複数直線の近傍点を求める

その一（愚直に）

$c\bm c$を複数直線の近傍点，$ui\bm u_i$を直線上のある点，$vi\bm v_i$を直線の方向ベクトルとする．

複数直線の近傍点を求めるには，以下の式を最小化すればよい．

$$f(c,ki)=∑i∣∣c−(ui+kivi)∣∣2 f(\bm c, k_i) = \sum_i ||\bm c - (\bm u_i + k_i \bm v_i)||^2$$

上式を偏微分して解く．

$$dfdc=0⇔c=1n∑in(ui+kivi)dfdki=0⇔ki=cTvi−uiTviviTvi \begin{align} \frac{df}{d\bm c} = 0 &\Leftrightarrow \bm c = \frac{1}{n} \sum_i^n (\bm u_i + k_i \bm v_i) \\ \frac{df}{dk_i} = 0 &\Leftrightarrow k_i = \frac{\bm c^T \bm v_i - \bm u_i^T \bm v_i}{\bm v_i^T \bm v_i} \end{align}$$

式(1)に式(2)を代入し，$c\bm c$について解けば近傍点が求まる．

その二（少しお洒落に）

複数直線の近傍点$c\bm c$と直線の距離$did_i$は，以下の式で表すことができる．

$$di=∣∣c−ui∣∣sin⁡θ=∣∣v×(c−ui)∣∣ \begin{align*} d_i &= ||\bm c - \bm u_i||\sin \theta \\ &= ||\bm v \times (\bm c - \bm u_i)|| \end{align*}$$

複数直線の近傍点は，以下の式で表される．

$$c=arg min∑idi2 \bm c = \mathop{\rm arg~min} \sum_i d_i^2$$

$∑idi2\sum_i d_i^2$を$c\bm c$の成分ごとに偏微分して解けば，近傍点が求まる．

参考文献

Point cloud to point cloud rigid transformations
Nearest approaches to multiple lines in n-dimensional space