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可分な距離が入る \Leftrightarrow [0,1]^\mathbb{N} の部分集合

証明はそんなに難しくない: https://math.stackexchange.com/questions/3333379/prove-that-a-mapping-from-a-separable-space-to-the-hilbert-cube-is-a-homeomorphi

可分距離空間 S の埋め込み S \hookrightarrow [0,1]^\mathbb{N} は距離が縮小するように構成できて、このとき \overline{S} に S の距離の拡張を入れたものは S の Cauchy 完備化なはず

X: 距離空間
S \subset X
f: S \to \mathbb{R}: 一様連続
f は X まで連続に拡張できる

\overline{S} まではコーシー列を使って拡張し、そのあとは Tietze の拡張定理

X: 全有界な距離空間
X 上の一様連続な関数全体 C_u(X) は可分

\widetilde{X}: X の完備化 (https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space#Completion)
\widetilde{X} は全有界かつ完備なのでコンパクト
C_u(X) \simeq C(\widetilde{X})

問題を再設定

X: コンパクト距離空間
C(X) は可分

これは d_x \coloneqq d(x, \cdot) を使って Stone-Weierstrass を適用すれば OK
逆も言えるみたい: https://math.stackexchange.com/questions/1331321/cx-is-separable-when-x-is-compact

参考: https://math.stackexchange.com/questions/3333379/prove-that-a-mapping-from-a-separable-space-to-the-hilbert-cube-is-a-homeomorphi

https://arxiv.org/abs/2012.02739

A: 標数 0 の supercommutative algebra
V \coloneqq A^{p|q} = \langle x_1, \dots, x_p, y_1, \dots, y_q \rangle_A

\Pi V \simeq A^{q|p} = \langle y^\Pi_1, \dots, y^\Pi_q, x^\Pi_1, \dots, x^\Pi_p \rangle_A (\Pi \coloneqq A^{0|1} \otimes_A \cdot は even と odd を入れ替える)
\Pi V^* \coloneqq \underline{\mathrm{Hom}}_A(\Pi V, A) \simeq \Pi\underline{\mathrm{Hom}}_A(V, A) \simeq A^{q|p} = \langle y^{\Pi*}_1, \dots, y^{\Pi*}_q, x^{\Pi*}_1, \dots, x^{\Pi*}_p \rangle_A (\underline{\mathrm{Hom}} の下線は odd な元も考えることを意味する)

SV, S(\Pi V), S(\Pi V^*): supersymmetric algebra of V, \Pi V, \Pi V^*
構造は SV \simeq A \otimes_\mathbb{Z} S(\langle x_1, \dots, x_p \rangle_\mathbb{Z}) \otimes_\mathbb{Z} \bigwedge(\langle y_1, \dots, y_q \rangle_\mathbb{Z})

Odd な作用素 \delta: SV \otimes_A S(\Pi V) \to SV \otimes_A S(\Pi V) を

\delta = \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i} \otimes \iota_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j} \otimes \iota_{y^{\Pi*}_j}

で定める
\varepsilon_\cdot \in \underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(SV, SV) は exterior product
\iota_\cdot は interior product (superderivation になる)

\delta^2 = 0

これは \varepsilon_\cdot \otimes 1, 1 \otimes \iota_\cdot たちが supercommutative であることからわかる

ホモロジーを計算する

h = \sum_{i=1}^p \iota_{x^*_i} \otimes \varepsilon_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q \iota_{y^*_j} \otimes \varepsilon_{y^\Pi_j}

とすると

[\delta, h] = \delta h + h \delta = \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \otimes 1 + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \otimes 1 + \sum_{i=1}^p 1 \otimes \varepsilon_{x^\Pi_i}\iota_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q 1 \otimes \varepsilon_{y^\Pi_j}\iota_{y^{\Pi*}_j}

[\iota_f, \varepsilon_x] = \langle f, x \rangle を使った

\begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \right) x^\alpha &= |\alpha|x^\alpha \quad (\alpha_i \ge 0) \\ \left( \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \right) y^\beta &= |\beta|y^\beta \quad (\beta_j = 0, 1) \end{aligned}

だから [\delta, h] は x^\alpha y^\beta \otimes (y^\Pi)^\mu (x^\Pi)^\nu に |\alpha| + |\beta| + |\mu| + |\nu| 倍で作用する
特に 1 \in SV \otimes_A S(\Pi V) にのみ 0 倍で作用する
これから H(\delta) = A \cdot 1

SV \otimes_A S(\Pi V) = \bigoplus_{i =0}^\infty SV \otimes_A S^i(\Pi V) \eqqcolon \bigoplus_{i =0}^\infty K_i

とすると K_i は SV 加群で K_\cdot \to A \to 0 は SV 加群 A の自由分解となる
A は augmentation map で SV 加群とみなしている

\underline{\mathrm{Ext}}_{SV}^\cdot(A, SV) を計算したい
\underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(K_\cdot, SV) のコホモロジーを計算すれば良い

\underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(SV \otimes_A S(\Pi V), SV) \simeq SV \otimes_A \underline{\mathrm{Hom}}_A(S(\Pi V), A) \simeq SV \otimes_A S(\Pi V^*)
2 つ目の同型はペアリング

S(\Pi V) \otimes_A S(\Pi V^*) \ni (x^\Pi)^\alpha (y^\Pi)^\beta \otimes (x^{\Pi*})^\mu (y^{\Pi*})^\nu \mapsto \delta_{\alpha\mu} \delta_{\beta\nu} \alpha! \in A

を用いた
このペアリングに関して \varepsilon_\cdot と \iota_\cdot は互いに双対なので

\begin{aligned} \delta^* &= \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i} \otimes \varepsilon_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j} \otimes \varepsilon_{y^{\Pi*}_j} \\ h^* &= \sum_{i=1}^p \iota_{x^*_i} \otimes \iota_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q \iota_{y^*_j} \otimes \iota_{y^\Pi_j} \end{aligned}

\begin{aligned} [\delta^*, h^*] &= \delta^* h^* + h^* \delta^* \\ &= p + q + \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \otimes 1 - \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \otimes 1 \\ &\quad - \sum_{i=1}^p 1 \otimes \varepsilon_{x^{\Pi*}_i}\iota_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q 1 \otimes \varepsilon_{y^{\Pi*}_j}\iota_{y^\Pi_j} \end{aligned}

後半の dual だけを考えているので [\delta^*, h^*] \ne [h, \delta]^* なことに注意
[\delta^*, h^*] は x^\alpha y^\beta \otimes (y^{\Pi*})^\mu (x^{\Pi*})^\nu に p + q + |\alpha| - |\beta| + |\mu| - |\nu| 倍で作用する
|\alpha|, |\mu| \ge 0, |\beta| \le q, |\nu| \le p だから y_1 \cdots y_q \otimes x^{\Pi*}_1 \cdots x^{\Pi*}_p \in SV \otimes_A S(\Pi V^*) にのみ 0 倍で作用する
これから H(\delta^*) = A \cdot y_1 \cdots y_q \otimes x^{\Pi*}_1 \cdots x^{\Pi*}_p

\underline{\mathrm{Ext}}_{SV}^i(A, SV) = \begin{cases} \Pi^{p+q}A &(i = p) \\ 0 &(i \ne p) \end{cases}

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/select/rf1.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/4163477/showing-that-kg-is-a-self-injective-module

https://math.stackexchange.com/questions/231201/on-the-nakayama-functor

R: 体 k 上の代数
\mathcal{N}: R\text{-}\mathrm{Mod} \ni M \mapsto \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Hom}_R(M, R), k) \in R\text{-}\mathrm{Mod}
\mathrm{Hom}_R(M, R) は f \mapsto f(\cdot)r で R^\mathrm{op} 加群
N \in R^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod} とすると \mathrm{Hom}_k(N, k) は \varphi \mapsto \varphi(r\cdot) で R 加群

N が射影的 R^\mathrm{op} 加群ならば \mathrm{Hom}_k(N, k) は単射的 R 加群 (k は k 加群として単射的)
\mathcal{N}(R) は単射的 R 加群
これから M が R^n の直和因子ならば \mathcal{N}(M) は単射的 R 加群になることがわかる

R が k 双線形形式 \sigma: R \times R \to k で \sigma(ab, c) = \sigma(a, bc) を満たし, 誘導される R 準同型 R \ni c \mapsto \sigma(\cdot, c) \in \mathrm{Hom}_k(R_R, k) が同型になるものを持つとき, Frobenius algebra という
この時 R \simeq \mathcal{N}(R) は単射的
つまり R は left self-injective

R = \bigwedge(k^n) は left self-injective なことを示したい
k 線形写像 \varphi: R \to \bigwedge^n(k^n) \simeq k を用いて \sigma(a, b) \coloneqq \varphi(ab) とおくと R は Frobenius algebra になる

A: 可換環
R: Frobenius algebra over A
R \simeq \mathrm{Hom}_A(R_R, A)

R\text{-}\mathrm{Mod} から A\text{-}\mathrm{Mod} への関手として
\mathrm{Hom}_R(-, R) \simeq \mathrm{Hom}_R(-, \mathrm{Hom}_A(R_R, A)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, A) なので A 加群として
\mathrm{Ext}^\cdot_R(-, R) \simeq \mathrm{Ext}^\cdot_A(-, A)
特に

\mathrm{Ext}^i_R(A, R) \simeq \mathrm{Ext}^i_A(A, A) = \begin{cases} A &(i = 0) \\ 0 &(i \ne 0) \end{cases}

また R が left self-injective \Leftrightarrow A が self-injective

M: 多様体
\mathcal{V}: M 上のベクトル束

\bigwedge\mathcal{V} \to M は supermanifold とみなせるが、supermanifold はこれで尽くされるらしい

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~walcher/teaching/sose21/supergeometry/7_complex

Yuri Manin: Gauge Field Theory and Complex Geometry

https://www.ams.org/tran/1979-253-00/S0002-9947-1979-0536951-0/S0002-9947-1979-0536951-0.pdf

https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/derivations-and-automorphisms-of-exterior-algebras/B6CBE09972E6DB105DA7753AE8DBEE33

https://www.math.uni-hamburg.de/home/sachse/handoutbatchelor.pdf
Function factor の説明: https://www.math.uni-hamburg.de/home/sachse/supermanifoldsII.pdf

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~walcher/teaching/sose21/supergeometry/3_supermanifoldsBatchelor

X: 位相空間
\mathcal{G}: X 上の群の層 (X の開集合たちがなす圏から群の圏への反変関手)

Cech cohomology H^0(X, \mathcal{G}), H^1(X, \mathcal{G}) を定義する

https://math.stackexchange.com/questions/157864/about-the-definition-of-cech-cohomology
で singular cochain がおすすめされている

\mathcal{U}: X の開被覆

C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \prod_\alpha \mathcal{G}(U_\alpha) = \{ s_\alpha \in \mathcal{G}(U_\alpha) \}
Z^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_\alpha \in \mathcal{G}(U_\alpha) \mid s_\alpha = s_\beta \text{ over } U_\alpha \cap U_\beta \} \simeq \mathcal{G}(X)
H^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq Z^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \simeq \mathcal{G}(X)

C^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_{\alpha\beta} \in \mathcal{G}(U_\alpha \cap U_\beta) \}
Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_{\alpha\beta} \in \mathcal{G}(U_\alpha \cap U_\beta) \mid s_{\alpha\beta}s_{\beta\gamma} = s_{\alpha\gamma} \}
C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \curvearrowright Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) を (s_\alpha)_\alpha\cdot(t_{\beta\gamma})_{\beta\gamma} \coloneqq (s_\beta^{-1} t_{\beta\gamma} s_\gamma)_{\beta\gamma} で定め
H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \backslash Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})

G: Lie 群
X は多様体とすると
\{ P: X \text{ 上の } G \text{ 主束の同型類} \mid \text{各 } U_\alpha \text{ 上自明} \} \simeq H^1(\mathcal{U}, C^\infty(-, G))

\mathcal{V} を \mathcal{U} の細分とすると H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to H^1(\mathcal{V}, \mathcal{G}) が定まる
\mu: \mathcal{V} \to \mathcal{U} を取って構成すると, \mu の取り方によらないことがわかる
H^1(X, \mathcal{G}) \coloneqq \underrightarrow{\lim} H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})
\{ P: X \text{ 上の } G \text{ 主束の同型類} \} \simeq H^1(X, C^\infty(-, G))

0 \to \mathcal{N} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0: X 上の群の層の完全列

\begin{aligned} 0 &\to H^0(X, \mathcal{N}) \to H^0(X, \mathcal{G}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \\ &\xrightarrow{\delta} H^1(X, \mathcal{N}) \to H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) \end{aligned}

という点付き集合の完全列がある
蛇の補題のようなことをすれば良いので, 証明はそんなに難しくない

https://www.youtube.com/watch?v=aXBNPjrvx-I

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0924-6.pdf

H^0(X, \mathcal{Q}) は H^1(X, \mathcal{H}) に作用する
この作用による軌道は H^1(X, \mathcal{H}) \to H^1(X, \mathcal{G}) による類別と一致する

\mathcal{N} が \mathcal{G} の中心に含まれる場合

\begin{aligned} 0 &\to H^0(X, \mathcal{N}) \to H^0(X, \mathcal{G}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \\ &\to H^1(X, \mathcal{N}) \to H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) \\ &\to H^2(X, \mathcal{N}) \end{aligned}

が完全になる

H^1(X, \mathcal{H}) は H^1(X, \mathcal{G}) に作用する
この作用による軌道は H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) による類別と一致する

M: 多様体
\mathcal{V}: M 上のベクトル束

\bigwedge\mathcal{V} \to M は supermanifold とみなせるが、supermanifold はこれで尽くされるらしい

の証明がわからないので, 一旦保留

M: 多様体
U \subset \mathbb{R}^p
\mathcal{O}_M, \mathcal{O}_U: C^\infty 関数のなす \mathbb{R} 代数の層

座標関数 y_1, \dots, y_p \in \mathcal{O}_U(U) を引き戻すことで

\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_M, \mathcal{O}_U) \to \{ f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(M) = C^\infty(M) \mid \forall x \in M, (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in U \}

ができるが, これは同型
全射は容易
(\varphi, \varphi^*): \mathcal{O}_M \to \mathcal{O}_U
\varphi^*: \mathcal{O}_{U, \varphi(x)} \to \mathcal{O}_{M, x} は局所環の射だから (\varphi^*y_i)(x) = y_i(\varphi(x)) = \varphi(x)_i で

\varphi = (\varphi^*y_1, \dots, \varphi^*y_p)

V \subset U, v \in \mathcal{O}_U(V) = C^\infty(V) とすると

(\varphi^*v)(x) = v(\varphi(x)) \quad (x \in \varphi^{-1}(V))

\mathbb{R} 代数の射 \varphi: C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0} \to C^\infty_{\mathbb{R}^p, 0} は局所環の射になる
f_0 \in C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0}
\sigma(f_0) \coloneqq \{ \lambda \in \mathbb{R} \mid f_0 - \lambda \not\in {C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0}}^\times \}
\{\varphi(f_0)(0)\} = \sigma(\varphi(f_0)) \subset \sigma(f_0) = \{f_0(0)\} だから \varphi(f_0)(0) = f_0(0)

M: supermanifold
U \subset \mathbb{R}^{p|q}

座標関数 y_1, \dots, y_p, \theta_1, \dots, \theta_q \in \mathcal{O}_U(|U|) を引き戻すことで

\begin{aligned} &\mathrm{Hom}(M, U) \\ &\to \{ f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(|M|)_0, \tau_1, \dots, \tau_q \in \mathcal{O}_M(|M|)_1 \mid \forall x \in |M|, (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in |U| \} \end{aligned}

ができるが, これは同型

M = \mathbb{R}^{n|m} として示せば良い

まず, 単射性を示す
\varphi: M \to U とすると |\varphi| = (\varphi^*y_1, \dots, \varphi^*y_p)
|V| \subset |U|, v \in \mathcal{O}_U(|V|) とする
y_0 \in |V| に対して

v_{y_0} = \sum_{|\alpha| + |\beta| \le N} c_{\alpha\beta} (y - y_0)^\alpha \theta^\beta + \mathfrak{m}_{\mathcal{O}_{U, y_0}}^{N + 1} \quad (c_{\alpha\beta} \in \mathbb{R})

ただし \alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^p, \beta \in {\{0, 1\}}^q
https://ncatlab.org/nlab/show/Hadamard+lemma
各 x_0 \in |\varphi|^{-1}(|V|) に対して

(\varphi^*v)_{x_0} = \sum_{|\alpha| + |\beta| \le N} c_{\alpha\beta} (\varphi^*y - |\varphi|(x_0))^\alpha (\varphi^*\theta)^\beta + \mathfrak{m}_{\mathcal{O}_{M, x_0}}^{N + 1} \quad (c_{\alpha\beta} \in \mathbb{R})

M = \mathbb{R}^{n|m} を用いると \mathcal{O}_{M, x_0} = C^\infty_{x_0}[\eta_1, \dots, \eta_m] の \eta^\delta の係数に x_0 を代入する \mathrm{ev}_{x_0}^\delta: \mathcal{O}_{M, x_0} \to \mathbb{R} がある
ただし \delta \in {\{0, 1\}}^m

\mathrm{ev}_{x_0}^\delta(\varphi^*v) = \sum_{\beta} c_{0\beta} \mathrm{ev}_{x_0}^\delta((\varphi^*\theta)^\beta)

N = m だけ考えれば十分だった

次に、全射性を示す
f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(|M|)_0, \tau_1, \dots, \tau_q \in \mathcal{O}_M(|M|)_1 は (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in |U| \ (\forall x \in |M|) を満たすとする
\varphi \coloneqq (|f_1|, \dots, |f_p|): |M| \to |U|
|V| \subset |U|, v = \sum_\beta v_\beta \theta^\beta \in \mathcal{O}_U(|V|) とする
ただし v_\beta \in C^\infty(|V|)
M = \mathbb{R}^{n|m} を用いると \mathcal{O}_M(|M|)_0 \simeq C^\infty(|M|) \oplus \{ \text{even かつ nilpotent} \} があり

f_p = |f_p| + r_p

と分解できる

\varphi^*v \coloneqq \sum_\beta \left[ \sum_\alpha (\frac{\partial^\alpha}{\partial y^\alpha} v_\beta \circ \varphi) \frac{r^\alpha}{\alpha!} \right] \tau^\beta

と定義すればよい

Lie supergroup

https://mysite.science.uottawa.ca/hsalmasi/report/report-nuiok.pdf

Manfred Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction

https://arxiv.org/pdf/1609.02844

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Super-group

Lie supergroup と super Harish-Chandra pair は圏同値らしい

nilpotent な部分は位相的なこと考えなくていいみたいな感じなのかな

Cartesian monoidal category とは有限積が存在する圏
終対象と積が存在する圏とも言える

\mathcal{C}: locally small cartesian monoidal category
C \in \mathcal{C}
C 上の群構造 \Leftrightarrow \mathrm{Hom}(-, C) \in \mathcal{Hom}(\mathcal{C}, \mathrm{Set}) の \mathcal{Hom}(\mathcal{C}, \mathrm{Grp}) への持ち上げ

https://ncatlab.org/nlab/show/group+object#InTermsOfPresheavesOfGroups

R: supercommutative ring

R^{p|q} = \langle e_1, \dots, e_{p+q} \rangle
R^{p|q} を v \cdot r \coloneqq (-1)^{|r||v|} rv で右 R 加群とみなすと T \in \mathrm{End}(R^{p|q}) は
\sum_i e_i t_{ij} \coloneqq T(e_j)
でうまく行列表示できる

\mathrm{End}(R^{p|q}) \simeq \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \middle| A, D \text{ は } R_0 \text{ で, } B, C \text{ は } R_1 \text{ で構成されている} \right\}

\mathrm{Aut}(R^{p|q}) \simeq \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \middle| \text{さらに } A, D \text{ は可逆} \right\}
nilpotent な元を無視しつつ

(1 - x)^{-1} = \sum_{i = 0}^\infty x^i

で補正すれば良い

|\mathrm{GL}_{p|q}| \coloneqq \mathrm{GL}_p \times \mathrm{GL}_q
\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_{p|q}} \coloneqq C^\infty_{\mathrm{GL}_p \times \mathrm{GL}_q}[\beta_{ij}, \gamma_{i'j'}]
ただし 1 \le i, j' \le p, p + 1 \le j, i' \le p + q
\mathrm{GL}_{p|q} は次元 (p^2 + q^2, 2pq) で、座標を集めると

\begin{pmatrix} a & \beta \\ \gamma & d \end{pmatrix} \in \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_{p|q}}(|\mathrm{GL}_{p|q}|)^{p|q})

ができる
座標を使って
\mathrm{GL}_{p|q} \times \mathrm{GL}_{p|q} \to \mathrm{GL}_{p|q}
を定義すると \mathrm{GL}_{p|q} は Lie supergroup になる

S: supermanifold
\mathrm{GL}_{p|q} の S-point は

\mathrm{Hom}(S, \mathrm{GL}_{p|q}) \simeq \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_S(|S|)^{p|q}) \in \mathrm{Grp}

\begin{aligned} X &\coloneqq \{ \Phi: \mathbb{\R}^{n|n} \otimes \mathbb{\R}^{n|n} \to \mathbb{R}^{1|0} \mid \Phi \text{ is odd antisymmetric nondegenerate} \} \\ &\simeq \{ x \otimes y \mapsto \phi(x^0, y^1) - \phi(y^0, x^1) \mid \phi: V_0 \otimes V_1 \to \mathbb{R}^{1|0} \text{ is odd nondegenerate} \} \\ &\simeq \mathrm{GL}_{n|0} \end{aligned}
\mathrm{GL}_{n|n} は X に作用する
\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} を x \otimes y \mapsto \sum_{i = 1}^n (x^0_i y^1_i - y^0_i x^1_i) に作用させると

x \otimes y \mapsto \sum_{i, j} (x^0_j A_{ij} y^1_i - y^0_j A_{ij} x^1_i)

なので \mathrm{GL}_{n|n} \curvearrowright X は推移的
この作用の固定部分群が \pi\mathrm{Sp}(n|n)

Dieudonné determinant

https://ncatlab.org/nlab/show/Dieudonné+determinant#Dieudonne

https://arxiv.org/abs/math-ph/9907015

https://arxiv.org/abs/q-alg/9703003

P. K. Draxl, Skew Fields

D: division ring
M_n(D) \simeq \mathrm{End}({D_D}^n)

A = (a_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(D)

a_{1, \tau(1)} を 1 行目で 0 でない最左の成分とする
1 行目の定数倍と 1 行目より下の消去を行うと

A = \text{下三角} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & * \\ * & 0 & * \end{pmatrix}

これを 2 行目以降でも繰り返すと、置換 \tau ができて

A = \text{下三角} \cdot X

だだし

\begin{aligned} &X_{i, \tau(i)} = 1 \\ &j < \tau(i) \Rightarrow X_{ij} = 0 \\ &i < i' \Rightarrow X_{i', \tau(i)} = 0 \end{aligned}

置換に対応する置換行列も同じ記号で表せば、1 つ目と 2 つ目から \tau X は対角成分が 1 の上三角
また、1 つ目と 3 つ目から X \tau も対角成分が 1 の上三角

以上から A は

A = L \sigma U

と表せる
ただし、L は下三角, \sigma は置換行列, U は対角成分が 1 の上三角で、\sigma U \sigma^{-1} も対角成分が 1 の上三角

A のこのような表示は一意的

A = L \sigma U = \tilde{L} \tilde{\sigma} \tilde{U}

とする

\tilde{L}^{-1} L = \tilde{\sigma} \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1}

P = (p_{ij}) に対して \mathrm{supp}(P) \coloneqq \{ (i, j) \mid p_{ij} \ne 0 \} とおく
\mathrm{supp}(1) \subset \mathrm{supp}(\tilde{U} U^{-1}) より \mathrm{supp}(\tilde{\sigma} \sigma^{-1}) \subset \mathrm{supp}(\tilde{\sigma} \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1}) = \mathrm{supp}(\tilde{L}^{-1} L)
\tilde{\sigma} \sigma^{-1} は置換行列で \tilde{L}^{-1} L は下三角だから \tilde{\sigma} \sigma^{-1} = 1

\tilde{L}^{-1} L = \sigma \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1} = (\sigma \tilde{U} \sigma^{-1}) (\sigma U^{-1} \sigma^{-1})

は下三角かつ上三角かつ対角成分が 1 だから単位行列

同じ証明で、下三角 L', 置換行列 \sigma', 対角成分が 1 の上三角 U' を用いて

A = L' \sigma' U'

と表示した時、\sigma' U' \sigma'^{-1} に関する条件がなくても、L' の対角成分と \sigma' は一意的なことがわかる

群準同型 \mathrm{det}_D: \mathrm{GL}_n(D) \to {D^\times}^\mathrm{ab} \simeq D^\times / [D^\times, D^\times] で
(1) (可逆な) 下三角上では対角成分の積
(2) 置換行列上では符号
を満たすものが一意的に存在することを示す
これを Dieudonné determinant という

\newcommand\iddots{\mathinner{\kern{1.2mu}\raisebox{2mu}{.}\kern{3mu}\raisebox{7.4mu}{.}\kern{3mu}\raisebox{12.8mu}{.}\kern{1.2mu}}} \rho = \begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ & \iddots & \\ 1 & & 0 \end{pmatrix} とすると、下三角と上三角は \rho \cdot \rho^{-1} で互いに移り合う
\mathrm{det}_D が存在すれば
(3) (可逆な) 上三角上でも対角成分の積

L \sigma U 分解から \mathrm{det}_D が存在すれば

\mathrm{det}_D(A) = \left( \prod_i L^A_{ii} \right) \mathrm{sgn}(\sigma^A) \quad (A = L^A \sigma^A U^A)

でなければならない
この定義が (1), (2) を満たすことは容易
群準同型になることを示す
\sigma_i \ (1 \le i \le n - 1) を i と i + 1 の入れ替えとする
\mathfrak{S}_n = \langle \sigma_1, \dots, \sigma_{n-1} \rangle
(a) L を (可逆な) 下三角とすると \mathrm{det}_D(LX) = (\prod_i L_{ii}) \mathrm{det}_D(X)
(b) \mathrm{det}_D(\sigma_i X) = -\mathrm{det}_D(X)
を示せば

\begin{aligned} \mathrm{det}_D(AB) &= \mathrm{det}_D(L^A \sigma^A U^A B) \\ &= \mathrm{det}_D(L^A \sigma^A \rho^{-1} (\rho U^A \rho^{-1}) \rho B) \\ &= \left( \prod_i L^A_{ii} \right) \mathrm{sgn}(\sigma^A) \mathrm{det}_D(B) \\ &= \mathrm{det}_D(A) \mathrm{det}_D(B) \end{aligned}

(a) は容易
(b) を示す
一般の場合も同様なので \sigma_1 についてのみ示す
X = L \sigma U と分解する
\sigma_1 L を列変形で下三角にすることを考えると

\sigma_1 L \sigma_1^{-1} (1 + {l_{22}}^{-1} l_{21} E_{12}) = \begin{pmatrix} l_{22} & & 0 \\ 0 & l_{11} & \\ * & & \ddots \end{pmatrix} \eqqcolon \tilde{L}

\sigma_1 L \sigma U = \tilde{L} (1 - {l_{22}}^{-1} l_{21} E_{12}) \sigma_1 \sigma U

t \coloneqq - {l_{22}}^{-1} l_{21} とおく
あとは (1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma の L \sigma U 分解を考えればよい
t = 0 は明らかなので、t \ne 0 とする
\tau E_{12} \tau^{-1} = E_{\tau(1) \tau(2)} だから (\sigma_1 \sigma)^{-1}(1) < (\sigma_1 \sigma)^{-1}(2) \ (\Leftrightarrow \sigma^{-1}(2) < \sigma^{-1}(1)) の場合は

(1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma = \sigma_1 \sigma (1 + t E_{(\sigma_1 \sigma)^{-1}(1) (\sigma_1 \sigma)^{-1}(2)})

が L \sigma U 分解となる
最後に \sigma^{-1}(1) < \sigma^{-1}(2) の場合を考える
(1 + t E_{12}) \sigma_1 の L \sigma U 分解を考えると

\begin{pmatrix} t & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 1 & -t^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t^{-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

だから (1 + t E_{12}) \sigma_1 = \begin{pmatrix} t & & 0 \\ 1 & -t^{-1} & \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (1 + t^{-1} E_{12})

(1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma = \begin{pmatrix} t & & 0 \\ 1 & -t^{-1} & \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sigma (1 + t^{-1} E_{\sigma^{-1}(1) \sigma^{-1}(2)})

が L \sigma U 分解となる

\mathrm{det}_D の regularity を知りたい

https://ncatlab.org/nlab/show/Gauss+decomposition

D: division ring
A \in \mathrm{GL}_n(D)
ある置換行列 \sigma が存在して B = (b_{ij}) \coloneqq \sigma A は 1 \le \forall k \le n に対して (b_{ij})_{1 \le i, j \le k} \in \mathrm{GL}_k(D)

B = (b_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(D) は 1 \le \forall k \le n に対して (b_{ij})_{1 \le i, j \le k} \in \mathrm{GL}_k(D) とする

B = L U

と一意的に表せる
ただし、L は下三角, U は対角成分が 1 の上三角

D: odd な \eta と関係式 \eta^2 = -1 で生成される \mathbb{R} 上の superalgebra
D は \mathbb{R} super vector space として 1, \eta で生成される
D は super division algebra

Lie supergroup \mathrm{GL}_n(D) を定義する

|\mathrm{GL}_n(D)| \coloneqq \mathrm{GL}_n
\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_n(D)} \coloneqq C^\infty_{\mathrm{GL}_n}[\beta_{ij} \ (1 \le i, j \le n)]
\mathrm{GL}_n(D) は次元 (n^2, n^2) で、座標を集めると

(a + \beta\eta) \in \mathrm{Aut}((\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_n(D)}(|\mathrm{GL}_n(D)|) \otimes D)^n)

ができる
座標を使って
\mathrm{GL}_n(D) \times \mathrm{GL}_n(D) \to \mathrm{GL}_n(D)
を定義すると \mathrm{GL}_n(D) は Lie supergroup になる

S: supermanifold
\mathrm{GL}_n(D) の S-point は

\mathrm{Hom}(S, \mathrm{GL}_n(D)) \simeq \mathrm{Aut}((\mathcal{O}_S(|S|) \otimes D)^n) \in \mathrm{Grp}

\varphi: D^\times \ni a + \alpha\eta \mapsto \alpha / a \in \mathbb{R} は群準同型
\mathrm{odet} \coloneqq \varphi \circ \mathrm{det}_D: \mathrm{Aut}({D_D}^n) \to \mathbb{R}

\mathcal{O}_1(\mathrm{GL}_n(D)) の元を点ごとに定義すると Lie supergroup の射 \mathrm{odet}: \mathrm{GL}_n(D) \to \mathbb{R}^{0|1} ができる
滑らかさは Gauss decomposition からわかる

G: 次元 (p, q) の Lie supergroup

G 上のベクトル場 X が左不変とは、第 1 成分が 0 になるように G \times G 上のベクトル場 \tilde{X} に持ち上げると \tilde{X} が G \times G \ni (g, x) \mapsto (g, gx) \in G \times G で不変になること
\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G: G 上の左不変ベクトル場全体
\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G は Lie superalgebra

\mathrm{T}_eG は次元 (p, q) の superspace
superspace の射 \mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G \to \mathrm{T}_eG が同型を示したい

ベクトル束の pull back と局所自由加群の pull back が整合的にならないなと思っていたら、テンソル積を忘れていた

https://stacks.math.columbia.edu/tag/0094

G: Lie supergroup
左 G 不変な関数 \mathcal{O}(G)^G \simeq \mathrm{Hom}(G, \mathbb{R}^{1|1})^G は \mathbb{R} と同型

f: G \to \mathbb{R}^{1|1} は左 G 不変とする
f が終対象 \mathbb{R}^{0|0} を経由することを示せば良い
S point を考えればよい

直接的には f = f \circ (g \mapsto g^{-1} \cdot g) から従う

\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G \simeq \mathcal{O}(G, \mathrm{T}_eG)^G \simeq \mathrm{T}_eG
ただし G の \mathrm{T}_eG への作用は考えない

Supermanifold の逆関数定理:
f: M \to N: supermanifold の射
x_0 \in |M| で f_{*, x_0}: \mathrm{T}_{x_0}M \to \mathrm{T}_{|f|(x_0)}N は可逆だとする
x_0 \in |U| \subset |M|, |V| \subset |N| が存在して |f|(|U|) = |V| かつ f: U \to V は同型
を示したい

通常の逆関数定理と線形変換を適用すると
f: C^\infty(\mathbb{R}^p)[\theta_1, \dots, \theta_q] \to C^\infty(\mathbb{R}^p)[\eta_1, \dots, \eta_q]: \mathbb{R} 上の superalgebra の射

\begin{aligned} f(x_i) &= y_i + I_\eta^2 \quad &(1 \le i \le p) \\ f(\theta_j) &= \eta_j + I_\eta^3 \quad &(1 \le j \le q) \end{aligned}

ならば f は可逆を示せばよい
ただし I_\eta \coloneqq \langle \eta_1, \dots, \eta_q \rangle

\mathscr{A} \coloneqq \{ \varphi: C^\infty(\mathbb{R}^p)[\eta] \xrightarrow{\mathrm{superalg}} C^\infty(\mathbb{R}^p)[\theta] \}
F: \mathscr{A} \to \mathscr{A} を以下で定義する

\begin{aligned} F(\varphi)(y_i) &\coloneqq (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi)(y_i) \\ F(\varphi)(\eta_j) &\coloneqq (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi)(\eta_j) \end{aligned}

2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi は superalgebra の射とは限らないが、F(\varphi) は superalgebra の射になるように構成することに注意

\begin{aligned} f \circ (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi) - 1 &= - (f \circ \varphi - 1) \circ (f \circ \varphi - 1) \\ (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi) \circ f - 1 &= - (\varphi \circ f - 1) \circ (\varphi \circ f - 1) \end{aligned}

だから、\varphi_0 \in \mathscr{A} を \varphi_0(y_i) \coloneqq x_i, \varphi_0(\eta_j) \coloneqq \theta_j で定義すると

\begin{aligned} (f \circ F^n(\varphi_0))(y_i) &= y_i + I_\eta^{2^{n+1}} \\ (f \circ F^n(\varphi_0))(\eta_j) &= \eta_j + I_\eta^{2^{n+1}+1} \end{aligned}

同様にして

\begin{aligned} (F^n(\varphi_0) \circ f)(y_i) &= y_i + I_\eta^{2^{n+1}} \\ (F^n(\varphi_0) \circ f)(\eta_j) &= \eta_j + I_\eta^{2^{n+1}+1} \end{aligned}

十分大きな N を取れば

\begin{aligned} f \circ F^N(\varphi_0) &= 1 \\ F^N(\varphi_0) \circ f &= 1 \end{aligned}

https://qiita.com/Suu0313/items/ee9995e24101baab1026

M: supermanifold
X: even vector field on M
|\{0\} \times M| \subset |\mathbb{R}^{1|0} \times M| の近傍 |D| が存在して \varphi \eqqcolon \mathrm{exp}(tX): D \to M で \varphi(0, \cdot) = \mathrm{id}_M かつ

\varphi_* \frac{\partial}{\partial t} = \varphi^* X \quad (\in \mathcal{O}(\varphi^* \mathrm{T}M))

を満たすものが一意的に存在する
座標表示すると、正規形の常微分方程式の解の存在と一意性に帰着される

http://maya.phys.kyushu-u.ac.jp/~knomura/education/numerical-physics/text4/node2.html

M \subset \mathbb{R}^{p|q} の場合を考える
\varphi = (y^1, \dots, y^p, \eta^1, \dots, \eta^q) \in {\mathcal{O}(D)_0}^p \times {\mathcal{O}(D)_1}^q
\mathcal{O}(D) \simeq C^\infty(|D|)[\theta_1, \dots, \theta_q], \{0\} \times |M| \subset |D| \subset \mathbb{R} \times |M|

\begin{aligned} y^i &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha \\ \eta^j &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^j_\alpha \theta^\alpha \\ X &= \sum_i F^i \frac{\partial}{\partial y^i} + \sum_j G^j \frac{\partial}{\partial \eta^j} \\ &= \sum_i \sum_{\beta, |\beta| \text{ is even}} F^i_\beta \eta^\beta \frac{\partial}{\partial y^i} + \sum_j \sum_{\beta, |\beta| \text{ is odd}} G^j_\beta \eta^\beta \frac{\partial}{\partial \eta^j} \end{aligned}

y^i, \eta^j に関する初期値と常微分方程式は

\begin{aligned} y^i(0, x) &= x_i \\ \eta^j(0, x) &= \theta_j \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial y^i}{\partial t} &= \varphi^* F^i \\ \frac{\partial \eta^j}{\partial t} &= \varphi^* G^j \end{aligned}

y^i_\alpha, \eta^j_\alpha に関する初期値と常微分方程式として展開すると

\begin{aligned} y^i_0(0, x) &= x_i \\ y^i_\alpha(0, x) &= 0 \qquad (\alpha \ne 0) \\ \eta^j_{e_j}(0, x) &= 1 \\ \eta^j_\alpha(0, x) &= 0 \qquad (\alpha \ne e_j) \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} \frac{\partial y^i_\alpha}{\partial t} \theta^\alpha \\ &= \sum_{\beta, |\beta| \text{ is even}} \left[\prod_k (\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^k_\alpha \theta^\alpha)^{\beta_k}\right] \sum_\gamma (\frac{\partial^\gamma}{\partial y^\gamma} F^i_\beta)(y^1_0, \dots, y^p_0) \frac{1}{\gamma!} (\sum_{\alpha \ne 0, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha)^\gamma \\ &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} A_\alpha(y^i_\alpha, \eta^j_\alpha) \theta^\alpha \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \frac{\partial \eta^j_\alpha}{\partial t} \theta^\alpha \\ &= \sum_{\beta, |\beta| \text{ is odd}} \left[\prod_k (\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^k_\alpha \theta^\alpha)^{\beta_k}\right] \sum_\gamma (\frac{\partial^\gamma}{\partial y^\gamma} G^j_\beta)(y^1_0, \dots, y^p_0) \frac{1}{\gamma!} (\sum_{\alpha \ne 0, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha)^\gamma \\ &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} B_\alpha(y^i_\alpha, \eta^j_\alpha) \theta^\alpha \end{aligned}

Baker-Campbell-Hausdorff
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/f2022/SML_NP.pdf