方針
下記を示せばよい.
\operatorname{Cov}(X, Y)^{2} \leqslant V(X) V(Y)
コーシーシュヴァルツの不等式
\begin{align*}
& x, y\text {が実, または複素内積空間の元とする. このとき,} \\
& \langle x, y\rangle^{2} \leqslant\langle x, x\rangle \cdot\langle y, y\rangle \text { が成立. }
\end{align*}
https://ja.wikipedia.org/wiki/コーシー＝シュワルツの不等式
証明
Cov(X, Y), V(X), V(Y)を内積として表す.
途中から大文字のX, Yがベクトルになっていることに注意.
まず, Cov(X,Y)について,
\begin{align*}
\operatorname{Cov}(X, Y)
&=\mathbb{E}\left[\left(X_{i}-\mu_{x}\right)\left(Y_{i}-\mu_{r}\right)\right] \\
& =n^{-1} \sum\left(X_{i}-\mu_{x}\right)\left(Y_{i}-\mu_{y}\right) \\
& =n^{-1}\left(X-I\mu_{x}\right)\left(Y-I \mu_{y}\right) \\
& =n^{-1}\left\langle X-I \mu_{x}, Y-I \mu_{y}\right\rangle \\
\end{align*}
同様にして,
\begin{align*}
& V(X)=n^{-1}\left\langle X-I \mu_x, X-I \mu_{x} \right\rangle \\
& V(Y)=n^{-1}\left\langle Y-I\mu_{y}, Y-I \mu_{y} \right\rangle \\
\end{align*}
これらを用いて, 導出する.
\begin{align*}
& \operatorname{Cov}(X, Y)^{2} \\
& =\left(
n^{-1}\left\langle X-I \mu_{x}, Y-I \mu_{\mu}\right\rangle\right)^{2} \\
& = n^{-2}\left\langle X-I \mu_{x}, Y-I \mu_{y} \right\rangle^{2} \\
& \leqslant n^{-2}\left\langle X-I\mu_{x}, X-I\mu_{x} \right\rangle\left\langle X-I\mu_{x}, Y-I \mu_{y}\right\rangle \\
& =V(X) V(Y)
\end{align*}
参考文献
久保川.2017."現代数理統計学の基礎".共立出版
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