Open2022/05/06にコメント追加2

Haskellと数学

Haskell

とさ

関手(functor)

定義(ベーシック圏論より引用)

$\mathscr{A}, \mathscr{B}$ を圏とする. 関手(functor) $F: \mathscr{A} \rightarrow \mathscr{B}$ とは,

$A \rightarrow F(A)$ と書かれる関数

ob(\mathscr{A}) \rightarrow ob(\mathscr{B})

$A, A' \in \mathscr{A}$ について $f \rightarrow F(f)$ と書かれる関数

\mathscr{A}(A, A') \rightarrow \mathscr{B}(F(A), F(A'))

からなり以下の公理を満たすもののことである.

$\mathscr{A}$ で $A\rightarrow^{f} A' \rightarrow^{f'} A''$ となるものについて $F(f' \circ f)= F(f')\circ F(f)$
$A\in \mathscr{A}$ について $F(1_A) = 1_{F(A)}$

Haskell

fmap :: (a -> b) -> f a -> f b

このfmap関数が定義の2番に対応する. 定義通りこの関数を読むのであれば、a -> bへの関数を f a -> f bへの関数に変換していると読める。

fは以下の性質を満たす必要がある

Identity
fmap id == id
Composition
fmap (f . g) == fmap f . fmap g

Identityが4, Compositionが3の性質に対応する。
fがfunctorと対応していることがわかる。

とさ

半群 (Semigroup)

集合 $S$ とその上の二項演算 $\cdot: S \times S \rightarrow S$ が与えられた時、組み $(S, \cdot)$ が以下の条件を満たすならば、これを半群という。

結合律

$S$ の格元 $a, b, c$ に対して、等式 $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ が満たされる。

演算が定義されていて結合律を満たせば半群である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/半群

Haskell

Haskellでも半群の定義は以下の通り。Instanceは $x <> (y <> z) = (x <> y) <> z$ を満たす必要があるがこれは半群の定義のまま。演算子は $<>$ である

-- @since 4.9.0.0
class Semigroup a where
        -- | An associative operation.
        --
        -- >>> [1,2,3] <> [4,5,6]
        -- [1,2,3,4,5,6]
        (<>) :: a -> a -> a