本稿では，電験１種で出題される同期機の基礎知識および過去問題を解説します．解答例につきましては，公式の標準解答よりも簡潔な導出を意識して執筆しております．日々更新してまいりますので，試験勉強などにご活用ください．また，記載内容に誤りがございましたら，コメントくださいますと幸いです．
基礎知識
同期発電機
同期発電機の回転数N，周波数fの関係は，極数pを用いて
の関係にある．集中巻の電機子巻線誘導起電力の実効値は，電機子巻線の巻数n，有効長l_i，磁束密度分布の基本波B=B_1\cos\theta（極の中心を\theta=0）とすると，
E_1
=\sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(2nl_ivB)^2d\theta}
=\sqrt{2}nl_ivB_1
=\sqrt{2}\pi nf\Phi_1
なお，速度v=2\tau f，磁束
\Phi_1=
l_i\int_{-\frac{\tau}{2}}^\frac{\tau}{2}
B_1\cos\frac{\tau x}{\tau}dx
=\frac{2}{\pi}l_i\tau B_1,\quad
\because \theta=\frac{\pi x}{\tau}
の関係を用いた．なお，xは極中心からの距離である．高調波成分の場合は，磁束密度分布を
B=\sum_{k=1}^\infty B_k\cos\theta
として，誘導機電力は
e=2nl_iv\sum_{k=1}^\infty B_k\cos\theta
となる．また，分布巻，短節巻をした場合は，分布係数k_{dn}および短節係数k_{pn}を用いて，
E_n=\sqrt{2}\pi l_ivB_nk_{dn}k_{pn},\quad
k_{dn}=\frac{\sin \frac{nq\alpha}{2}}{q\sin \frac{n\alpha}{2}},\quad
k_{pn}=\sin \frac{n\beta \pi}{2}
である．なお，nはn次調波を意味する．
電機子反作用
電機子電流が無負荷誘導機電力と位相差\phi（進み）の場合を考えると，
\begin{align*}
i=I\sin(\omega t+\phi)=&\\
=I\sin\omega t\cos\phi+I\cos\omega t\sin\phi=&\\
=I\cos\phi\sin\omega t+I\sin\phi\sin
\left(\omega t+\frac{\pi}{2}\right)
\end{align*}
第１項は無負荷誘導機電力と同相であり交差磁化作用，第２項は位相が\pi/2進んでおり増磁作用となる．一方，位相差\phi（遅れ）の場合は，上式の\phiを-\phiとすることにより，位相が\pi/2遅れ，減磁作用となる．
端子電圧E_tは，無負荷誘導起電力\dot{E}_0，電機子電流\dot{I}_a，直軸電機子反作用リアクタンスx_{ad}，横軸電機子反作用リアクタンスx_{aq}，漏れリアクタンスx_lとして，
\begin{align*}
\dot{E}_t=\dot{E}_0-(r_a+jx_{ad}+jx_l)\dot{I}_d-(r_a+jx_{aq}+jx_l)\dot{I}_q=&\\
=\dot{E}_0-(r_a+jx_d)\dot{I}_d-(r_a+jx_q)\dot{I}_q=&\\
=\dot{E}_0-\dot{Z}_d\dot{I}_d-\dot{Z}_q\dot{I}_q
\end{align*}
ただし，直軸同期リアクタンスx_d\triangleq x_{ad}+x_l，横軸同期リアクタンスx_q\triangleq x_{aq}+x_l，直軸同期インピーダンス\dot{Z}_d\triangleq r_a+jx_d，横軸同期インピーダンス\dot{Z}_q\triangleq r_a+jx_qである．上式は突起機の場合を考慮しており，一般に界磁が電磁石であれば，x_d>x_q，永久磁石であればx_d<x_q（永久磁石機の凹極性）となる．円筒機の場合は，x_d\approx x_qのため，
\dot{E}_t=\dot{E}_0-(jx_q+jx_l+r_a)\dot{I}_a
=\dot{E}_0-(r_a+jx_s)\dot{I}_a
=\dot{E}_0-\dot{Z}_s\dot{I}_a
となる．ただし，同期リアクタンスx_s\triangleq x_l+x_q，同期インピーダンス\dot{Z}_s\triangleq r_a+jx_sである．
出力特性
発電機の端子電圧が一定の場合の出力特性を考える．無負荷誘導機電力を\dot{E}_0=E_0とすると，電力は
\begin{align*}
P=3\Re[\dot{E}_t\dot{I}_a^*]
=3\Re[E_te^{-j\delta}(I_q-jI_d)^*]=&\\
=3(E_tI_q\cos\delta+E_tI_d\sin\delta)=&\\
=3\left\{
\frac{E_tE_0}{x_d}\sin\delta+
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x_q}-\frac{1}{x_d}\right)E_t^2\sin 2\delta
\right\}
\end{align*}
なお，\deltaはq軸を基準とする位相角である．特に，円筒機の場合は，
P=\frac{3E_tE_0}{x_s}\sin\delta
となる．
同期発電機
2024(問1)
(1)解答例
標準解答のフェーザ図を参照．
(2)解答例
I_a=\frac{P_a}{V\cos\theta}=\frac{0.4}{1\cdot 0.8}=0.5
より，I_a=0.5\mathrm{p.u.}を得る．
\dot{E}_a=\dot{V}+jX_a\dot{I}_a=Ve^{j\theta_a}+jX_aI_a=V\cos\theta_a+j(V\sin\theta_a+X_aI_a)
であるから，
E_a=\sqrt{(V\cos\theta)^2+(V\sin\theta_a+X_aI_a)^2}=\sqrt{(1.0\cdot 0.8)^2+(1.0\cdot 0.6+2.0\cdot 0.5)^2}\approx 1.7889
よって，
E_a=1.79\mathrm{p.u.}を得る．
P_a=\frac{VE_a\sin\delta}{X_a}
より，
\sin\theta=\frac{X_aP_a}{VE_a}=\frac{2.0\cdot 0.4}{1.0\cdot 1.7889}\approx 0.44720
よって，
\sin\delta=0.447を得る．
(3)解答例
P_b=\frac{VE_b\sin\delta}{X_b}
より，
E_b=\frac{X_bP_b}{V\sin\delta}=\frac{1.5\cdot 0.4}{1.0\cdot 0.4474}\approx 1.3417
よって，
E_b=1.34\mathrm{p.u.}を得る．
\dot{E}_b=\dot{V}+jX_b\dot{I_2}であるから，
\dot{I_b}=E_b\sin\delta+j\frac{V-E_b\cos\delta}{X_b}
と式変形し，
I_b=\frac{\sqrt{E_b^2+V^2-2E_bV\cos\delta}}{X_b}=\frac{\sqrt{1.3417^2+1.0^2-2\cdot 1.3417\cdot 1.0\sqrt{1-0.44720^2}}}{1.5}\approx 0.42166
よって，
I_b=0.422\mathrm{p.u.}を得る．なお，
\dot{E}=Ee^{j\delta},\dot{V}=Vを用いた．
\cos\theta_b=\frac{P_b}{VI_b}=\frac{0.4}{1.0\cdot 0.4216}\approx 0.94863
よって，\cos\theta_b=0.949を得る．
Q_b=VI_b\sin\theta_b=1.0\cdot 0.42166\cdot \sqrt{1-0.94863^2}\approx 0.13341
よって，Q_b=0.133\mathrm{p.u.}を得る．
2023(問1)
(1)解答例
\dot{E}=\dot{V}+jX_q\dot{I}_q+jX_d\dot{I}_d
であることを用いて，フェーザ図を描けば良い．なお，\dot{E}=E,\dot{V}=Ve^{-j\delta},\dot{I}_q=I_q,\dot{I}_d=I_de^{-j\pi/2},\dot{I}_a=I_ae^{-j(\delta+\phi)}である．
標準解答のフェーザ図を参照．
(2)解答例
\begin{align*}
P=3\Re \left[\dot{V}\dot{I}_a^*\right]
=3\Re \left[Ve^{-j\delta}(I_q-jI_q)^*\right]
=3(VI_q\cos\delta+VI_d\sin\delta)=&\\
=3\left[V\left(\frac{V}{X_q}\sin\delta\right)\cos\delta+V\left\{\frac{1}{X_d}(E-V\cos\delta)\right\}\sin\delta\right]=&\\
=\frac{3VE}{X_d}\sin \delta+\frac{3}{2}\left(\frac{1}{X_q}-\frac{1}{X_d}\right)V^2\sin 2\delta&
\end{align*}
なお，E=Ve^{-j\delta}+jX_qI_q+jX_dI_de^{-j\pi/2}の関係および2\sin\delta\cos\delta=\sin 2\deltaを用いて式変形した．
Discussion