🐓

Coqで証明 述語論理 スコープに関する命題の続き

2020/09/26に公開2
Require Import Utf8 Classical.

Parameter U:Type.

Parameter P:U->Prop.

Parameter Q:Prop.

Parameter t:U.

Goal (∀x,P x)∧Q↔(∀x,P x∧Q).
Proof.
split.
intros.
destruct H.
split.
eapply H.
assumption.
split.
intro.
eapply H.
apply(H t).
Qed.

Goal (∃x,P x)∧Q↔(∃x,P x∧Q).
Proof.
split.
intro.
destruct H,H.
exists x.
split.
assumption.
assumption.
intro.
destruct H,H.
split.
exists x.
assumption.
assumption.
Qed.

Goal (∀x,P x)∨Q↔(∀x,P x∨Q).
Proof.
split.
intros.
destruct H.
left.
eapply H.
right.
assumption.
intro.
apply NNPP.
intro.
apply H0.
left.
intro.
destruct(H x).
assumption.
apply NNPP.
intro.
apply H0.
right.
assumption.
Qed.

Goal (∃x,P x)∨Q↔(∃x,P x∨Q).
Proof.
split.
intro.
destruct H.
destruct H.
exists x.
left.
assumption.
exists t.
right.
assumption.
intro.
destruct H,H.
left.
exists x.
assumption.
right.
assumption.
Qed.

Goal ((∀x,P x)→Q)↔(∃x,P x→Q).
Proof.
split.
intro.
apply NNPP.
intro.
apply H0.
exists t.
intro.
apply H.
intro.
apply NNPP.
contradict H0.
exists x.
intro.
contradiction.
intros.
destruct H.
apply H.
eapply H0.
Qed.

Goal ((∃x,P x)→Q)↔(∀x,P x→Q).
Proof.
split.
intros.
apply H.
exists x.
assumption.
intros.
destruct H0.
eapply H.
eassumption.
Qed.

Goal (Q→∀x,P x)↔(∀x,Q→P x).
Proof.
split.
intros.
eapply(H H0).
intros.
eapply H.
assumption.
Qed.

Goal (Q→∃x,P x)↔(∃x,Q→P x).
Proof.
split.
intro.
apply NNPP.
intro.
apply H0.
exists t.
intro.
destruct(H H1).
contradict H0.
exists x.
trivial.
intros.
destruct H.
exists x.
exact(H H0).
Qed.

Discussion

須原浩道須原浩道

スコープの考えからすると、Section を定義して、その中で Variable で定義するのがよいです。そのSectionがVariableによる定義のスコープになります。

また、記事にある通り、Parameter はグローバルに定義されてしまいます。なので、PとかUとかの短い名は使わないようにするべきです。これは、他のプログラミング言語と同じです。

イキリサバタロウイキリサバタロウ

ご指摘感謝です。
なるほど、他のプログラミング言語をあまり書いたことがないので
グローバル変数に短い名前はつけない方が良いという常識は知りませんでした。また何かあれば細かい事とかでもありがたいですのでよろしくお願いします^_^