解析学
- 三角関数
- 指数関数・対数関数
- 極限・数列・級数
- 微分
- 積分
- 不定積分
- 偏微分
- ラグランジュの未定乗数法
- 微分方程式
複素解析
- オイラーの公式
- 複素関数
- 複素微分・積分
線形代数
- 行列・行列式
- 固有値・行列の対角化
ベクトル解析
- 微分演算子
- 勾配、回転、発散
- 線積分・面積分
確率
- 数学的確率
- ベイズの定理
- 確率密度関数
フーリエ変換
ラプラス変換

解析学

三角関数

単位円上を動く動径 $\theta$ との交点の座標を $(x,y)$ とするとき

\begin{aligned} x &= \cos\theta \\ y &= \sin\theta \\ \tan\theta &= \frac{x}{y} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\ \end{aligned}

三角関数の基本性質

三角関数の周期性
$n$ を整数として

\begin{aligned} \sin\theta &= \sin(\theta + 2n\pi) \\ \cos\theta &= \cos(\theta + 2n\pi) \\ \tan\theta &= \tan(\theta + n\pi) \\ \end{aligned}

対称性

\begin{aligned} \sin(-\theta) &= -\sin\theta \\ \cos(-\theta) &= \cos\theta \\ \tan(-\theta) &= -\tan\theta \\ \end{aligned}

平行移動

\begin{aligned} \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) &= \cos\theta \\ \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) &= -\sin\theta \\ \tan(\theta + \frac{\pi}{2}) &= -\frac{1}{\tan\theta} \\ \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\ \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta \\ \tan(\frac{\pi}{2} - \theta) &= \frac{1}{\tan\theta} \\ \sin(\theta + \pi) &= -\sin\theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos\theta \\ \end{aligned}

三角関数の定理・公式

三平方の定理より

\begin{aligned} \sin^2\theta + \cos^2\theta &= 1 \\ \therefore \tan^2\theta + 1 &= \frac{1}{\cos^2\theta} \\ \end{aligned}

加法定理

\begin{aligned} \sin(\alpha \pm \beta) &= \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha \pm \beta) &= \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \\ \end{aligned}

倍角の公式（加法定理より $\beta$ に $\alpha$ を代入して導出）

\begin{aligned} \sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ \cos 2\alpha &= 2\cos^2\alpha - 1 \\ &= 1 - 2\sin^2\alpha \\ \end{aligned}

半角の公式

\begin{aligned} \sin^2 \alpha &= \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \\ \cos^2 \alpha &= \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \\ \end{aligned}

積和の公式（加法定理を変形して導出。）

\begin{aligned} \sin\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) \} \\ \cos\alpha\cos\beta &= \frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta) \} \\ \sin\alpha\sin\beta &= -\frac{1}{2} \{ \cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha-\beta) \} \\ \end{aligned}

和積の公式（積和の公式の逆）

\begin{aligned} \sin A + \sin B &= 2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\ \sin A - \sin B &= 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\ \cos A + \cos B &= 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} \\ \cos A - \cos B &= -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} \\ \end{aligned}

三角関数の合成

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta + \alpha)

逆三角関数

三角関数の逆関数を定義する

\begin{aligned} y &= \sin^{-1} x & (-\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}) \\ y &= \cos^{-1} x & (0 \le x \le \pi) \\ y &= \tan^{-1} x \\ \end{aligned}

指数関数

y = a^x

対数関数の基本性質

\begin{aligned} e^0 &= 1 \\ e^ae^b &= e^{a+b} \\ \end{aligned}

対数関数

指数関数の逆関数。すなわち $x = a^y$

\begin{aligned} y &= \log_a x & (0 < x) \\ \end{aligned}

対数関数の基本性質

\begin{aligned} \log_c(ab) &= \log_c a + \log_c b \\ \log_c a^b &= b\log_c a \\ \log_c c &= 1 \\ \log_c a &= \frac{\log_b a}{\log_b c} \\ \end{aligned}

極限

e = \lim_{s \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{s} \right)^s

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

ロピタルの定理
関数 $f(x),g(x)$ が「ある条件」を満たすならば

\begin{aligned} \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \\ \end{aligned}

ロピタルの定理を使用するための「ある条件」

$\lim\limits_{x \to a}f(x) = \lim\limits_{x \to a}g(x)$ が $0$ または $\pm \infty$
$a$ を除いた $a$ 近傍において $g'(x) \neq 0$
$\lim\limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が存在

数列

漸化式によって表されるある数列 $a_{n}$ を $b_n$ に変形。

\begin{aligned} a_{n+1} &= pa_n+ q \\ a_{n+1} - \alpha &= p(a_n - \alpha) \\ b_{n+1} &= pb_n \\ & (\because\ b_{n} = a_n - \alpha)\\ \end{aligned}

級数

初項 $a$ 、公比 $r$ の等比級数の部分和

S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}

$|r| < 1$ かつ $n \to \infty$ のとき

S_\infty = \frac{a}{1-r}

微分

ある関数 $f(x)$ の点 $x$ における接線の傾きを求める。

\frac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

このとき $\frac{d}{dx}f(x) = f'(x)$ と示し、これを $f(x)$ の導関数と呼ぶ。

初等関数の微分

\begin{aligned} (x^a)' &= ax^{a-1} \\ (a^x)' &= a^x\log x \\ (\log x)' &= \frac{1}{x} \\ (\sin x)' &= \cos x \\ (\cos x)' &= \sin x \\ (\tan x)' &= \frac{1}{\cos^2x} \\ (\sin^{-1}x)' &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\cos^{-1}x)' &= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (\tan^{-1}x)' &= \frac{1}{1+x^2} \\ \end{aligned}

微分の性質

線型性

\{ af(x)+bg(x) \}' = af'(x) + bg'(x)

合成関数の微分

\{ f(g(x)) \}' = f'(g(x))g'(x)

積の微分

\{ f(x)g(x) \}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

商の微分

\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{ \{g(x)\}^2 }

対数微分法

$y = a^x$ のような指数を持つ関数を微分するときに、両辺の対数を取ってから微分する手法。

\begin{aligned} y &= a^x \\ \log y &= \log a^x \\ &= x \log a \\ (\log y)' &= (x \log a)' \\ \frac{1}{y} y' &= \log a \\ y' &= y \log a \\ &= a^x \log a \\ \end{aligned}

偏微分

多変数関数 $f(x, y, ...)$ に関して、ある変数 $x$ に対する接線の傾きを求める。

\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y, ...) - f(x, y, ...)}{\Delta x}

この操作を偏微分とよび、 $\frac{\partial f}{\partial x} = f_x$ を関数 $f$ の $x$ に関する偏導関数と呼ぶ。

全微分

多変数関数 $f(x, y, ...)$ の各変数がそれぞれ $x \to x + dx$ 、 $y \to y + dy$ と変化するとき、

\begin{aligned} df &= f(x + dx, y + dy, ...) - f(x, y, ...) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + ... \\ &= f_x dx + f_y dy + ... \\ \end{aligned}

チェインルール

$z = f(x,y)$ かつ $x = x(u,v),y = y(u,v)$ で表されるとき、

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial v} &= \frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \\ \end{aligned}

接平面の方程式

ある曲線が $z = f(x,y)$ と表されるとき、点 $(x_0,y_0)$ での接平面は

$z_0$ ：z切片
$A$ ：x方向の傾き
$B$ ：y方向の傾き

\begin{aligned} z - f(x_0,y_0) &= f_x(x_0,y_0)(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)(y - y_0) \\ z - z_0 &= A(x - x_0) + B(y - y_0) \\ \end{aligned}

ある曲線が $F(x,y,z)=0$ で表される場合、点 $(x_0,y_0,z_0)$ での接平面は

x方向の傾き： $A=F_x(x_0,y_0,z_0)$
y方向の傾き： $B=F_y(x_0,y_0,z_0)$
z方向の傾き： $C=F_z(x_0,y_0,z_0)$

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

2変数関数の極値

2変数関数 $f(x,y)$ の極値を求めるとき

初めに極値となりうる点(停留点)を求める。
$f_x=f_y=0$ を満たす点が停留点。

ヘッセ行列(ヘッシアン)を以下のように定義する。

\begin{aligned} H(x,y) &= \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \\ \end{vmatrix} \\ &= f_{xx}\cdot f_{yy} - (f_{xy})^2 \end{aligned}

停留点 $(a,b)$ において

$H(a,b) > 0$ ならば極値をとり、その点で
- $f_{xx}>0$ ならば極小。
- $f_{xx}<0$ ならば極大。
$H(a,b) < 0$ ならば極値をとらない。
$H(a,b) = 0$ ならばヘッシアンでは判別不能。個別に極値の判定を行う必要がある。

ヘッシアンが0のときの対処法

$H(a,b) = 0$ のときの対処法1
その点が鞍点であることを示す。
$x=0,y=0$ のような適当な2平面で切り取ったときの傾きの変化率を調べる。それらが異符号である場合、2方向から異なる近づき方をしたときに一方では極大、もう一方では極小となるので鞍点。すなわち極値をとらない。

$H(a,b) = 0$ のときの対処法2
その点で極値をとることを示す。
$f(a+h,b+g)>f(a,b)$ または $f(a+h,b+g)<f(a,b)$ を示す。

ラグランジュの未定乗数法

束縛条件 $g(x,y)=0$ のもとで関数 $f(x,y)$ が最大となる点をもとめる

$L(x,y,\lambda) = f(x,y) - \lambda g(x,y)$ とおけば

\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial g}{\partial y} = 0 \\

を満たすか、または点 $(a,b)$ において極値をとり

\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\partial L}{\partial y} = \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \\

が成り立つ。

2変数の例

$x^2+y^2=1$ のもとで $f(x,y)= 2x + 3y$ を最大化する。
$g(x,y)=x^2+y^2-1$ とおいて、 $L(x,y,\lambda) = 2x + 3y - \lambda(x^2+y^2-1)$

\left\{ \, \begin{aligned} L_x &= f_x - \lambda g_x = 0 \\ L_y &= f_y - \lambda g_y = 0 \\ L_\lambda &= g = 0 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \, \begin{aligned} & 2 - 2x\lambda = 0 \\ & 3 - 2y\lambda = 0 \\ & x^2+y^2-1 = 0 \\ \end{aligned} \right. \\ \therefore (x,y) = (\pm \frac{2}{\sqrt{13}}, \pm\frac{3}{\sqrt{13}}) \quad (複合同順)

積分

微分して $f(x)$ になる関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数という。

\{ F(x) \}' = f(x)

原始関数 $F(x)$ を求めることを積分という。

\int f(x) \,dx = F(x)

積分の性質

置換積分
積分変数 $x$ を媒介変数 $t$ による関数 $x(t)$ で表せる場合、 $x$ の $t$ による微分を $\frac{dx}{dt}$ として

\int f(x) \,dx = \int f(x(t)) \frac{dx}{dt} \,dt

部分積分

\int f'(x)g(x) \,dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x) \,dx

または $\int f(x) \,dx=F(x)$ として

\int f(x)g(x) \,dx = F(x)g(x) - \int F(x)g'(x) \,dx

定積分

点 $a$ から点 $b$ までの関数 $f(x)$ の面積を求めるとき、以下のように示し、定積分と呼ぶ。

\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

定積分の性質

積分区間に対する性質

\begin{aligned} \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx &= \int_a^b f(x) dx \\ \int_a^b f(x) dx &= -\int_b^a f(x) dx \\ \end{aligned}

偶関数： $g(x)$ 、奇関数： $h(x)$ とする。

\begin{aligned} \int_a^a g(x) dx &= 2\int_0^a g(x) dx \\ \int_a^a h(x) dx &= 0 \\ \end{aligned}

置換積分
積分変数 $x$ を媒介変数 $t$ による関数 $x(t)$ で表せる場合、 $x$ の $t$ による微分を $\frac{dx}{dt}$ として、 $x:a \to b$ のとき $t:\alpha \to \beta$ ならば

\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(x(t)) \frac{dx}{dt} dt

部分積分

\int_a^b f'(x)g(x) dx = \left[f(x)g(x)\right]_a^b - \int_a^b f(x)g'(x) dx

重積分

図形の積分

回転体の体積

$y=f(x)$ で表される曲線の $x=a,x=b$ と $x$ 軸によって囲まれる図形

$x$ 軸を中心に回転した図形の体積
$x$ 地点でカットした断面積を $S_x(x)=\pi y^2$ として、そこから $dx$ 進んだときの微小体積

\begin{aligned} dV &= S_x(x) \,dx \\ &= \pi y^2 \,dx \\ \therefore\ V &= \int_a^b \pi \{f(x)\}^2 \,dx \\ \end{aligned}

$y$ 軸を中心に回転した図形の体積
バームクーヘン積分を使用する。
半径 $x$ 、高さ $y$ の円筒の表面積を $S_y(x)$ として、そこから $dx$ 進んだときの微小体積(バームクーヘンの1層の体積)

\begin{aligned} dV &= S_y(x) \,dx \\ &= 2\pi x \cdot y \,dx \\ \therefore\ V &= \int_a^b 2\pi x f(x) \,dx \\ \end{aligned}

曲線の長さ

\begin{aligned} dL &= \sqrt{dx^2+dy^2} \\ &= \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \,dx \\ L &= \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \,dx \\ \end{aligned}

$x,y$ が媒介変数 $t$ で表される場合の曲線の長さ

\begin{aligned} dL &= \sqrt{dx^2+dy^2} \\ &= \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \,dt \\ L &= \int_\alpha^\beta \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} \,dt \\ \end{aligned}

$y$ 軸を中心に回転した図形の側面積

\begin{aligned} dS &= 2\pi y \,dL \\ &= 2\pi y \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} \,dx \\ S &= \int_a^b 2\pi f(x) \sqrt{1+(f'(x))^2} \,dx \\ \end{aligned}

置換積分のテクニック

三角関数の積分

$\tan\frac{x}{2}=t$ と置換すれば、三角関数による全ての関数を有理数の形に変形できる $\Rightarrow$ 積分できる。

このとき、

\begin{aligned} \sin x &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \cos x &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ dx &= \frac{2}{1+t^2} dt \\ \end{aligned}

すなわち、 $\tan\frac{x}{2}=t$ の置換のもとで

\int f(\sin x, \cos x) dx = \int f(\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}) \cdot \frac{2}{1+t^2} dt

導出

下記3公式を元に導出できる。

\begin{aligned} \sin x &= 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cos x &= 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \\ \cos^2\frac{x}{2} &= \frac{1}{1+\tan^2\frac{x}{2}} \\ \end{aligned}

$t$ を $x$ で微分。

\begin{aligned} \frac{dt}{dx} &= (\tan\frac{x}{2})' \\ &= \frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}} \\ &= \frac{1+\tan^2\frac{x}{2}}{2} \\ &= \frac{1+t^2}{2} \\ \therefore dx &= \frac{2}{1+t^2}dt \\ \end{aligned}

$\sin x = \cos x \tan x$ より

\begin{aligned} \sin x &= 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ &= 2\cos^2\frac{x}{2}\tan\frac{x}{2} \\ &= \frac{2\tan\frac{x}{2}}{1+\tan^2\frac{x}{2}} \\ &= \frac{2t}{1+t^2} \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \cos x &= 2\cos^2\frac{x}{2} - 1 \\ &= \frac{2}{1+\tan^2\frac{x}{2}} - 1 \\ &= \frac{2-(1+\tan^2\frac{x}{2})}{1+\tan^2\frac{x}{2}} \\ &= \frac{1-t^2}{1+t^2} \\ \end{aligned}

またこのとき

\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}= \frac{2t}{1-t^2}

無理関数の積分

原則として無理関数は積分が出来ない・難しいので、置換によって有理関数の形に変形する。
その方法をいくつかのパターンに分けて考える。

⑴ ルートの中が1次式の場合、ルートごと $t$ と置いて置換する。（ $\sqrt{ax+b}=t$ とおく。）

例： $\sqrt{x+3}=t$ とおくと

x+3=t^2 \Rightarrow x=t^2-3 \\ \therefore \frac{dx}{dt}=2t \Rightarrow dx = 2t\,dt \\ \therefore \int \frac{\sqrt{x+3}}{x} dx = \int \frac{t}{t^2-3} \cdot 2t \,dt

特殊な例

$\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}} = t$ とおく。

\begin{aligned} \frac{ax+b}{cx+d} &= t^2 \\ ax+b &= (cx+d)t^2 \\ x(a-ct^2) &= dt^2-b \\ x &= \frac{dt^2-b}{a-ct^2} \\ \end{aligned}

⑵ $\sqrt{a^2-x^2}$ の場合、 $x=a\sin t$ とおく。

三角関数による置換の例

\begin{aligned} x &= a\sin t \\ dx &= a\cos t \,dt \\ \sqrt{a^2-x^2} &= \sqrt{a^2(1-\sin^2 t)} \\ &= \sqrt{a^2\cos^2 t} \\ &= a\cos t \\ \int \sqrt{a^2-x^2} dx &= \int a\cos t \cdot a\cos t \,dt \\ &= \int a^2 \cos^2 t \,dt \\ &= \int \frac{a^2}{2}(1+\cos2t) \,dt \\ \end{aligned}

$x=a\cos t$ とおいてもよい。

\begin{aligned} x &= a\cos t \\ dx &= -a\sin t \,dt \\ \sqrt{a^2-x^2} &= \sqrt{a^2(1-\cos^2 t)} \\ &= a\sin t \\ \int \sqrt{a^2-x^2} \,dx &= \int a\sin t \cdot (-a\sin t) \,dt \\ &= \int a^2\sin^2 t \,dt \\ &= \int \frac{a^2}{2}(1-\cos2t) \,dt \\ \end{aligned}

$\sqrt{A+2Bx-Cx^2}$ の場合、平方完成して $\sqrt{a^2-(\frac{x-B}{C})^2}$ に持っていく。

⑶ $\sqrt{a^2 + x^2}$ の場合、 $x=a\tan t$ とおく。(分子にある場合、非推奨)

tan tによる置換

\begin{aligned} x &= a\tan t \\ dx &= \frac{a}{\cos^2 t} \,dt \\ \sqrt{a^2 + x^2} &= \sqrt{a^2(1+\tan^2t)} \\ &= \sqrt{\frac{a^2}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{a}{\cos t} \\ \int \frac{1}{ \sqrt{a^2 + x^2} } dx &= \int \frac{\cos t}{a} \cdot \frac{a}{\cos^2 t} \,dt \\ &= \int \frac{1}{\cos t} \,dt \\ \end{aligned}

分子にある場合

⑷ $\sqrt{A + x^2}$ があり、 $x^n$ がかかっている場合

Ⅰ. nが奇数のとき、 $\sqrt{A + x^2}=t$

置換例

\begin{aligned} \sqrt{A + x^2} &= t \\ A + x^2 &= t^2 \\ x \,dx &= t \,dt \\ \int \frac{1}{x\sqrt{A + x^2}} \,dx &= \int \frac{1}{x^2\sqrt{A + x^2}} \cdot x \,dx \\ &= \int \frac{t}{(t^2 - A)t} \,dt \\ &= \int \frac{1}{t^2 - A} \,dt \\ \end{aligned}

Ⅱ. nが偶数のとき、 $x+\sqrt{A + x^2}=t$

置換例

\begin{aligned} t &= x + \sqrt{A + x^2} \\ dt &= (1 + \frac{x}{\sqrt{A + x^2}}) \,dx \\ &= \frac{x + \sqrt{A + x^2}}{\sqrt{A + x^2}} \,dx \\ &= \frac{t}{\sqrt{A + x^2}} \,dx \\ \frac{1}{t} \,dt &= \frac{1}{\sqrt{A + x^2}} \,dx \\ \int \frac{1}{\sqrt{A + x^2}} \,dx &= \int \frac{1}{t} \,dt \\ &= \log |t| + C \\ &= \log (x + \sqrt{A + x^2}) + C \\ \end{aligned}

別の変形

\begin{aligned} \sqrt{A + x^2} &= t-x \\ A + x^2 &= t^2 - 2tx + x^2 \\ 2tx &= t^2 - A \\ x &= \frac{t^2 - A}{2t} \\ dx &= \frac{t^2 + A}{2t^2} \,dt \\ \sqrt{A + x^2} &= t - \frac{t^2 - A}{2t} \\ &= \frac{2t^2 - (t^2 - A)}{2t} \\ &= \frac{t^2 + A}{2t} \\ \int \frac{1}{\sqrt{A + x^2} } \,dx &= \int \frac{2t}{t^2 + A} \cdot \frac{t^2 + A}{2t^2} \,dt \\ &= \int \frac{1}{t} \,dt \\ \end{aligned}

Ⅲ. 双曲線関数を用いて $x = a\sinh t (= a\frac{e^t - e^{-t} }{2})$ と置換

置換例

\begin{aligned} x &= a\sinh t \\ dx &= a\cosh \,dt \\ \sqrt{a^2 + x^2} &= \sqrt{a^2(1 + \sinh^2)} \\ &= a\cosh t \\ \int \sqrt{a^2 + x^2} \,dx &= \int a\cosh t \cdot a\cosh t \,dt \\ &= a^2\int \cosh^2 t \,dt \\ &= \frac{a^2}{2} \int (1 +\cosh 2t) \,dt \\ &= \frac{a^2}{2} (t +\frac{1}{2} \sinh 2t) \,dt \\ &= \frac{a^2}{2} (t +\sinh t\cosh t) \,dt \\ &= \frac{a^2}{2} \sinh^{-1}\frac{x}{a} + \frac{x}{2}\sqrt{x^2 + a^2} \,dt \\ &= \frac{1}{2} (a^2\log(x + \sqrt{x^2 + a^2}) + x\sqrt{x^2 + a^2} ) \,dt \\ \end{aligned}

https://youtu.be/26EXOUgtgOg?si=GwWpdLwli5j3Lezi

King Property

\begin{aligned} \int_a^b f(x) \,dx = \int_a^b f(a+b-x) \,dx \end{aligned}

証明

$x = a + b - t$ と置換積分。
$x:a \to b$ のとき、 $t: b \to a$
$dx = - dt$

\begin{aligned} \int_a^b f(x) \,dx &= \int_b^a f(a+b-t) \cdot ( -dt) \\ &= \int_a^b f(a+b-t) \,dt \\ &= \int_a^b f(a+b-x) \,dx \\ \end{aligned}

例題1

\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \sin^2 x} \,dx \end{aligned}

解法

$x = \pi - t$ と置換すると、 $dx=-dt$ 、 $x:0 \to \pi$ のとき $t:\pi\to 0$

\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{x\sin x}{1 + \sin^2 x} \,dx &= \int_0^{\pi} \frac{(\pi -x)\sin(\pi -x)}{1 + \sin^2(\pi -x)} \,dx \\ &= \int_0^{\pi} \frac{(\pi -x)\sin x}{1 + \sin^2 x} \,dx \\ &= \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \frac{x\sin x + (\pi -x)\sin x}{1 + \sin^2 x} \,dx \\ &= \frac{\pi}{2} \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1 + \sin^2 x} \,dx \\ \end{aligned}

例題2

\begin{aligned} \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \,dx \end{aligned}

解法

$x = \frac{\pi}{2} - t$ と置換すると、 $dx=-dt$ 、 $x:0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t:\frac{\pi}{2} \to 0$

\begin{aligned} \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \,dx &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} \,dx \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \frac{\sin x + \cos x}{\sin x + \cos x} \,dx \\ &= \int_0^\frac{\pi}{2} \,dx \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \end{aligned}

微分方程式

$y$ とその微分によって表現される方程式を満たす一般解 $y=f(x)$ を求める。

微分方程式の基本性質

基本的に解の一意性がある。
解は線形独立な基本解の組によって構成される。
n階ならばn個の基本解を持つ。
基本解の線型結合によって一般解を表現できる。

同次方程式の解法

\begin{aligned} y' + p(x)y &= 0 \\ \end{aligned}

線形一階同次方程式の解の公式

変数分離形

\begin{aligned} y' &= xy \\ \frac{dy}{dx} &= 2xy \\ \frac{dy}{y} &= 2x \,dx \\ \int \frac{1}{y} \,dy &= \int 2x \,dx \\ \log|y| &= x^2 + C \\ |y| &= e^{x^2 + C} \\ &= e^C e^{x^2} \\ y &= \pm e^C e^{x^2} \\ &= A e^{x^2} & (\because A := \pm e^C) \\ \end{aligned}

同次形

$u=\frac{y}{x}$ とおくと、 $y' = u'x + u$

\begin{aligned} y' &= \frac{x^2 + y^2}{xy} \\ &= \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} \\ &= \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \\ u'x + u &= \frac{1}{u} + u \\ \frac{du}{dx} x &= \frac{1}{u} \\ u \,du &= \frac{1}{x} \,dx \\ \int u \,du &= \int \frac{1}{x} \,dx \\ \frac{1}{2} u^2 &= \log|x| + C \\ \frac{y^2}{x^2} &= 2\log|x| + C \\ y^2 &= 2x^2\log|x| + C \\ \end{aligned}

特性方程式

解の1つを $y=e^{\lambda x}$ と予想すると

\begin{aligned} y'' - 3y' + 2y &= 0 \\ \lambda^2 e^{\lambda x} - 3\lambda e^{\lambda x} + 2 e^{\lambda x} &= 0 \\ \lambda^2 - 3\lambda + 2 &= 0 \\ \lambda &= 1,2 \\ \end{aligned}

すなわち $e^x,e^2x$ は解の1つである。

\therefore\ y = Ae^x + Be^2x

重複度

求めた基本解が線形従属の場合、 $x$ をかけて基本解とする。

\begin{aligned} y'' + 4y' + 4y &= 0 \\ \lambda^2 + 4\lambda + 4 &= 0 \\ \lambda &= -2 \quad (2重解) \\ \end{aligned}

よって $e^{-2x}$ の解が重複するため、 $xe^{-2x}$ を基本解のひとつとして

\begin{aligned} y &= Axe^{-2x} + Be^{-2x} \\ &= (Ax + B)e^{-2x} \\ \end{aligned}

特殊解

$y(0)=1$ や $y'(0)=0$ などの初期値が与えられた際の特定の解を特殊解という。

例： $y(0)=1,y'(0)=0$ の初期条件のもとで、 $y''+ \omega^2y=0$ の特殊解を求める。

\begin{aligned} y''+ \omega^2y &= 0 \\ \lambda^2 + \omega^2 &= 0 \\ \lambda &= \pm i\omega \\ \end{aligned}

すなわち $e^{i\omega x},e^{-i\omega x}$ は基本解。オイラーの公式を使うと

\begin{aligned} y &= Ae^{i\omega x} + Be^{-i\omega x} \\ &= C_1\cos\omega x + C_2\sin\omega x \\ \end{aligned}

ここで初期値 $y(0)=1,y'(0)=0$ を満たすのは $C_1=1, C_2=0$
よって求める特殊解は

\begin{aligned} y &= \cos\omega x \\ \end{aligned}

非同次方程式(右辺に項を持つ場合)の解法

\begin{aligned} y' + p(x)y &= q(x) \\ \end{aligned}

右辺の $q(x)=0$ とした補助方程式(同次方程式)の一般解に、非同次方程式の任意の特殊解を足すと非同次方程式の一般解となる。

未定係数法(解の予想)

$0 < \gamma < \omega$ として

\begin{aligned} y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y = mg \\ \end{aligned}

補助方程式の特性方程式を解いて

\begin{aligned} y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y &= 0 \quad \text{(補助方程式)} \\ \lambda^2 + 2\gamma\lambda + \omega^2 &= 0 \\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} \lambda &= -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega^2} \\ &= -\gamma \pm i\sqrt{\omega^2 - \gamma^2} & (\because\ \gamma < \omega) \end{aligned}

すなわち $e^{-\gamma + i\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}}, e^{-\gamma - i\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}}$ は基本解。オイラーの公式より

\begin{aligned} y &= Ae^{-\gamma + i\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}} + Be^{-\gamma - i\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}} \\ &= e^{-\gamma}(C_1\cos\sqrt{\omega^2 - \gamma^2} + C_2\sin\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}) \\ \end{aligned}

非同次方程式の特殊解は右辺の形より、 $a$ を定数として $y=a$ の定数関数で表現できる。この値を求めて、

\begin{aligned} y'' + 2\gamma y' + \omega^2 y &= mg \\ \omega^2 a &= mg \\ a &= \frac{mg}{\omega^2} \\ \end{aligned}

すなわち $y=\frac{mg}{\omega^2}$ は特殊解。
非同次方程式の一般解は同次方程式の一般解に非同次方程式の特殊解を足したものなので

y = e^{-\gamma}(C_1\cos\sqrt{\omega^2 - \gamma^2} + C_2\sin\sqrt{\omega^2 - \gamma^2}) + \frac{mg}{\omega^2}

未定係数法(解の予想)2

\begin{aligned} y'' + 3y' + 2y &= e^x \\ y'' + 3y' + 2y &= 0 \quad (補助方程式) \\ \lambda^2 + 3\lambda + 2 &= 0 \\ \end{aligned} \\ \lambda = -1, -2 \\ y = Ae^{-x} + Be^{-2x} \quad (同次方程式の一般解) \\

右辺の形より、微分して $e^x$ になる特殊解 $y=ae^x$ を予想。代入して

\begin{aligned} ae^x + 3ae^x +2ae^x &= e^x \\ a &= \frac{1}{6} \\ \end{aligned}

すなわち $y = \frac{1}{6}e^x$ は微分方程式を満たす特殊解。
非同次方程式の一般解は

y = Ae^{-x} + Be^{-2x} + \frac{1}{6}e^x \\

定数変化法

\begin{aligned} y'' + 3y' + 2y &= e^x \\ y'' + 3y' + 2y &= 0 \quad (補助方程式) \\ \lambda^2 + 3\lambda + 2 &= 0 \\ \end{aligned} \\ \lambda = -1, -2 \\ y = Ae^{-x} + Be^{-2x} \quad (同次方程式の一般解) \\

ここで任意定数を $A=u(x),B=v(x)$ と関数に置き換えて、微分方程式を満たす特殊解を探す。

\begin{aligned} y &= u(x)e^{-x} + v(x)e^{-2x} \\ y' &= u'e^{-x} - ue^{-x} + v'e^{-2x} - 2ve^{-2x} \\ &= - ue^{-x} - 2ve^{-2x} \\ &(\because\, 特殊解を簡単にするため、u'e^{-x}+v'e^{-2x} = 0と仮定する。) \\ y'' &= - u'e^{-x} + ue^{-x} - 2v'e^{-2x} + 4ve^{-2x} \\ \end{aligned}

非同次方程式の一般解は

y = Ae^{-x} + Be^{-2x} + \frac{1}{6}e^x \\

微分演算子

$D=\frac{d}{dx}$ を微分演算子とすると

\begin{aligned} y'' + 3y' + 2y &= e^{2x} \\ D^2y + 3Dy + 2y &= e^{2x} \\ (D^2 + 3D + 2)y &= e^{2x} \\ (D + 2)(D + 1)y &= e^{2x} \\ y &= \frac{e^{2x}}{(D + 2)(D + 1)} \end{aligned}

https://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/d-eq/bi4.pdf

ラプラス変換による解法

$\mathcal{L}[ y(t) ] := Y(s)$ 、
初期条件 $y(0)=0, \dot{y}(0)=0$ として

\begin{aligned} y'' + 3y' + 2 y &= e^t \\ (s^2 + 3s + 2)Y &= \frac{1}{s-1} \\ Y &= \frac{1}{(s-1)(s+1)(s+2)} \\ &= \frac{1}{6(s-1)} + \frac{1}{2(s+1)} + \frac{1}{3(s+2)} \\ y(t) &= \frac{1}{6}e^t + \frac{1}{2}e^{-t} + \frac{1}{3}e^{-2t} \\ \end{aligned}

完全微分形

P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0 \\ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}\\

https://www.momoyama-usagi.com/entry/math-ode13

複素解析

ある複素数 $z$ の実部を $\mathrm{Re}[z]=x$ 、虚部を $\mathrm{Im}[z]=y$ とする。

オイラーの公式

e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta

複素関数の一覧

\begin{aligned} e^{z} &= e^x(\cos y + i \sin y) \quad (\because\, e^{x + iy})\\ \cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\ \sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i} \\ \tan z &= \frac{\sin z}{\cos z} = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{-iz})} \\ z^n &= |z|^n e^{in\arg[z]} \quad (\because\, r^n e^{in\theta} ) \\ \log z &= \log|z| + \arg[z] \end{aligned}

双曲線関数

実数における双曲線関数

\begin{aligned} \sinh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \cosh x &= \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \tanh x &= \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \\ \end{aligned}

複素数における双曲線関数

\begin{aligned} \cosh z &= \frac{e^z + e^{-z}}{2} \\ \sinh z &= \frac{e^z - e^{-z}}{2} \\ \tanh z &= \frac{e^z - e^{-z}}{e^z + e^{-z}} \\ \end{aligned}

三角関数との関係式

\begin{aligned} \sin iz &= i\sinh z \\ \cos iz &= \cosh z \\ \tanh iz &= i\tanh z \\ \end{aligned}

複素微分・積分

\begin{aligned} z &= x+iy \\ z' &= (x+iy)' \\ &= x' + iy' \\ \int z \,dz &= \int (x + iy) \,dt \\ &= \int x \,dt + i\int y \,dt \\ \end{aligned}

コーシーの積分定理
コーシーの積分公式

線形代数

行列

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ \end{bmatrix}

和積

行列式
逆行列

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad -bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -d & a \\ \end{pmatrix}

転置
対称行列
rank

固有値方程式

|A -\lambda E| = 0

対角化

ベクトル解析

スカラー場： $\phi(x, y, z)$
ベクトル場： $\boldsymbol{a}(x,y,z)=(a_x, a_y, a_z)$

ナブラ

\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)

ラプラシアン

\Delta = \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

勾配

\begin{aligned} \mathrm{grad}\,\phi &= \nabla \phi \\ &= \left(\frac{\partial \phi}{\partial x},\frac{\partial \phi}{\partial y},\frac{\partial \phi}{\partial z}\right) \\ \end{aligned}

発散

\begin{aligned} \mathrm{div}\,\boldsymbol{a} &= \nabla \cdot \boldsymbol{a} \\ &= \frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z} \\ \end{aligned}

回転

\begin{aligned} \mathrm{rot}\,\boldsymbol{a} &= \nabla \times \boldsymbol{a} \\ &= \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_x & a_y & a_z \\ \end{vmatrix} \\ &= \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_y & a_z \\ \end{vmatrix} \boldsymbol{i} - \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\ a_x & a_z \\ \end{vmatrix} \boldsymbol{j} + \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ a_x & a_y \\ \end{vmatrix} \boldsymbol{k} \\ &= \left( \frac{\partial a_z}{\partial y} - \frac{\partial a_y}{\partial z}, \frac{\partial a_x}{\partial z} - \frac{\partial a_z}{\partial x}, \frac{\partial a_y}{\partial x} - \frac{\partial a_x}{\partial y} \right) \end{aligned}

線積分

\begin{aligned} \int_C f \,ds &= \int_C f(\boldsymbol{r}(t)) |\boldsymbol{r}'(t)| \,dt \\ \end{aligned} \\ \because\ ds = |\boldsymbol{r}'(t)| \,dt \quad (線素) \\

\begin{aligned} \int_C \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r} &= \int_C \boldsymbol{a} (\boldsymbol{r}(t)) \cdot \boldsymbol{r}'(t) \,dt \\ \end{aligned}

面積分

単位法線ベクトル

\boldsymbol{n} = \frac{1}{ \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} \right| } \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}

\begin{aligned} \int_S \phi \,dS &= \int \phi(\boldsymbol{r}(u,v)) \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} \right| dudv \\ \because\ dS &= \left|\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} \right| dudv \quad (面積素) \\ \end{aligned}

\begin{aligned} \int_S \boldsymbol{a} \cdot d\boldsymbol{S} &= \int_S \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{n} \,dS \\ &= \int_S \boldsymbol{a}(\boldsymbol{r}(u,v)) \cdot (\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}) \,du\,dv \\ \end{aligned} \\ \because\ d\boldsymbol{S} = \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} dudv \quad (ベクトル面積素) \\

確率

$\Omega$ ：全事象
$\phi$ ：空事象（起こらない事象）
$A$ ：ある事象 $A$ （以降、事象を $A,B,C,...$ のように表記する）
$n(A)$ ：事象 $A$ が持つ根元事象の数
$P(A)$ ：事象 $A$ が起こる確率

余事象 $\bar{A}$ ： $A$ が起こらないという事象
積事象 $A \cap B$ ： $A$ と $B$ が同時に起こるという事象
和事象 $A \cup B$ ： $A$ または $B$ が起こるという事象
条件付き確率 $P(B|A)$ ： $A$ が起きたという条件のもと、 $B$ が起こる確率

任意の事象 $A$ に対して

\begin{aligned} 0 = n(\phi) \le{} & n(A) \le n(\Omega) \\ 0 = P(\phi) \le{} & P(A) \le P(\Omega) = 1 \\ \end{aligned}

どの根元事象も同様に確からしく起こるとき、事象 $A$ が起こる数学的確率を以下のように定義する。

P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}

$A$ の余事象の確率

P(\bar{A}) = 1 - P(A)

確率の加法定理

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

確率の乗法定理

\begin{aligned} P(A \cap B) &= P(A)P(B|A) \\ &= P(B)P(A|B) \\ \end{aligned}

事象の排反
事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こることがない場合、事象 $A,B$ は互いに排反であるという。
事象 $A,B$ が互いに排反であるとき、以下が成り立つ。

\begin{aligned} P(A \cap B) &= 0 \\ P(A \cup B) &= P(A) + P(B) \\ \end{aligned}

事象の独立
事象 $A$ が起こることが事象 $B$ が起こる確率に影響を与えないとき、それらの事象は互いに独立であるという。
事象 $A$ と事象 $B$ が互いに独立なとき、乗法定理は以下のようになる

P(A \cap B) = P(A)P(B)

反復試行の確率
確率 $p$ で成功するような試行を独立に $n$ 回反復して行ったとき、 $n$ 回のうち $k$ 回成功する確率

p_k = {}_n\!\mathrm{C}_k\, p^k (1 - p)^{n-k}

条件付き確率
事象 $A$ が起きたという条件のもと、事象 $B$ が起こる確率

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

ベイズの定理
$A$ という事象が起きたときに、原因が事象 $B$ である確率

P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A) + P(\bar{A})P(B|\bar{A})}

フーリエ変換

\mathcal{F}[ f(t) ] = \hat{f}(\omega) = \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{i\omega t} \,dt

ラプラス変換

\mathcal{L}[ f(t) ] = F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st} \,dt

ここで $s$ は複素数であり $\mathrm{Re}[s] > 0$ ならば収束。

ラプラス変換の性質

線型性

\begin{aligned} \mathcal{L}[ af(t) +bg(t) ] &= a\mathcal{L}[f(t)] + b\mathcal{L}[g(t)] \\ &= aF(s) + bG(s) \\ \end{aligned}

第一移動法則

\begin{aligned} \mathcal{L}[e^{at} f(t)] &= F(s-a) \\ \end{aligned}

微分

\begin{aligned} \mathcal{L}[f'(t)] &= sF(s) - f(0) \\ \mathcal{L}[f''(t)] &= s\mathcal{L}[f'(t)] - f'(0) \\ &= s^2F(s) - sf(0)- f'(0) \\ \end{aligned}

積分

\begin{aligned} \mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) \,d\tau \right] &= \frac{1}{s}F(s) \\ \end{aligned}

初期値・最終値の定理

\begin{aligned} f(0) &= \lim_{s \to \infty} sF(s) \\ f(\infty) &= \lim_{s \to 0} sF(s) \\ \end{aligned}

相似性

\begin{aligned} \mathcal{L}[ f(at) ] &= \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}) \\ \end{aligned}

第二移動法則
$f(t)=0 \quad (t < a)$ ならば

\begin{aligned} \mathcal{L}[ f(t-a) ] &= e^{-as}F(s) \\ \end{aligned}

畳み込み積

\begin{aligned} \mathcal{L}[ f(t)*g(t) ] &= F(s)G(s) \\ \end{aligned}

ラプラス変換表

\begin{aligned} \mathcal{L}[ 1 ] &= \frac{1}{s} \\ \mathcal{L}[ t ] &= \frac{1}{s^2} \\ \mathcal{L}[ t^n ] &= \frac{n!}{s^{n+1} } \\ \mathcal{L}[ e^{at} ] &= \frac{1}{s - a} \\ \mathcal{L}[ e^{at}t^n ] &= \frac{n!}{(s-a)^{n+1} } \\ \mathcal{L}[ \sin \omega t ] &= \frac{\omega}{s^2 - \omega^2} \\ \mathcal{L}[ \cos \omega t ] &= \frac{s}{s^2 - \omega^2} \\ \mathcal{L}[e^{at}\sin\omega t] &= \frac{\omega}{(s-a)^2 - \omega^2} \\ \mathcal{L}[e^{at}\cos\omega t] &= \frac{s-a}{(s-a)^2 - \omega^2} \\ \mathcal{L}[e^{at}f(t)] &= F(s-a) \\ \mathcal{L}[f'(t)] &= sF(s) - f(0) \\ \mathcal{L}[f''(t)] &= s\mathcal{L}[f'(t)] - f'(0) \\ &= s^2F(s) - sf(0)- f'(0) \\ \mathcal{L}\left[\int_0^t f(\tau) \,d\tau \right] &= \frac{1}{s}F(s) \\ \end{aligned}

https://youtu.be/c7g4rfmaTd4?si=6yCCrWr0BL32iChV

参考

このスクラップは2024/06/17にクローズされました