200個のボール変動シミュレーションをJuliaで書く

中川毅(著) 人類と気候の１０万年史　過去に何が起きたのか、これから何が起こるのか (ブルーバックス) という本を連休中に楽しく読んだので，作中に出てくるシミュレーションをやってみようと思います．

設定

• $n$ 個のボール (本では$n=200$)
• パラメータ $a, \epsilon$ (作中では明示されていない)
• 時刻$t$のときのボールの色は時刻$t+1$で次のように変化する

$$x _ {i,t+1} = \epsilon f(x _ {i, t}) + (1-\epsilon) f^\mathrm{ave.} (x _ t)$$

$$f(x) = 1 - ax^2$$

$$f^\mathrm{ave.}(x_t) = \frac{1}{n} \sum_{j=0}^n f(x_{j, t})$$

Juliaで実装する

まずは計算の部分です．

using Statistics

# 更新部分
f(x; a=1) = 1 .- a * x .^ 2
update(x; a=1, e=0.5) = (1 - e) .* f(x, a=a) .+ (1 - e) * mean(f(x, a=a))

次に描画する部分です．本の通り色の平均値をプロットすることにします

# 描画部分
max_iter = 1000
colors = rand(Float32, n);
results = zeros(max_iter + 1);
results[1] = mean(colors)
for i in 1:max_iter
    colors = update(colors, a=a, e=e)
    results[i + 1] = mean(colors)
end
plot(1:max_iter+1, results, marker=:circle, markersize=2, color=:blue, size=(800, 400))

適当に $n=200, a=0.1, \epsilon=0.1$ の結果を見てみます．

パラメータを探す

本によると

• 安定した状態と乱雑な状態がくり返す
• 2つの相が切り替わるタイミングには法則性が見られない

といった特徴的な系列になるはずですが，うまく再現できていません．