はじめに
量子力学や量子計算において虚時間発展 (imaginary time evolution) という言葉がしばしば登場する. しかし, 筆者はあまり詳しくは知らなかった. そのため今回少しまとめた.
虚時間発展について簡単に述べると, Hamiltonian H の Schrödinger 方程式
-i\frac{d\psi}{dt}=H\psi, \qquad t\geq 0 \tag{1}
から虚数単位 i を消した方程式
-\frac{d\psi}{dt}=H\psi, \qquad t\geq 0 \tag{2}
を考えるというものである. (1) によって定まる半群 (ユニタリー群) (e^{itH})_{t\geq 0} において, 形式上 t\leftarrow it (虚数時間を代入) とすることで (2) によって定まる半群 (e^{-tH})_{t\geq 0} が得られるため, 通常の量子系の時間発展 (1) と対比してタイトルのように虚時間発展と呼ばれるようである. そして次節以降で示すように, (2) による時間発展によって H の基底状態を得られる確率を高めることができる, というのが虚時間発展法と呼ばれるものである.
準備
量子力学の舞台は Hilbert 空間であり, その上の自己共役作用素が重要な役割を果たす. 以下, \mathcal{X} を複素可分 Hilbert 空間とし, 内積を \langle\cdot,\cdot\rangle で表す. ただし, 量子力学の慣例に倣い, この内積は右線型, 左反線型とする. また, x\in\mathcal{X} に対し, ノルム \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle} とする.
H を \mathcal{X} 上の自己共役作用素とする. このとき, H のスペクトル分解を
H = \int \lambda \,dE(\lambda)
で表す.
虚時間発展
\lambda_0=\inf_{\|\psi\|=1}\langle \psi,H\psi\rangle>-\infty とする. \psi_0\in\mathcal{D}(H), \|\psi_0\|=1 に対し, 方程式 (2)
\begin{align*}
\begin{cases}
\displaystyle -\frac{d\psi}{dt} = H\psi, & t>0, \\[1em]
\psi(0) = \psi_0
\end{cases}
\end{align*}
の解は, 半群 (e^{-tH})_{t\geq 0} を用いて, \psi(t)=e^{-tH}\psi_0 である. ただし, t>0 のとき e^{-tH} はユニタリーではないため, \psi(t) は必ずしも量子状態ではない, すなわち, \|\psi(t)\|^2=\int e^{-2t\lambda}\,d\langle \psi_0,E(\lambda)\psi_0\rangle =1 が常に成り立つとは限らないことに注意する.
今, 有界連続関数 f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} に対し,
\begin{align*}
\int f(\lambda)\frac{d\langle \psi(t),E(\lambda)\psi(t)\rangle}{\|\psi(t)\|^2}
&= \frac{\displaystyle \int f(\lambda) e^{-2t\lambda}\,d\langle\psi_0,E(\lambda)\psi_0 \rangle}{\displaystyle \int e^{-2t\lambda}\,d\langle \psi_0,E(\lambda)\psi_0\rangle} \\[2.5em]
&= \frac{\displaystyle \int_{[\lambda_0,\,\infty)} f(\lambda) e^{-2t(\lambda-\lambda_0)}\,d\langle\psi_0,E(\lambda)\psi_0 \rangle}{\displaystyle \int_{[\lambda_0,\,\infty)} e^{-2t(\lambda-\lambda_0)}\,d\langle \psi_0,E(\lambda)\psi_0\rangle}
\end{align*}
である. したがって, 有界収束定理より, \|E(\lambda_0)\psi_0\|>0 ならば,
\begin{align*}
\int f(\lambda)\frac{d\langle \psi(t),E(\lambda)\psi(t)\rangle}{\|\psi(t)\|^2} \to f(\lambda_0), \qquad t\to\infty
\end{align*}
である. よって, 次のことがいえる.
定理 (虚時間発展法). 上で定めた \lambda_0 が H の固有値であり, かつ初期状態 \psi_0 が \lambda_0 に対応する固有空間と直交しないとする. このとき, 時間発展 (2) により得られる量子状態 \psi(t)/\|\psi(t)\| の H による観測値の分布 d\langle \psi(t),E(\cdot)\psi(t)\rangle/\|\psi(t)\|^2 は, t\to\infty で \lambda_0 に集中する Dirac 測度 \delta_{\lambda_0} に弱収束する. さらに A\subset\mathbb{R} に対し,
\begin{align*}
\lim_{t\to\infty}\int_A \frac{d\langle \psi(t),E(\lambda)\psi(t)\rangle}{\|\psi(t)\|^2}
&=
\begin{cases}
1, & \lambda_0\in A, \\
0, & \lambda_0\notin A
\end{cases}
\end{align*}
が成り立つ.
この定理は, 量子状態として十分大きな t まで虚時間発展を行うことで, 高い確率 \approx 1 で H の基底状態を得られることを意味している.
量子コンピュータと虚時間発展
量子コンピュータ上ではユニタリーな演算しか行うことができない. そのため, 虚時間発展を行うことはできない. ただし, 工夫により虚時間発展を行う方法が知られている.
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arXiv:1804.03023: 変分法的な虚時間発展法. Ansatz を定めて, パラメータ更新を行っていくことで虚時間発展を行う.
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arXiv:2308.03605: 量子振幅増幅と確率的な虚時間発展の組合せにより, 量子状態の準備が古典に比べて2次の高速化して行えることを示した. その中で確率的虚時間発展として説明されている.
参考
- 量子モンテカルロ法とは
- qubitによる波動関数の虚時間発展のシミュレーション: a review
- 新井朝雄, 「ヒルベルト空間と量子力学」, 共立講座 21世紀の数学 16, 2014, 共立出版.
- 黒田成俊, 「関数解析」, 共立数学講座 15, 1980, 共立出版.
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