ラスパイレス指数・パーシェ指数

$p_{ti}$: $i$番目の財・サービスの、時点$t$における（平均）価格
$q_{ti}$: $i$番目の財・サービスの、時点$t$における数量

基準時点$t=0$と比較した割合 $p_{ti} / p_{0i}, \, q_{ti} / q_{0i}$をそれぞれ個別価格指数、個別数量指数と呼び、それぞれを重み$w_i$で加重平均をとったもの

$$\sum_{i=1}^n w_i \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right), \quad \sum_{i=1}^n w_i \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right)$$

を総合指数と呼ぶ（ただし、$\sum_{i=1}^n w_i=1$）。

以下に、重み$w_i$の取り方の異なる、代表的な指標を挙げる。

ラスパイレス指数

基準時点$t=0$において$i$番目の品目の合計価格$p_{0i} q_{0i}$が全体の合計価格に占める割合で重みづけを行う：

$$w_i = \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}}.$$

ラスパイレス価格指数

$$\begin{aligned} P_L &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}} \right) \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{0i}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{0i}} \end{aligned}$$

ラスパイレス数量指数

$$\begin{aligned} P_L &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{0j}} \right) \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{0i}} \end{aligned}$$

パーシェ指数

パーシェ価格指数

基準時点$t=0$の価格$p_{0i}$で比較時点$t$における数量$q_{ti}$消費があったとした場合の消費額$p_{0i}q_{ti}$をもとに算出した重み

$$w_i = \frac{p_{0i} q_{ti}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{tj}}$$

を用いる：

$$\begin{aligned} P_P &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{0i} q_{ti}}{\sum_{j=1}^n p_{0j} q_{tj}} \right) \left( \frac{p_{ti}}{p_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{0i} q_{ti}} \end{aligned}$$

パーシェ数量指数

比較時点$t$における価格$p_{ti}$で基準時点$t=0$における数量$q_{0i}$消費があったとした場合の消費額$p_{ti}q_{0i}$をもとに算出した重み

$$w_i = \frac{p_{ti} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{tj} q_{0j}}$$

を用いる：

$$\begin{aligned} Q_P &= \sum_{i=1}^n \left( \frac{p_{ti} q_{0i}}{\sum_{j=1}^n p_{tj} q_{0j}} \right) \left( \frac{q_{ti}}{q_{0i}} \right) \\ &= \frac{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{ti}}{\sum_{i=1}^N p_{ti} q_{0i}} \end{aligned}$$

関連する指数

フィッシャー指数

ラスパイレス価格指数とパーシェ価格指数の帰化平均をフィッシャー指数と呼ぶ:

$$P_F = \sqrt{P_L P_P}$$

補足

ここら辺の経済指数はマクロ経済学でよく扱われるようである。