正方形や長方形の極座標表示を導出する

はじめに

一辺の長さが 2a で中心が原点にある正方形の境界の極座標表示が

$$r = \frac{a}{\max(|\cos\theta|,|\sin\theta|)}$$

であることを示しに来ました。

(領域の極座標表示を考えたいなら、この式の等号を不等号にするだけです)

証明

まず直交座標系 $(x,y)$ において正方形の境界は以下の４つの直線からなることは明らか。

$$\begin{cases} x = a & ( |y| \le a) \\ x = -a & ( |y| \le a) \\ y = a & ( |x| \le a) \\ y = -a & ( |x| \le a) \\ \end{cases}$$

簡単のため、条件部分の 絶対値を外しておく。

$$\begin{cases} x = a & ( y^2 \le a^2) \\ x = -a & ( y^2 \le a^2) \\ y = a & ( x^2 \le a^2) \\ y = -a & ( x^2 \le a^2) \\ \end{cases}$$

これを極座標系 $(r,\theta)$ に変換する。なお、ここで、$r\ge0$である。

そのために $x = r \cos\theta, y= r \sin\theta$ を代入し、$r\ge0$ に注意しながら式を整理すると、

$$\begin{cases} r = \frac{a}{\cos\theta} & (\sin^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ r = - \frac{a}{\cos\theta} & (\sin^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ r = \frac{a}{\sin\theta} & (\cos^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ r = - \frac{a}{\sin\theta} & (\cos^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ \end{cases}$$

となる。$r\ge0$ であることと $a\ge0$ に注意するとこの式をまとめることが出来て、

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \sin^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ r = \frac{a}{|\sin\theta|} & ( \cos^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ \end{cases}$$

となる(うれしい)。

さて、しかも条件式の$r$ を代入すると元の式は喜ばしいことにさらに簡単になって以下になる。

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \sin^2\theta \le \frac{1}{2}) \\ r = \frac{a}{|\sin\theta|} & ( \cos^2\theta \le \frac{1}{2}) \\ \end{cases}$$

ほんと？

$\sin^2\theta \le (\frac{a}{r})^2$ に $r = \frac{a}{|\cos\theta|}$ を代入する。こうすると、

$$\begin{align} \sin^2\theta \le (\frac{a}{r})^2 \\ \sin^2\theta \le \cos^2\theta \\ \sin^2\theta \le 1 - \sin^2\theta \\ \sin^2\theta \le \frac{1}{2} \end{align}$$

が得られる。

同様に、$\cos^2\theta \le \frac{1}{2}$ も得られる。

条件式と実際の式を見比べれば、これらはまとめることが出来て元の式が導かれる。
条件も外せて気持ちいい。

$$r = \frac{a}{\max(|\cos\theta|,|\sin\theta|)}$$

おまけ：長方形の場合

X方向の辺の長さが2a, Y方向の辺の長さが 2b の場合に拡張しよう。

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X方向の辺の長さが2a, Y方向の辺の長さが 2b で中心が原点にある長方形の境界の極座標表示は

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & (|\tan\theta|\le\frac{b}{a}, \cos\theta\ne0) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (\frac{b}{a}\le|\tan\theta|, \cos\theta\ne0) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (\cos\theta=0) \\ \end{cases}$$

であることを示す。

【簡易証明】

途中式は大雑把に次のようになる。

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \sin^2\theta \le (\frac{b}{r})^2) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & ( \cos^2\theta \le (\frac{a}{r})^2) \\ \end{cases}$$

先ほどと同様に $r$ を代入すると条件式の等号が成り立つのは

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \sin^2\theta \le \frac{b^2}{a^2}\cos^2\theta) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & ( \cos^2\theta \le \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta) \\ \end{cases}$$

であるから、一方の条件を変形すれば

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta \le \cos^2\theta) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & ( \cos^2\theta \le \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta) \\ \end{cases}$$

が長方形の境界の式になる。...が、これだけだと少し面白くない。
面白くするため、$\cos^2\theta=0$ のパターンを分離してみよう。

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & ( \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta \le \cos^2\theta) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (0 \lt \cos^2\theta \le \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (\cos\theta=0) \\ \end{cases}$$

こうすれば、$\tan\theta$が最後の条件以外では常に定義可能になる。この条件下では、実は以下のように書き直せる。この式が長方形の極座標表示である。

$$\begin{cases} r = \frac{a}{|\cos\theta|} & (|\tan\theta|\le\frac{b}{a}, \cos\theta\ne0) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (\frac{b}{a}\le|\tan\theta|, \cos\theta\ne0) \\ r = \frac{b}{|\sin\theta|} & (\cos\theta=0) \\ \end{cases}$$

ほんと？

条件$\cos^2\theta \le \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta$ は以下のように書き直せてハッピーになる。

$$\begin{align} \cos^2\theta \le \frac{a^2}{b^2}\sin^2\theta \\ \frac{b^2}{a^2}\cos^2\theta \le \sin^2\theta \\ \frac{b^2}{a^2} \le \tan^2\theta \\ \frac{b}{a} \le |\tan\theta| \end{align}$$

同様に $|\tan\theta|\le\frac{b}{a}$ も得られる。

以下の Desmos で実際に極座標表示が正しいことを確認できます。
https://www.desmos.com/calculator/bwfen37mii