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複数直線の近傍点を求める

2022/04/04に公開

その一（愚直に）

$\bm c$ を複数直線の近傍点， $\bm u_i$ を直線上のある点， $\bm v_i$ を直線の方向ベクトルとする．

複数直線の近傍点を求めるには，以下の式を最小化すればよい．

f(\bm c, k_i) = \sum_i ||\bm c - (\bm u_i + k_i \bm v_i)||^2

上式を偏微分して解く．

\begin{align} \frac{df}{d\bm c} = 0 &\Leftrightarrow \bm c = \frac{1}{n} \sum_i^n (\bm u_i + k_i \bm v_i) \\ \frac{df}{dk_i} = 0 &\Leftrightarrow k_i = \frac{\bm c^T \bm v_i - \bm u_i^T \bm v_i}{\bm v_i^T \bm v_i} \end{align}

式(1)に式(2)を代入し， $\bm c$ について解けば近傍点が求まる．

複数直線の近傍点 $\bm c$ と直線の距離 $d_i$ は，以下の式で表すことができる．

\begin{align*} d_i &= ||\bm c - \bm u_i||\sin \theta \\ &= ||\bm v \times (\bm c - \bm u_i)|| \end{align*}

複数直線の近傍点は，以下の式で表される．

\bm c = \mathop{\rm arg~min} \sum_i d_i^2

$\sum_i d_i^2$ を $\bm c$ の成分ごとに偏微分して解けば，近傍点が求まる．