2次遅れ系の標準形
2次遅れ系の標準形は次のように表される。
G(s)=K\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}
ここでKはゲイン，\zetaは減衰係数，\omega_nは固有各周波数。
バネマスダンパ系
例としてバネマスダンパ系における2次遅れ系の標準形のゲイン，減衰係数，固有各周波数を考える。
入力u(t)が加わる時，運動方程式から
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = u(t)
ラプラス変換すると
(ms^2 + cs + k) X(s) = U(s)
よってバネマスダンパ系の伝達関数G(s)は
G(s) = \frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{ms^2 + cs + k}
2次遅れ系の標準形と伝達関数を比較することでゲイン，減衰係数，固有各周波数は
\begin{align*}
K &= \frac{1}{k} \\
\zeta &= \frac{c}{2\sqrt{mk}}\\
\omega_n &= \sqrt{\frac{k}{m}}
\end{align*}
固有角周波数と共振角周波数
固有角周波数\omega_nにおいて２次遅れ系のゲインは最大にはならず，共振角周波数\omega_pにおいて最大となる。ただし実際には減衰係数\zetaが小さく，\omega_n\approx\omega_pと考えられる場合も多い。
固有角周波数(natural frequency)
ダンピングがない時（c=\zeta=0），固有角周波数\omega_nにおいて伝達関数が無限大となる。
バネマスダンパ系の場合の固有角周波数は
\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}
共振角周波数(resonant frequency)
共振角周波数\omega_pにおいて２次遅れ系のゲインが最大となる。
\omega_p = \omega_n \sqrt{1-2\zeta^2}
ただし共振角周波数が存在するには
\zeta < \frac{1}{\sqrt{2}}
である必要がある。
また共振角周波数\omega_pにおける２次遅れ系のゲインの最大値は
|G(j\omega_p)| = \frac{K}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}
Discussion