散の導出はこちら
https://zenn.dev/totopironote/articles/b819785d547d14

最後に、どなたかMarkdownで枠を作ったりする方法ご存知でしたら、ご教示いただけると幸いです。Notionでいうコールアウトみたいにして定義などをみやすくしたいです。