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コピュラとその周辺の話（順位相関）

 順位相関順位相関とはデータ値の大きさの順序関係をもとにデータの相関を定量化したものであり、データセット \left\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\right\} が与えられた時、x の増加に伴い y も増加していれば値が1になり、逆に x の増加とともに y が減少していれば-1の値を取る。
順位相関にはスピアマンとケンドールの2種類がある。

 スピアマンの順位相関
 求め方データセット \left\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\right\} が与えられた時、\{x_1, x_2, ..., x_n\} を昇順に並べた際の x_i の順位を R_{x,i} とする。同様に R_{y,i} は y の中での y_i の順位とする。
この時、スピアマンの順位相関は以下のように (R_x, R_y) のピアソン相関係数として計算される：

\begin{aligned}
    \hat{r}_s &= \frac{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )(R_{y,i} - \bar{R}_y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2\sum_{i=1}^n (R_{y,i} - \bar{R}_y )^2}}\\
    &=1 - \frac{6 \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2 }{n (n^2 - 1)}.
\end{aligned}
式変形
\begin{aligned}
    \bar{R}_x &= \frac{1 + 2 + ... + n}{n}\\
     &= \frac{n+1}{2}\\
    \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 &=  1 + 2^2 + ... + n^2\\
    &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\end{aligned}
これらを用いると、

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2 &= \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 - n (\bar{R}_x)^2\\
    &= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)(n+1)}{4}\\
    &= \frac{n(n^2-1)}{12}
\end{aligned}
\bar{R}_x=\bar{R}_y, \, \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 = \sum_{i=1}^n (R_{y,i})^2 であることから \sum_{i=1}^n (R_{y,i} - \bar{R}_y )^2 についても同様に求められる。
従って分子は

\begin{aligned}
\sqrt{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2\sum_{i=1}^n (R_{y,i} - \bar{R}_y )^2} &= \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2\\
 &= \frac{n(n^2-1)}{12}
\end{aligned}
次に、分母を求める。

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )(R_{y,i} - \bar{R}_y) = \sum_{i=1}^n R_{x,i}R_{y,i} - n \bar{R}_x\bar{R}_y
\end{aligned}
ここで、

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2 = \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 + \sum_{i=1}^n (R_{y,i})^2 - 2\sum_{i=1}^n R_{x,i}R_{y,i}
\end{aligned}
を用いて \sum_{i=1}^n R_{x,i}R_{y,i} を消去すると、

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )(R_{y,i} - \bar{R}_y)
    &= \frac{1}{2} \left\{ \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 + \sum_{i=1}^n (R_{y,i})^2 - \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2\right\}- n \bar{R}_x\bar{R}_y\\
    &=\left\{ \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2- n (\bar{R}_x)^2\right\}- \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2\\
    &=\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2- \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2
\end{aligned}
が成り立つ。

途中で \bar{R}_x=\bar{R}_y, \, \sum_{i=1}^n (R_{x,i})^2 = \sum_{i=1}^n (R_{y,i})^2 を用いた。
以上から、

\begin{aligned}
    \hat{r}_s &= \frac{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )(R_{y,i} - \bar{R}_y)}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2\sum_{i=1}^n (R_{y,i} - \bar{R}_y )^2}}\\
    &= \frac{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2- \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2}{\sum_{i=1}^n (R_{x,i} - \bar{R}_x )^2}\\
    &=1 - \frac{6 \sum_{i=1}^n (R_{x,i} - R_{y,i})^2 }{n (n^2 - 1)}.
\end{aligned}

 理論的な表現x_i, y_i の（累積周辺）分布関数が F(X), G(Y) であるとする。
ここで、U=F(X), V=G(Y) を用いることで、スピアマンの順位相関は以下のように U と V のピアソン相関係数として定義できると

\begin{aligned}
    r_s &= \frac{{\rm Cov}\left[U, V\right]}{\sqrt{{\rm Var}\left[U\right]{\rm Var}\left[V\right]}}\\
    &= 12 E\left[UV\right] - 3\\
\end{aligned}
なお、R_{x,i}/n, \, R_{y,i}/n がそれぞれ F(X), G(Y) の推定量になっていることから、r_s と \hat{r}_s が対応していることがわかる。

 コピュラを用いた表現先ほどの (U, V) の分布関数はコピュラ C(U, V) になっている。

これを用いることで、r_s を以下のように表すこともできる：

\begin{aligned}
    r_s
    &=12 \int_0^1\int_0^1 uv C(du, dv) - 3\\
    &=12 \int_0^1\int_0^1 C(du, dv)dudv - 3\\
\end{aligned}

 その他の表現方法
\begin{aligned}
    r_s
    &=3 \left\{P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_3)>0\right]- P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_3)<0\right]\right\}
\end{aligned}

 ケンドールの順位相関
 求め方ケンドールの順位相関は以下のように求める：

\begin{aligned}
\hat{r}_k &= \frac{\sum_{i=1}^n P_i - \sum_{i=1}^n Q_i}{{}_nC_2}\\
&= \frac{4\sum_{i=1}^n P_i}{n(n-1)} - 1
\end{aligned}
1行目から2行目の式変換では、\sum_{i=1}^n \left(P_i + Q_i\right) = {}_nC_2 という関係に着目した。

\sum_{i=1}^n P_i はケンドールのタウランク距離とも呼ばれる。
【P_i, \, Q_i の定義】

簡単のため、\{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\} が x について昇順に並んでいるものとする x_1 < x_2 < ... < x_n.
このとき P_i は、i 番目以降で y_i より大きな値をとる y_j の数を表す。

同様に、Q_i は i 番目以降で y_i より小さな値をとる y_j の数を表す。

P_i = \sum_{j>i}\boldsymbol{1}(y_j > y_i), \qquad Q_i = \sum_{j>i}\boldsymbol{1}(y_j < y_i)
【具体的な計算例】

例として、x の増加に伴い y も増加している場合 (y_1 < y_2 < ... < y_n) を考える。



上記は n=10 とした例であるが、このとき i=5 番目に着目すると、i 以降で y_i より大きな y の値を持つ点は5個であることから、P_{i=5}=5 である。一方、i 以降に y_i より小さな値を持つ点はないので Q_{i=5} = 0 となる。
このような方法で i=1, 2, ..., 10 を順次計算して足し合わせると、

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^{10} P_i &= 9 + 8 + 7 + ... + 2 + 1 + 0 = 45\\
    \sum_{i=1}^{10} Q_i &= 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 0 + 0 = 0
\end{aligned}
より、

\begin{aligned}
\hat{r}_k &= \frac{\sum_{i=1}^n P_i - \sum_{i=1} Q_i}{{}_nC_2}\\
&= \frac{45 - 0}{10 \times 9 / 2}\\
&= 1
\end{aligned}
となる。
逆に、x の増加に伴い y が減少しているような場合 (y_1 > y_2 > ... > y_n) では常に P_i = 0 となり、\hat{r}_k = -1 が得られる。
一方で、y が単調増加も単調減少もしていない場合だとどうだろうか？

この場合、i 以降でも y は y_i より大きな値も小さな値もとるので、P_i, \, Q_i どちらも0以上の値を取りうる。



上記の例では、i=5 に着目した時、j=6 以降では y_j > y_i となっている点が3個、y_j < y_i となっている点が2個あることから、P_{i=5} = 3, \, Q_{i=5} = 2 であることがわかる。

このケースについても i=1, 2, ..., 10 と順に計算していくことで、

\begin{aligned}
    \sum_{i=1}^{10} P_i &= 3 + 7 + 7 + 5 + 3 + 2 + 3 + 1 + 0 + 0 = 31\\
    \sum_{i=1}^{10} Q_i &= 6 + 1 + 0 + 1 + 2 + 2 + 0 + 1 + 1 + 0 = 14
\end{aligned}
であることから、

\begin{aligned}
\hat{r}_k &= \frac{\sum_{i=1}^n P_i - \sum_{i=1} Q_i}{{}_nC_2}\\
&= \frac{31 - 14}{10 \times 9 / 2} \\
&= \frac{17}{45}
\end{aligned}
が得られる。

 理論的な表現ケンドールの順位相関係数は、理論的には以下のように定義される：

\begin{aligned}
    r_k &= P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)>0\right] - P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)<0\right]\\
\end{aligned}
これは、（Xの増減とYの増減が一致している確率）と（Xの増減とYの増減が一致してない確率）の差を表している。
例えば X が増加するにつれ Y も常に増加していれば、X_1 > X_2 ならば Y_1 > Y_2、X_2 > X_1 ならば Y_2 > Y_1 が常に成り立つため、(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)>0 となる。

従ってこのとき P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)>0\right]=1, \, P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)<0\right]=0 が成り立つことから r_k=1 となる。
【r_k と \hat{r}_k の対応関係】

なお、先ほどの \hat{r}_k との対応であるが、

\sum_{i=1}^n P_i / {}_nC_2 が P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)>0\right] の推定量に、\sum_{i=1}^n Q_i / {}_nC_2 が P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)<0\right] の推定量になっている。
以下、\sum_{i=1}^n P_i / {}_nC_2 と P\left[(X_1 - X_2)(Y_1 - Y_2)>0\right] の対応関係について示す（あとで追記）。

 コピュラを用いた表現ケンドールの順位相関もコピュラ C(u, v) を用いて以下のように定義できる：

\begin{aligned}
    r_k
    &= 4 \int_0^1 \int_0^1 C(u,v) C(du, dv) - 1
\end{aligned}

 参考文献江村 剛志、コピュラ理論の基礎（シリーズ 情報科学における確率モデル 12）、コロナ社 (2025)

https://www.coronasha.co.jp/np/isbn/9784339028423/
上田 拓治、44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方、オーム社 (2009)

https://www.ohmsha.co.jp/book/9784274067600/
神永 正博・木下 勉、Rで学ぶ確率統計学　一変量統計編、内田老鶴圃 (2019)

https://www.rokakuho.co.jp/data/books/0123.html