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集合論の記号

集合論の基礎

集合: $A,B$ などの大文字.
集合の外包的表記: $A = \big\{ 1,2,3 \big\}$ .
集合の内包的表記: $A = \big\{ x : x \in \N\big\}$ .
- 内包的表記の $:$ は $\text{such that}$ の意
集合の元: $a \in A$ .
空集合: $\empty = \big\{\big\}$ .
べき集合: $\mathcal{P}(A)$ .
積集合: $A,B\; \text{is set}, A \cap B \coloneqq\big\{x : x\in A \land x \in B \big\}$ .
和集合: $A, B\; \text{is set,} A \cup B \coloneqq \big\{x: x \in A \lor x \in B\big\}$ .
差集合: $A,B \; \text{is set, } A\setminus B \coloneqq \big\{ x:x \in A \land x \notin B \big\}$ .
補集合: $A \subset \Omega,\; A^c \coloneqq \Omega \setminus A$ .
対称差: $A, B \;\text{is set, }A\triangle B \coloneqq (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ .
直積: $A,B \;\text{ is set, }A \times B \coloneqq \big\{ (a,b) : a\in A, b\in B \big\}$ .
自然数: $\N$ .
整数: $\Z$ .
有理数: $\mathbb{Q}$ .
実数: $\R$ .
実数 $\R$ のn回直積: $\R^n$ .
実数 $\R$ の開区間: $(a,b) \coloneqq \big\{ x \in R: a < x < b \big\}$ .
実数 $\R$ の閉区間: $[a,b] \coloneqq \big\{ x \in R: a \leq x \leq b \big\}$ .

なお, 積集合と和集合はある集合 $\Lambda$ を添え字集合として, 任意の集合族に拡張することが出来る.

\bigcap_{\alpha \in \Lambda} A_{\alpha} \coloneqq \big\{x: \forall \alpha \in \Lambda,\;x \in A_\alpha \big\}.

\bigcup_{\alpha \in \Lambda} A_\alpha \coloneqq \big\{ x: \exist \alpha \in \Lambda,\;x \in A_\alpha \big\}.

\biggl( \bigcup_\alpha A_\alpha \biggr)^c = \bigcap_\alpha A_\alpha^c, \quad \biggl( \bigcap_\alpha A_\alpha \biggr)^c = \bigcup_\alpha A_\alpha^c.

\begin{align*} &\text{A, B is set } A\cap B = \empty\\ &\big(A_\alpha\big)_{\alpha \in \Lambda}: \forall a,a' \in \Lambda, \;a\ne a' \; A_{a} \cap A_{a'} = \empty \end{align*}

関数: $f: A \rightarrow B \coloneqq \big\{x : \forall (a\in A,\; b,c\in B), \; \big((a,b), (a,c) \in f\big) \Rarr b=c\big\} \subset A \times B$ .
関数 $f$ の定義域: $\mathcal{D}_f \coloneqq \big\{ a \in A : \exist b \in B, (a,b) \in f \big\}$ .
関数 $f$ の値域: $\mathcal{R}_f \coloneqq \big\{ b \in B :\exist a \in A, (a,b) \in f\big\}$ .
$a \in A$ の像は高々1つの $b \in B$ を持つ: $b = f(x)$ .
集合 $X\subset A$ の像: $f(X) = \big\{ b \in B : \exist a \in X,b=f(a) \big\}$ .
集合 $Y\subset A$ の逆像: $f^{-1}(Y) = \big\{ a \in A : \exist a \in f(a) = Y \big\}$ .
関数の合成: $f_1: A \rightarrow B\; f_2: B\rightarrow C,\quad f_1 \circ f_2\coloneqq h: A \rightarrow C$ .
定義関数:

\mathbb{1}_A(x) = \begin{cases} 1&\text{if}& x \in A\\ 0&\text{if}& x \notin A \end{cases}.

集合 $A$ と $\N$ に1対1の対応があるとき, 則ち, $f: A \rightarrow \N$ が存在するとき加算であるという.

特に $n \in \N, [1,2,\cdots n]$ だけで作られるとき有限であるといい, $\N$ 全体が必要な場合は加算無限であるという. 加算集合は加算和に閉じている.

一方で, $\R$ は非加算集合である.

[証明: $\R$ は非加算集合]

\R \text{が加算} \Rarr [0,1]=\big\{x:0\leq x \leq1\big\}\text{も加算}\cdots(1) (1)

[0,1] = \big\{ x:x_n=0.a_{n1}\;a_{n2}\;\cdots a_{nn}\; \cdots \big\}

いま, $a_{nn}$ と異なる数字を用いて, $y = 0. b_1\;b_2\;\cdots$ をおく. このとき, 以下となり矛盾.

\forall x_n, y\ne x_n,\quad\text{but, }\; y \in [0,1]

証明終わり

M.ツァピンスキ・E.コップ著.二宮祥一・原啓介."測度と積分".2008.培風館