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シューアの補題

2025/08/24に公開

 導入シューアの補題を自分なりに解釈してみた。

素人による個人的なメモ。
シューアの補題

G \subset M_n、H \subset M_k を同じ位数をもつ二つの行列群とする（すなわち |G| = |H|）。

もし k \times n 行列 S が存在して、すべての元 g_i \in G, h_i \in H に対して

S g_i = h_i S
が成り立つならば、次のいずれかである：

S が零行列である。

n = k であり、S が正則行列である。

 簡単な証明線形写像

S: V \to W
を考える。ただし

V: n 次元ベクトル空間

W: k 次元ベクトル空間

S: k \times n 行列
ここで以下を定義する：
核

\ker(S) = \{ v \in V \mid Sv = 0 \} \subset V
像

\operatorname{Im}(S) = \{ w \in W \mid w = Sv \} \subset W

 核 \ker(S) について\ker(S) は G の不変部分空間である。

実際、gi \in G, v \in \ker(S) に対し、

  Sgi = hiS \implies S(giv) = hi(Sv) = hi(0) = 0
  よって giv \in \ker(S)。
G が既約であるため、非自明な不変部分空間は存在せず、

\ker(S) = \{0\} もしくは \ker(S) = V。
もし S が非ゼロであれば、Sv \neq 0 となる v \in V が取れるので \ker(S) = V は排除される。

よって

  \ker(S) = \{0\}
  となり、S は単射。したがって

  \dim(V) \leq \dim(W)
  
※ 単射の理由は省略せずに示しておくと：

Sa = Sb \implies S(a-b) = 0 \implies a-b \in \ker(S) = \{0\} \implies a=b

 像 \operatorname{Im}(S) について\operatorname{Im}(S) は H の不変部分空間である。

実際、w = Sv \in \operatorname{Im}(S), hi \in H に対して、

  hiw = hi(Sv) = S(giv) \in \operatorname{Im}(S)
  
H が既約であるため、非自明な不変部分空間は存在せず、

\operatorname{Im}(S) = \{0\} または \operatorname{Im}(S) = W。
S が非ゼロなら像は \{0\} にはならない。したがって

  \operatorname{Im}(S) = W
  よって S は全射。したがって

  \dim(V) \geq \dim(W)
  
単射より \dim(V) \leq \dim(W)
全射より \dim(V) \geq \dim(W)
よって

\dim(V) = \dim(W)
したがって S は全単射であり、逆写像 S^{-1} が存在する。

つまり S は正則行列である。
既約表現 G, H において、

Sgi = hiS
を満たす非自明な S は正則行列に限られる。

言い換えると、異なる既約表現を繋ぐ非自明なインターツワイナーは、相似関係のときにしか存在しない。

 可換な正則行列さらに、既約表現 G に対し、もし Sgi = giS が成り立つ正則行列 S が存在するなら、

S = cI
となる。
証明の概略
S の固有値を c、固有ベクトルを \nu とすると

   S\nu = c\nu
   
gi \in G に対し

   S(gi\nu) = gi(S\nu) = c(gi\nu)
   よって gi\nu も固有ベクトル。すなわち固有空間は G-不変部分空間。
G が既約であるため、固有空間は \{0\} または V。

S \neq 0 より非ゼロ固有ベクトルが存在するため固有空間は V。
したがって S は全体を c 倍する写像であり、

   S = cI
   

 まとめシューアの補題は、既約表現と可約表現の違いを鮮明にする：
異なる既約表現のつながりは相似のみ
既約表現と可換な正則行列はスカラー倍行列のみ

シューアの補題

導入

簡単な証明

核 $\ker(S)$ について

像 $\operatorname{Im}(S)$ について

可換な正則行列

まとめ

Discussion