【表現論】既約表現の数 = 共役類の数 の証明

はじめに

群の表現論における定理の一つ、

$$\text{非同値な既約表現の数 } s \text{ は、共役類の数 } r \text{ に等しい } \quad (s=r)$$

の証明をしてみた。素人による個人的なメモ。

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証明の方針

証明は、$s \le r$ と $s \ge r$ を別々に示して、最終的に $s=r$ を結論する「挟み撃ち」で行う。

• 前半：$s \le r$ の証明

  1. 大直交性定理を証明
  2. そこから第一指標直交関係を導出
  3. 類関数空間 $CF(G)$ における既約指標の線形独立性から $s \le r$

• 後半：$s \ge r$ の証明

  1. 正則表現を導入して性質を明確化
  2. 正則表現の既約分解で全既約が現れることを確認
  3. 背理法で「既約指標と直交する非零の類関数は存在しない」ことを示し、既約指標が基底になる＝$s \ge r$

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前半：$s \le r$ の証明

1. 大直交性定理

設定：有限群 $G$。$\rho^p,\rho^q$ を $G$ の既約行列表現（複素有限次元）とする。
任意の複素行列 $A$ に対して

$$M \;=\; \sum_{h \in G} \rho^q(h)\, A\, \rho^p(h^{-1})$$

と定義する。まず、次の可換関係を確認する：

$$M\,\rho^p(g) \;=\; \rho^q(g)\,M \qquad (\forall g\in G).$$

（計算）

$$\begin{aligned} M\rho^p(g) &= \Big(\sum_{h\in G} \rho^q(h) A \rho^p(h^{-1})\Big)\rho^p(g) = \sum_{h\in G} \rho^q(h) A \rho^p(h^{-1}g) \\ &\overset{h=gk}{=} \sum_{k\in G} \rho^q(gk) A \rho^p(k^{-1}) = \rho^q(g) \sum_{k\in G} \rho^q(k) A \rho^p(k^{-1}) = \rho^q(g) M. \end{aligned}$$

よって、$\forall g\in G$ で $M\rho^p(g)=\rho^q(g)M$ が成り立つ。

ここで シューアの補題 を適用する：

• $p \ne q$（非同値）：$\rho^p$ と $\rho^q$ は同値でないので、$\rho^p(g)$ と $\rho^q(g)$ の間で上の可換関係を満たす非零線形写像は存在しない。したがって $M=0$。

• $p = q$：$\rho^p(g)$ の全像と可換な線形写像はスカラー倍のみ。ゆえに $M=\lambda I$。このとき両辺のトレースを計算する：

$$\mathrm{tr}(M) \;=\; \sum_{h\in G} \mathrm{tr}\big(\rho^p(h) A \rho^p(h^{-1})\big) = \sum_{h\in G} \mathrm{tr}\big(A \rho^p(h^{-1})\rho^p(h)\big) = \sum_{h\in G} \mathrm{tr}(A) \;=\; |G|\cdot \mathrm{tr}(A).$$

一方、$\mathrm{tr}(M)=\mathrm{tr}(\lambda I)=\lambda\, d_p$（ただし $d_p=\dim \rho^p$）。よって

$$\lambda \;=\; \frac{|G|}{d_p}\,\mathrm{tr}(A).$$

Aを 行列単位 $E_{ab}$（$ab$ 成分のみ 1）とし、成分でまとめると 大直交性定理：

$$\boxed{ \sum_{h \in G} [\rho^q(h)]_{i a}\, [\rho^p(h^{-1})]_{b j} \;=\; \frac{|G|}{d_p}\,\delta_{ab}\,\delta_{ij}\,\delta_{pq} } \qquad (\forall\, i,j,a,b).$$

補足：同値の定義
表現 $\rho^p,\rho^q$ が同値であるとは、ある正則行列 $T$ が存在して $\;T\rho^p(g)T^{-1}=\rho^q(g)\;(\forall g)$ を満たすこと。
Nielsen and Chuangでは「同型」かつ「指標が等しい」ことを同値としていたが、これは定義というより性質

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2. 第一指標直交関係の導出

上の式の両辺で $a=i,\; b=j$ として和を取る（＝トレースを取る）と

$$\sum_{h\in G}\chi_q(h)\,\chi_p(h^{-1}) = |G|\,\delta_{pq}.$$

すなわち

$$\boxed{ \sum_{h\in G}\chi_p(h)\,\overline{\chi_q(h)} = |G|\,\delta_{pq} } \quad \text{（有限群では既約表現をユニタリ同値に取れるため } \chi(h^{-1})=\overline{\chi(h)}\text{）}.$$

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3. 類関数ベクトル空間と $s \le r$

• 類関数：$f:G\to \mathbb{C}$ が $\forall g,h\in G$ で $f(h^{-1}gh)=f(g)$ を満たすとき、$f$ を類関数という。指標は類関数の代表例。

• ベクトル空間 $CF(G)$：類関数全体は、共役類の個数 $r$ を次元にもつ複素ベクトル空間になる。

• 内積：

  $$\langle f, g\rangle \;=\; \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G} f(x)\,\overline{g(x)}.$$

第一指標直交関係は $\langle \chi^p, \chi^q\rangle=\delta_{pq}$ と書ける。
したがって、非同値な既約表現の指標 $\{\chi^1,\dots,\chi^s\}$ は $r$ 次元空間 $CF(G)$ において正規直交系であり、特に線形独立。よって

$$\boxed{s \le r}.$$

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後半：$s \ge r$ の証明

1. 正則表現 $\rho_{\mathrm{reg}}$

$|G|$ 次元ベクトル空間に、基底 $\{e_h \mid h\in G\}$ を取る。

$$\rho_{\mathrm{reg}}(g)\,e_h \;=\; e_{gh}$$

で定義される置換表現を正則表現という。指標は

$$\chi_{\mathrm{reg}}(g) \;=\; \begin{cases} |G| & (g=e)\\ 0 & (g\ne e) \end{cases}$$

となる（$g\ne e$ のとき固定点なし）。

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2. 正則表現の既約分解

マシュケの定理より、任意の表現は既約直和に分解できる。したがって

$$\rho_{\mathrm{reg}} \;=\; \bigoplus_{i=1}^{s} c_i\, \rho_i$$

と書ける。係数 $c_i$ は指標の内積で

$$c_i \;=\; \langle \chi_i, \chi_{\mathrm{reg}}\rangle \;=\; \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\chi_{\mathrm{reg}}(g) \;=\; \frac{1}{|G|}\,\overline{\chi_i(e)}\,\chi_{\mathrm{reg}}(e) \;=\; \chi_i(e) \;=\; d_i,$$

ここで $d_i=\dim \rho_i$。よって

$$\boxed{ \rho_{\mathrm{reg}} \;=\; \bigoplus_{i=1}^{s} d_i\,\rho_i }$$

となり、すべての非同値な既約表現が必ず（少なくとも 1 回）現れる。さらに両辺の次元比較から有名な等式

$$\boxed{ |G| \;=\; \sum_{i=1}^{s} d_i^2 }$$

も得られる。

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3. 背理法：指標の完全性（＝基底性）

既約指標 $\{\chi^1,\dots,\chi^s\}$ が $CF(G)$ の基底（完全系）であることを示す。

背理法の仮定：
$\langle f,\chi_i\rangle=0$ をすべての $i$ に対して満たす、非零の類関数 $f\in CF(G)$ が存在すると仮定する。

道具：群環の中心元の構成
群環 $\mathbb{C}[G]$ の元

$$a_f \;=\; \sum_{g\in G} f(g^{-1})\,g$$

を考える。$f$ が類関数であることから、$a_f$ は $\mathbb{C}[G]$ の中心に属することを示す：

$$\begin{aligned} h^{-1} a_f\, h &= \sum_{g\in G} f(g^{-1})\, h^{-1} g h = \sum_{y\in G} f\big((h y h^{-1})^{-1}\big)\, y \\ &= \sum_{y\in G} f\big(h\,y^{-1}h^{-1}\big)\, y = \sum_{y\in G} f(y^{-1})\, y = a_f, \end{aligned}$$

（最後は $f$ が類関数であることを使用）。ゆえに $[a_f, h]=0$ で中心元。

シューアの補題の再適用
中心元 $a_f$ を任意の既約表現 $\rho_i$ で写すと、

$$\rho_i(a_f) \;=\; \lambda_i\, I_{d_i}$$

とスカラー行列になる。トレースで $\lambda_i$ を求める：

$$\begin{aligned} \lambda_i\, d_i &= \mathrm{tr}\big(\rho_i(a_f)\big) = \mathrm{tr}\Big(\sum_{g\in G} f(g^{-1})\, \rho_i(g)\Big) = \sum_{g\in G} f(g^{-1})\, \chi_i(g) \\ &= \sum_{g\in G} f(g)\, \chi_i(g^{-1}) = \sum_{g\in G} f(g)\, \overline{\chi_i(g)} = |G|\, \langle f, \chi_i\rangle = 0. \end{aligned}$$

よって $\lambda_i=0$、すなわち

$$\boxed{\rho_i(a_f)=0\quad (\forall i)}.$$

正則表現での結論
正則表現の既約分解を用いると

$$\rho_{\mathrm{reg}}(a_f) = \bigoplus_{i=1}^{s} d_i\, \rho_i(a_f) = 0.$$

一方で定義から

$$\rho_{\mathrm{reg}}(a_f) = \sum_{g\in G} f(g^{-1})\, \rho_{\mathrm{reg}}(g).$$

これを基底ベクトル $e_h$ に作用させると

$$\Big(\sum_{g\in G} f(g^{-1})\, \rho_{\mathrm{reg}}(g)\Big) e_h = \sum_{g\in G} f(g^{-1})\, e_{gh} = 0.$$

$\{e_{gh}\}_{g\in G}$ は互いに異なる基底ベクトルなので線形独立。したがって すべての係数 $f(g^{-1})$ が 0 でなければならない。ゆえに $f=0$。これは「$f$ は非零」という仮定と矛盾。

したがって、既約指標 $\{\chi^1,\dots,\chi^s\}$ は $CF(G)$ を張る（完全系＝基底）：

$$\boxed{s \ge r}.$$

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まとめ

• 前半（線形独立性）から：$\; s \le r$
• 後半（完全性）から：$\; s \ge r$

以上より

$$\boxed{s = r}$$

すなわち 非同値な既約表現の数は共役類の数に等しい ことが証明された。

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