ベクトル誤差修正モデル（VECM）を理解したい

 ベクトル誤差修正モデル（VECM; Vector Error Correction Model）を理解したい記事です。

 ベクトル誤差修正モデルは、ベクトル自己回帰モデル（VARモデル）と誤差修正モデル（ECM）を組み合わせたものであり、異なる時系列変数間の関係性を捉えることができます。VECMは、長期的な均衡関係（共和分）と短期的な変動を同時にモデリングすることができるため、非定常な時系列データに対して有用なモデリング手法です。

和分と共和分

 VECMを理解するためには、まず和分と共和分について知っておく必要があります。

和分

 非定常な時系列 $X_t$ が、 $d$ 階の階差を取ることで定常時系列になる時、「時系列 $X_t$ の和分次数は $d$ である」といい、

$$\begin{align} X_t \sim I (d) \end{align}$$

と書きます。

共和分

 2つの $I(1)$ 非定常時系列

$$\begin{align} X_t \sim I(1)\\ Y_t \sim I(1) \end{align}$$

があるとします。ここで、 $X_t$ と $Y_t$ の線形結合

$$\begin{align} Z_t = \gamma_1 \cdot X_t + \gamma_2 \cdot Y_t \end{align}$$

の和分次数が $I(0)$ となる時、「 $X_t$ と $Y_t$ は次数（1, 1）の共和分」と呼び、 $X_t, Y_t \sim \text{CI}(1, 1)$ と書きます。また、この時の係数ベクトル $(\gamma_1, \gamma_2)$ を共和分ベクトルといいます。

ベクトル誤差修正モデル（VECM; Vector Error Correction Model）

 次のようなラグ次数 $p$ のベクトル自己回帰モデル（VARモデル）を考えます。

$$\begin{align} \boldsymbol{y}_t=\boldsymbol{c}+\Phi_1 \boldsymbol{y}_{t-1}+ \dots +\Phi_p \boldsymbol{y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \end{align}$$

$\boldsymbol{c}$ は定数ヘクトル、$\Phi_i$ は係数正方行列、 $\boldsymbol{\varepsilon}_t$ はホワイトノイズベクトルです。また、 $\boldsymbol{y}_{i \in \mathbb{N}} \sim I(1)$ とします。

ここで、1階差分をとると

$$\begin{align} \Delta\boldsymbol{y}_t &= - \boldsymbol{y}_{t-1} +\boldsymbol{c}+\Phi_1 \boldsymbol{y}_{t-1}+ \dots +\Phi_p \boldsymbol{y}_{t-p}+\boldsymbol{\varepsilon}_t \\ \end{align}$$

となるので、 $\boldsymbol{y}_{t-1}$ に関して

$$\begin{align} \Pi \boldsymbol{y}_{t-1} &= (-I_k + \Phi_1 + \Phi_2 + \cdots + \Phi_p)\boldsymbol{y}_{t-1} \\ \sum_{i=1}^{p-1} \Gamma_i \boldsymbol{y}_{t-1} &= - (\Phi_2 + \Phi_3 + \cdots + \Phi_p)\boldsymbol{y}_{t-1} \end{align}$$

を導入すると以下のようになります。

$$\begin{align} \Delta\boldsymbol{y}_t = \Pi \boldsymbol{y}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\Delta\boldsymbol{y}_{t-i} + \boldsymbol{c} + \boldsymbol{\varepsilon}_t \end{align}$$

 ここで、 $\boldsymbol{y}_{i \in \mathbb{N}} \sim I(1)$ より、式（９）の左辺は定常です。 $\Delta\boldsymbol{y}_{t-1}$ も、定義より $I(0)$ となり定常です。 $\boldsymbol{c}$ は定数で、 $\boldsymbol{\varepsilon}$ はホワイトノイズ（定常）です。つまり、この式が成り立つということは、 $\Pi \boldsymbol{y}_{t-1}$ が定常である事に他ならず、 $\boldsymbol{y}_{t-1}$ を表現する内生変数の線形結合が定常となる事を意味しています（この関係のことを共和分と呼ぶのでした）。また、$k$ 次正方係数行列 $\Pi$ のランクを $r$ とおくと、式（９）は以下のように書くことが出来ます。

$$\begin{align} \Delta\boldsymbol{y}_t = \Alpha\Beta^{\mathsf{T}} \boldsymbol{y}_{t-1} + \sum_{i=1}^{p-1}\Gamma_i\Delta\boldsymbol{y}_{t-i} + \boldsymbol{c} + \boldsymbol{\varepsilon}_t \end{align}$$

ここで、 $\Alpha, \Beta$ は $(k, r)$ の矩形行列です。この $\Beta^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}_{t-1}$ を誤差修正項（ECT; Error Correction Term）と呼び、共和分過程を誤差修正モデルとして表現できることはGrangerの表現定理として知られています。

参考

1. https://saecanet.com/saecanet-tips-vector-error-correction-model_lag_length_equals_p.html
2. https://qiita.com/saltcooky/items/2d0119ea4a10bab6cff2
3. https://qiita.com/innovation1005/items/d53d9ba4f9e8ee1832c6