先日の勉強会で学んだウッドベリーの公式の証明が簡潔でわかりやすかったため, 記述する
ウッドベリーの公式
(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)^{-1}
=
\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
}\cdots(156)
証明
与式
\begin{align*}
(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)^{-1}
&=
\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
}
\end{align*}
に対して両辺に(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T) を左から掛ける
\begin{align*}
(\text{左辺})
&=
(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)^{-1}\\
&=
\mathbf{I}\\
\text{Where,}&\quad\text{I is identity matrix}
\end{align*}
よって, 下記を示せばよい.
\begin{align*}
(\text{右辺})
&=
(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)
(\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
})\\
&=
\mathbf{I}
\cdots(1)
\end{align*}
右辺を展開すると,
\begin{align*}
(\text{右辺})
&=
(\mathbf{A}+\mathbf{CBC}^T)
(\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
})\\
&=
\mathbf{A}
(\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}})
+
\mathbf{CBC}^T
(\mathbf{
A^{-1} -A^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}})
\\
&=
\mathbf{
I
-C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
+
CBC^TA^{-1}
-CBC^TA^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
}
\end{align*}
上式より, (1)式を示すには下記を示せばよい
\begin{align*}
\mathbf{
-C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
+
CBC^TA^{-1}
-CBC^TA^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
}
&=
\mathbf{0}
\\
\mathbf{
C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
+
CBC^TA^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}C^TA^{-1}
}
&=
\mathbf{
CBC^TA^{-1}
}
\\
\mathbf{
(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
+
BC^TA^{-1}C(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}
&=
\mathbf{
B
}
\\
\mathbf{
(I
+
BC^TA^{-1}C)(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}
&=
\mathbf{
B
}\cdots (2)
\end{align*}
ここで, (2)式の左辺は,
\begin{align*}
\text{(左辺)}
&=
\mathbf{
(I
-
BB^{-1}
+
BB^{-1}
+
BC^TA^{-1}C)(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
(I
-
I
+
B[B^{-1}+
C^TA^{-1}C])(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
B[B^{-1}+
C^TA^{-1}C](B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
B
}
\end{align*}
である. 従って, (2)が示された. 則ち, (1)式も成り立つので, 題意が示された.
解説
最後の変形の部分は複雑であるため補足する.
\begin{align*}
\text{(左辺)}
&=
\mathbf{
(I
-
BB^{-1}
+
BB^{-1}
+
BC^TA^{-1}C)(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
(I
-
I
+
B[B^{-1}+
C^TA^{-1}C])(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
B[B^{-1}+
C^TA^{-1}C](B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}
}\\
&=
\mathbf{
B
}
\end{align*}
このうち一行目は左辺の\mathbf{(I-BB^{-1}+BB^{-1}+BC^TA^{-1}C)}に-\mathbf{BB^{-1}}+\mathbf{BB^{-1}}(=\mathbf{0}) を加えている.
二行目は\mathbf{(I-BB^{-1}+B\cdot B^{-1}+B\cdot C^TA^{-1}C)}のように見ることで\mathbf{B}で括っている.
また, \mathbf{BB^{-1}} は単位行列なので書き直している. そうすると第一項と第二項が除去され, 三行目の式が現れる.
最後に\mathbf{(B^{-1}+C^TA^{-1}C)(B^{-1}+C^TA^{-1}C)^{-1}}は逆行列の定義より単位行列になるので, 左辺が\mathbf{B} となることが分かる.
Discussion