ラスパイレス指数・パーシェ指数

p_{ti}: i番目の財・サービスの、時点tにおける（平均）価格
q_{ti}: i番目の財・サービスの、時点tにおける数量

基準時点t=0と比較した割合 p_{ti} / p_{0i}, \, q_{ti} / q_{0i}をそれぞれ個別価格指数、個別数量指数と呼び、それぞれを重みw_iで加重平均をとったもの

\sum_{i=1}^n w_i \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right), \quad \sum_{i=1}^n w_i \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right)

を総合指数と呼ぶ（ただし、\sum_{i=1}^n w_i=1）。

以下に、重みw_iの取り方の異なる、代表的な指標を挙げる。

ラスパイレス指数

基準時点t=0においてi番目の品目の合計価格p_{0i} q_{0i}が全体の合計価格に占める割合で重みづけを行う：

w_i = \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}}.

ラスパイレス価格指数

\begin{aligned} P_L &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}} \right) \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{0i}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{0i}} \end{aligned}

ラスパイレス数量指数

\begin{aligned} P_L &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}} \right) \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{0i}} \end{aligned}

パーシェ指数

パーシェ価格指数

基準時点t=0の価格p_{0i}で比較時点tにおける数量q_{ti}消費があったとした場合の消費額p_{0i}q_{ti}をもとに算出した重み

w_i = \frac{p_{0i} q_{ti}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{tj}}

を用いる：

\begin{aligned} P_P &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{ti}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{tj}} \right) \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{ti}} \end{aligned}

パーシェ数量指数

比較時点tにおける価格p_{ti}で基準時点t=0における数量q_{0i}消費があったとした場合の消費額p_{ti}q_{0i}をもとに算出した重み

w_i = \frac{p_{ti} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{tj} q_{0j}}

を用いる：

\begin{aligned} Q_P &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{ti} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{tj} q_{0j}} \right) \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{0i}} \end{aligned}

関連する指数

フィッシャー指数

ラスパイレス価格指数とパーシェ価格指数の帰化平均をフィッシャー指数と呼ぶ:

P_F = \sqrt{P_L P_P}

補足

ここら辺の経済指数はマクロ経済学でよく扱われるようである。