流動性提供時のLPトークンの基礎トークンボリュームを都度計算したい

導入

流動性提供時に提供したLPトークンを構成する各基礎トークンのボリュームが、如何に決定できるのかを考察します。

前提

AMMおよびUniswapの最低限の知識を前提としています。

詳しくない方は以下を先に参考ください。

• 【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【前編】：流動性を基軸にUniswapV2モデルとその実装を整理する

• 【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【中編】：君が主役だ！LPトークンスペシャル！！

• 【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【後編】：準備中

また、現時点では最低限自身の備忘録としてまとめていますので、将来的には諸々追記していく予定です。

準備

【３部作】これであなたもUniswapV2チョットデキル【中編】：君が主役だ！LPトークンスペシャル！！で記載しましたが、

流動性解除時、各基礎トークンは以下のようにamountのボリュームが引き出せます。
 

$$\text{amount}_0 = \text{balance}_0 \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

$$\text{amount}_1 = \text{balance}_1 \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

 

$\text{balance0} \approx \text{\_reserve0}$ $\text{balance1} \approx \text{\_reserve1}$なので、

$$\text{amount0}_{\text{out}} = \text{\_reserve0} \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

$$\text{amount1}_{\text{out}} = \text{\_reserve1} \times \frac{\text{liquidity}}{\text{\_totalSupply}}$$

 
これを今回の仕様に合わせて整理して、以下とします。

$$Sx_t = x_t \times \frac{l_t}{\text{totalSupply}_t}$$

$$Sy_t = y_t \times \frac{l_t}{\text{totalSupply}_t}$$

本題

仮定

時間$0$において、UniswapV2の任意のペアに、

あなたが提供した（保有する）流動性$l_0$の内訳を$(Sx_0, Sy_0)$とします。
 

この時、UniswapV2のモデルは以下のように表すことにします。

$$x \times y = k_0$$

 

さらに、その後、多くのユーザーによる流動性の出し入れやスワップにより、

プールの状態は

$$x \times y = k_t$$

に変化したと仮定します。
 

このときのあなたが保有する

流動性$l_0$の時間$t$での内訳を$(Sx_t, Sy_t)$とした場合の算出方法を考察します。

流動性提供時のボリュームの算出

では、最低限の準備が整いましたので、

流動性提供時に提供したLPトークンを構成する各基礎トークンのボリュームが、

どのように計算できるかを考察していきましょう。

既知情報

時間$0$においての以下のデータ

プールの各基礎トークンリザーブ：$x_0$$y_0$

プールのLPトークン供給総量：$\text{totalSupply}_0$

あなたのLPトークン保有量：$l_0$

あなたのLPトークンを構成する各基礎トークン量：$Sx_0$$Sy_0$
 

この条件より以下も既知

スポット価格：$P_0$

k値：$k_0$
 
 

時間$t$においての以下のデータ（あなたのLPトークン保有量は変化しないとします）

プールの各基礎トークンリザーブ：$x_t$$y_t$

LPトークン供給総量：$\text{totalSupply}_t$

あなたのLPトークン保有量：$l_0$
 

この条件より以下も既知

スポット価格：$P_t$

k値：$k_t$
 
 

算出

Uniswapのモデルでは、LPトークンの保有量はプール全体のリザーブに対するシェアを表します。

具体的には、あなたのプールにおけるシェアは以下で計算されます。

時間0におけるシェア

$$\text{シェア}_0 = \frac{l_0}{\text{totalSupply}_0}$$

 

時間$t$におけるシェア

$$\text{シェア}_t = \frac{l_0}{\text{totalSupply}_t}$$

 

時間$t$において、あなたのLPトークン保有量$l_0$は変化しませんが、

プールのLPトークン供給総量$\text{totalSupply}_t$やリザーブ$x_t$$y_t$は変化しています。

そのため、あなたの新しいシェアを使って基礎トークン量を計算できます。
 

時間$t$におけるあなたの基礎トークン量

$$Sx_t = x_t \times \text{シェア}_t = x_t \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_t}$$

$$Sy_t = y_t \times \text{シェア}_t = y_t \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_t}$$

 

時間$t$におけるあなたの基礎トークン量差分

$$\Delta{Sx} = Sx_t - Sx_0$$

$$\Delta{Sx} = x_t \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_t} - x_0 \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_0}$$

 

$$\Delta{Sy} =Sy_t -Sy_0$$

$$\Delta{Sy} = y_t \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_t} - y_0 \times \frac{l_0}{\text{totalSupply}_0}$$