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可分な距離が入る \Leftrightarrow [0,1]^\mathbb{N} の部分集合

証明はそんなに難しくない: https://math.stackexchange.com/questions/3333379/prove-that-a-mapping-from-a-separable-space-to-the-hilbert-cube-is-a-homeomorphi

可分距離空間 S の埋め込み S \hookrightarrow [0,1]^\mathbb{N} は距離が縮小するように構成できて、このとき \overline{S} に S の距離の拡張を入れたものは S の Cauchy 完備化なはず

X: 距離空間
S \subset X
f: S \to \mathbb{R}: 一様連続
f は X まで連続に拡張できる

\overline{S} まではコーシー列を使って拡張し、そのあとは Tietze の拡張定理

X: 全有界な距離空間
X 上の一様連続な関数全体 C_u(X) は可分

\widetilde{X}: X の完備化 (https://en.wikipedia.org/wiki/Complete_metric_space#Completion)
\widetilde{X} は全有界かつ完備なのでコンパクト
C_u(X) \simeq C(\widetilde{X})

問題を再設定

X: コンパクト距離空間
C(X) は可分

これは d_x \coloneqq d(x, \cdot) を使って Stone-Weierstrass を適用すれば OK
逆も言えるみたい: https://math.stackexchange.com/questions/1331321/cx-is-separable-when-x-is-compact

参考: https://math.stackexchange.com/questions/3333379/prove-that-a-mapping-from-a-separable-space-to-the-hilbert-cube-is-a-homeomorphi

https://arxiv.org/abs/2012.02739

A: 標数 0 の supercommutative algebra
V \coloneqq A^{p|q} = \langle x_1, \dots, x_p, y_1, \dots, y_q \rangle_A

\Pi V \simeq A^{q|p} = \langle y^\Pi_1, \dots, y^\Pi_q, x^\Pi_1, \dots, x^\Pi_p \rangle_A (\Pi \coloneqq A^{0|1} \otimes_A \cdot は even と odd を入れ替える)
\Pi V^* \coloneqq \underline{\mathrm{Hom}}_A(\Pi V, A) \simeq \Pi\underline{\mathrm{Hom}}_A(V, A) \simeq A^{q|p} = \langle y^{\Pi*}_1, \dots, y^{\Pi*}_q, x^{\Pi*}_1, \dots, x^{\Pi*}_p \rangle_A (\underline{\mathrm{Hom}} の下線は odd な元も考えることを意味する)

SV, S(\Pi V), S(\Pi V^*): supersymmetric algebra of V, \Pi V, \Pi V^*
構造は SV \simeq A \otimes_\mathbb{Z} S(\langle x_1, \dots, x_p \rangle_\mathbb{Z}) \otimes_\mathbb{Z} \bigwedge(\langle y_1, \dots, y_q \rangle_\mathbb{Z})

Odd な作用素 \delta: SV \otimes_A S(\Pi V) \to SV \otimes_A S(\Pi V) を

\delta = \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i} \otimes \iota_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j} \otimes \iota_{y^{\Pi*}_j}

で定める
\varepsilon_\cdot \in \underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(SV, SV) は exterior product
\iota_\cdot は interior product (superderivation になる)

\delta^2 = 0

これは \varepsilon_\cdot \otimes 1, 1 \otimes \iota_\cdot たちが supercommutative であることからわかる

ホモロジーを計算する

h = \sum_{i=1}^p \iota_{x^*_i} \otimes \varepsilon_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q \iota_{y^*_j} \otimes \varepsilon_{y^\Pi_j}

とすると

[\delta, h] = \delta h + h \delta = \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \otimes 1 + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \otimes 1 + \sum_{i=1}^p 1 \otimes \varepsilon_{x^\Pi_i}\iota_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q 1 \otimes \varepsilon_{y^\Pi_j}\iota_{y^{\Pi*}_j}

[\iota_f, \varepsilon_x] = \langle f, x \rangle を使った

\begin{aligned} \left( \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \right) x^\alpha &= |\alpha|x^\alpha \quad (\alpha_i \ge 0) \\ \left( \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \right) y^\beta &= |\beta|y^\beta \quad (\beta_j = 0, 1) \end{aligned}

だから [\delta, h] は x^\alpha y^\beta \otimes (y^\Pi)^\mu (x^\Pi)^\nu に |\alpha| + |\beta| + |\mu| + |\nu| 倍で作用する
特に 1 \in SV \otimes_A S(\Pi V) にのみ 0 倍で作用する
これから H(\delta) = A \cdot 1

SV \otimes_A S(\Pi V) = \bigoplus_{i =0}^\infty SV \otimes_A S^i(\Pi V) \eqqcolon \bigoplus_{i =0}^\infty K_i

とすると K_i は SV 加群で K_\cdot \to A \to 0 は SV 加群 A の自由分解となる
A は augmentation map で SV 加群とみなしている

\underline{\mathrm{Ext}}_{SV}^\cdot(A, SV) を計算したい
\underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(K_\cdot, SV) のコホモロジーを計算すれば良い

\underline{\mathrm{Hom}}_{SV}(SV \otimes_A S(\Pi V), SV) \simeq SV \otimes_A \underline{\mathrm{Hom}}_A(S(\Pi V), A) \simeq SV \otimes_A S(\Pi V^*)
2 つ目の同型はペアリング

S(\Pi V) \otimes_A S(\Pi V^*) \ni (x^\Pi)^\alpha (y^\Pi)^\beta \otimes (x^{\Pi*})^\mu (y^{\Pi*})^\nu \mapsto \delta_{\alpha\mu} \delta_{\beta\nu} \alpha! \in A

を用いた
このペアリングに関して \varepsilon_\cdot と \iota_\cdot は互いに双対なので

\begin{aligned} \delta^* &= \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i} \otimes \varepsilon_{x^{\Pi*}_i} + \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j} \otimes \varepsilon_{y^{\Pi*}_j} \\ h^* &= \sum_{i=1}^p \iota_{x^*_i} \otimes \iota_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q \iota_{y^*_j} \otimes \iota_{y^\Pi_j} \end{aligned}

\begin{aligned} [\delta^*, h^*] &= \delta^* h^* + h^* \delta^* \\ &= p + q + \sum_{i=1}^p \varepsilon_{x_i}\iota_{x^*_i} \otimes 1 - \sum_{j=1}^q \varepsilon_{y_j}\iota_{y^*_j} \otimes 1 \\ &\quad - \sum_{i=1}^p 1 \otimes \varepsilon_{x^{\Pi*}_i}\iota_{x^\Pi_i} + \sum_{j=1}^q 1 \otimes \varepsilon_{y^{\Pi*}_j}\iota_{y^\Pi_j} \end{aligned}

後半の dual だけを考えているので [\delta^*, h^*] \ne [h, \delta]^* なことに注意
[\delta^*, h^*] は x^\alpha y^\beta \otimes (y^{\Pi*})^\mu (x^{\Pi*})^\nu に p + q + |\alpha| - |\beta| + |\mu| - |\nu| 倍で作用する
|\alpha|, |\mu| \ge 0, |\beta| \le q, |\nu| \le p だから y_1 \cdots y_q \otimes x^{\Pi*}_1 \cdots x^{\Pi*}_p \in SV \otimes_A S(\Pi V^*) にのみ 0 倍で作用する
これから H(\delta^*) = A \cdot y_1 \cdots y_q \otimes x^{\Pi*}_1 \cdots x^{\Pi*}_p

\underline{\mathrm{Ext}}_{SV}^i(A, SV) = \begin{cases} \Pi^{p+q}A &(i = p) \\ 0 &(i \ne p) \end{cases}

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/select/rf1.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/4163477/showing-that-kg-is-a-self-injective-module

https://math.stackexchange.com/questions/231201/on-the-nakayama-functor

R: 体 k 上の代数
\mathcal{N}: R\text{-}\mathrm{Mod} \ni M \mapsto \mathrm{Hom}_k(\mathrm{Hom}_R(M, R), k) \in R\text{-}\mathrm{Mod}
\mathrm{Hom}_R(M, R) は f \mapsto f(\cdot)r で R^\mathrm{op} 加群
N \in R^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod} とすると \mathrm{Hom}_k(N, k) は \varphi \mapsto \varphi(r\cdot) で R 加群

N が射影的 R^\mathrm{op} 加群ならば \mathrm{Hom}_k(N, k) は単射的 R 加群 (k は k 加群として単射的)
\mathcal{N}(R) は単射的 R 加群
これから M が R^n の直和因子ならば \mathcal{N}(M) は単射的 R 加群になることがわかる

R が k 双線形形式 \sigma: R \times R \to k で \sigma(ab, c) = \sigma(a, bc) を満たし, 誘導される R 準同型 R \ni c \mapsto \sigma(\cdot, c) \in \mathrm{Hom}_k(R_R, k) が同型になるものを持つとき, Frobenius algebra という
この時 R \simeq \mathcal{N}(R) は単射的
つまり R は left self-injective

R = \bigwedge(k^n) は left self-injective なことを示したい
k 線形写像 \varphi: R \to \bigwedge^n(k^n) \simeq k を用いて \sigma(a, b) \coloneqq \varphi(ab) とおくと R は Frobenius algebra になる

A: 可換環
R: Frobenius algebra over A
R \simeq \mathrm{Hom}_A(R_R, A)

R\text{-}\mathrm{Mod} から A\text{-}\mathrm{Mod} への関手として
\mathrm{Hom}_R(-, R) \simeq \mathrm{Hom}_R(-, \mathrm{Hom}_A(R_R, A)) \simeq \mathrm{Hom}_A(-, A) なので A 加群として
\mathrm{Ext}^\cdot_R(-, R) \simeq \mathrm{Ext}^\cdot_A(-, A)
特に

\mathrm{Ext}^i_R(A, R) \simeq \mathrm{Ext}^i_A(A, A) = \begin{cases} A &(i = 0) \\ 0 &(i \ne 0) \end{cases}

また R が left self-injective \Leftrightarrow A が self-injective

M: 多様体
\mathcal{V}: M 上のベクトル束

\bigwedge\mathcal{V} \to M は supermanifold とみなせるが、supermanifold はこれで尽くされるらしい

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~walcher/teaching/sose21/supergeometry/7_complex

Yuri Manin: Gauge Field Theory and Complex Geometry

https://www.ams.org/tran/1979-253-00/S0002-9947-1979-0536951-0/S0002-9947-1979-0536951-0.pdf

https://www.cambridge.org/core/journals/canadian-journal-of-mathematics/article/derivations-and-automorphisms-of-exterior-algebras/B6CBE09972E6DB105DA7753AE8DBEE33

https://www.math.uni-hamburg.de/home/sachse/handoutbatchelor.pdf
Function factor の説明: https://www.math.uni-hamburg.de/home/sachse/supermanifoldsII.pdf

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~walcher/teaching/sose21/supergeometry/3_supermanifoldsBatchelor

X: 位相空間
\mathcal{G}: X 上の群の層 (X の開集合たちがなす圏から群の圏への反変関手)

Cech cohomology H^0(X, \mathcal{G}), H^1(X, \mathcal{G}) を定義する

https://math.stackexchange.com/questions/157864/about-the-definition-of-cech-cohomology
で singular cochain がおすすめされている

\mathcal{U}: X の開被覆

C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \prod_\alpha \mathcal{G}(U_\alpha) = \{ s_\alpha \in \mathcal{G}(U_\alpha) \}
Z^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_\alpha \in \mathcal{G}(U_\alpha) \mid s_\alpha = s_\beta \text{ over } U_\alpha \cap U_\beta \} \simeq \mathcal{G}(X)
H^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq Z^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \simeq \mathcal{G}(X)

C^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_{\alpha\beta} \in \mathcal{G}(U_\alpha \cap U_\beta) \}
Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq \{ s_{\alpha\beta} \in \mathcal{G}(U_\alpha \cap U_\beta) \mid s_{\alpha\beta}s_{\beta\gamma} = s_{\alpha\gamma} \}
C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \curvearrowright Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) を (s_\alpha)_\alpha\cdot(t_{\beta\gamma})_{\beta\gamma} \coloneqq (s_\beta^{-1} t_{\beta\gamma} s_\gamma)_{\beta\gamma} で定め
H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \coloneqq C^0(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \backslash Z^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})

G: Lie 群
X は多様体とすると
\{ P: X \text{ 上の } G \text{ 主束の同型類} \mid \text{各 } U_\alpha \text{ 上自明} \} \simeq H^1(\mathcal{U}, C^\infty(-, G))

\mathcal{V} を \mathcal{U} の細分とすると H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G}) \to H^1(\mathcal{V}, \mathcal{G}) が定まる
\mu: \mathcal{V} \to \mathcal{U} を取って構成すると, \mu の取り方によらないことがわかる
H^1(X, \mathcal{G}) \coloneqq \underrightarrow{\lim} H^1(\mathcal{U}, \mathcal{G})
\{ P: X \text{ 上の } G \text{ 主束の同型類} \} \simeq H^1(X, C^\infty(-, G))

0 \to \mathcal{N} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0: X 上の群の層の完全列

\begin{aligned} 0 &\to H^0(X, \mathcal{N}) \to H^0(X, \mathcal{G}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \\ &\xrightarrow{\delta} H^1(X, \mathcal{N}) \to H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) \end{aligned}

という点付き集合の完全列がある
蛇の補題のようなことをすれば良いので, 証明はそんなに難しくない

https://www.youtube.com/watch?v=aXBNPjrvx-I

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/0924-6.pdf

H^0(X, \mathcal{Q}) は H^1(X, \mathcal{H}) に作用する
この作用による軌道は H^1(X, \mathcal{H}) \to H^1(X, \mathcal{G}) による類別と一致する

\mathcal{N} が \mathcal{G} の中心に含まれる場合

\begin{aligned} 0 &\to H^0(X, \mathcal{N}) \to H^0(X, \mathcal{G}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \\ &\to H^1(X, \mathcal{N}) \to H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) \\ &\to H^2(X, \mathcal{N}) \end{aligned}

が完全になる

H^1(X, \mathcal{H}) は H^1(X, \mathcal{G}) に作用する
この作用による軌道は H^1(X, \mathcal{G}) \to H^1(X, \mathcal{Q}) による類別と一致する

M: 多様体
\mathcal{V}: M 上のベクトル束

\bigwedge\mathcal{V} \to M は supermanifold とみなせるが、supermanifold はこれで尽くされるらしい

の証明がわからないので, 一旦保留

M: 多様体
U \subset \mathbb{R}^p
\mathcal{O}_M, \mathcal{O}_U: C^\infty 関数のなす \mathbb{R} 代数の層

座標関数 y_1, \dots, y_p \in \mathcal{O}_U(U) を引き戻すことで

\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_M, \mathcal{O}_U) \to \{ f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(M) = C^\infty(M) \mid \forall x \in M, (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in U \}

ができるが, これは同型
全射は容易
(\varphi, \varphi^*): \mathcal{O}_M \to \mathcal{O}_U
\varphi^*: \mathcal{O}_{U, \varphi(x)} \to \mathcal{O}_{M, x} は局所環の射だから (\varphi^*y_i)(x) = y_i(\varphi(x)) = \varphi(x)_i で

\varphi = (\varphi^*y_1, \dots, \varphi^*y_p)

V \subset U, v \in \mathcal{O}_U(V) = C^\infty(V) とすると

(\varphi^*v)(x) = v(\varphi(x)) \quad (x \in \varphi^{-1}(V))

\mathbb{R} 代数の射 \varphi: C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0} \to C^\infty_{\mathbb{R}^p, 0} は局所環の射になる
f_0 \in C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0}
\sigma(f_0) \coloneqq \{ \lambda \in \mathbb{R} \mid f_0 - \lambda \not\in {C^\infty_{\mathbb{R}^n, 0}}^\times \}
\{\varphi(f_0)(0)\} = \sigma(\varphi(f_0)) \subset \sigma(f_0) = \{f_0(0)\} だから \varphi(f_0)(0) = f_0(0)

M: supermanifold
U \subset \mathbb{R}^{p|q}

座標関数 y_1, \dots, y_p, \theta_1, \dots, \theta_q \in \mathcal{O}_U(|U|) を引き戻すことで

\begin{aligned} &\mathrm{Hom}(M, U) \\ &\to \{ f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(|M|)_0, \tau_1, \dots, \tau_q \in \mathcal{O}_M(|M|)_1 \mid \forall x \in |M|, (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in |U| \} \end{aligned}

ができるが, これは同型

M = \mathbb{R}^{n|m} として示せば良い

まず, 単射性を示す
\varphi: M \to U とすると |\varphi| = (\varphi^*y_1, \dots, \varphi^*y_p)
|V| \subset |U|, v \in \mathcal{O}_U(|V|) とする
y_0 \in |V| に対して

v_{y_0} = \sum_{|\alpha| + |\beta| \le N} c_{\alpha\beta} (y - y_0)^\alpha \theta^\beta + \mathfrak{m}_{\mathcal{O}_{U, y_0}}^{N + 1} \quad (c_{\alpha\beta} \in \mathbb{R})

ただし \alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^p, \beta \in {\{0, 1\}}^q
https://ncatlab.org/nlab/show/Hadamard+lemma
各 x_0 \in |\varphi|^{-1}(|V|) に対して

(\varphi^*v)_{x_0} = \sum_{|\alpha| + |\beta| \le N} c_{\alpha\beta} (\varphi^*y - |\varphi|(x_0))^\alpha (\varphi^*\theta)^\beta + \mathfrak{m}_{\mathcal{O}_{M, x_0}}^{N + 1} \quad (c_{\alpha\beta} \in \mathbb{R})

M = \mathbb{R}^{n|m} を用いると \mathcal{O}_{M, x_0} = C^\infty_{x_0}[\eta_1, \dots, \eta_m] の \eta^\delta の係数に x_0 を代入する \mathrm{ev}_{x_0}^\delta: \mathcal{O}_{M, x_0} \to \mathbb{R} がある
ただし \delta \in {\{0, 1\}}^m

\mathrm{ev}_{x_0}^\delta(\varphi^*v) = \sum_{\beta} c_{0\beta} \mathrm{ev}_{x_0}^\delta((\varphi^*\theta)^\beta)

N = m だけ考えれば十分だった

次に、全射性を示す
f_1, \dots, f_p \in \mathcal{O}_M(|M|)_0, \tau_1, \dots, \tau_q \in \mathcal{O}_M(|M|)_1 は (f_1(x), \dots, f_p(x)) \in |U| \ (\forall x \in |M|) を満たすとする
\varphi \coloneqq (|f_1|, \dots, |f_p|): |M| \to |U|
|V| \subset |U|, v = \sum_\beta v_\beta \theta^\beta \in \mathcal{O}_U(|V|) とする
ただし v_\beta \in C^\infty(|V|)
M = \mathbb{R}^{n|m} を用いると \mathcal{O}_M(|M|)_0 \simeq C^\infty(|M|) \oplus \{ \text{even かつ nilpotent} \} があり

f_p = |f_p| + r_p

と分解できる

\varphi^*v \coloneqq \sum_\beta \left[ \sum_\alpha (\frac{\partial^\alpha}{\partial y^\alpha} v_\beta \circ \varphi) \frac{r^\alpha}{\alpha!} \right] \tau^\beta

と定義すればよい

Lie supergroup

https://mysite.science.uottawa.ca/hsalmasi/report/report-nuiok.pdf

Manfred Scheunert, The theory of Lie superalgebras. An introduction

https://arxiv.org/pdf/1609.02844

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Super-group

Lie supergroup と super Harish-Chandra pair は圏同値らしい

nilpotent な部分は位相的なこと考えなくていいみたいな感じなのかな

Cartesian monoidal category とは有限積が存在する圏
終対象と積が存在する圏とも言える

\mathcal{C}: locally small cartesian monoidal category
C \in \mathcal{C}
C 上の群構造 \Leftrightarrow \mathrm{Hom}(-, C) \in \mathcal{Hom}(\mathcal{C}, \mathrm{Set}) の \mathcal{Hom}(\mathcal{C}, \mathrm{Grp}) への持ち上げ

https://ncatlab.org/nlab/show/group+object#InTermsOfPresheavesOfGroups

R: supercommutative ring

R^{p|q} = \langle e_1, \dots, e_{p+q} \rangle
R^{p|q} を v \cdot r \coloneqq (-1)^{|r||v|} rv で右 R 加群とみなすと T \in \mathrm{End}(R^{p|q}) は
\sum_i e_i t_{ij} \coloneqq T(e_j)
でうまく行列表示できる

\mathrm{End}(R^{p|q}) \simeq \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \middle| A, D \text{ は } R_0 \text{ で, } B, C \text{ は } R_1 \text{ で構成されている} \right\}

\mathrm{Aut}(R^{p|q}) \simeq \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \middle| \text{さらに } A, D \text{ は可逆} \right\}
nilpotent な元を無視しつつ

(1 - x)^{-1} = \sum_{i = 0}^\infty x^i

で補正すれば良い

|\mathrm{GL}_{p|q}| \coloneqq \mathrm{GL}_p \times \mathrm{GL}_q
\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_{p|q}} \coloneqq C^\infty_{\mathrm{GL}_p \times \mathrm{GL}_q}[\beta_{ij}, \gamma_{i'j'}]
ただし 1 \le i, j' \le p, p + 1 \le j, i' \le p + q
\mathrm{GL}_{p|q} は次元 (p^2 + q^2, 2pq) で、座標を集めると

\begin{pmatrix} a & \beta \\ \gamma & d \end{pmatrix} \in \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_{p|q}}(|\mathrm{GL}_{p|q}|)^{p|q})

ができる
座標を使って
\mathrm{GL}_{p|q} \times \mathrm{GL}_{p|q} \to \mathrm{GL}_{p|q}
を定義すると \mathrm{GL}_{p|q} は Lie supergroup になる

S: supermanifold
\mathrm{GL}_{p|q} の S-point は

\mathrm{Hom}(S, \mathrm{GL}_{p|q}) \simeq \mathrm{Aut}(\mathcal{O}_S(|S|)^{p|q}) \in \mathrm{Grp}

\begin{aligned} X &\coloneqq \{ \Phi: \mathbb{\R}^{n|n} \otimes \mathbb{\R}^{n|n} \to \mathbb{R}^{1|0} \mid \Phi \text{ is odd antisymmetric nondegenerate} \} \\ &\simeq \{ x \otimes y \mapsto \phi(x^0, y^1) - \phi(y^0, x^1) \mid \phi: V_0 \otimes V_1 \to \mathbb{R}^{1|0} \text{ is odd nondegenerate} \} \\ &\simeq \mathrm{GL}_{n|0} \end{aligned}
\mathrm{GL}_{n|n} は X に作用する
\begin{pmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} を x \otimes y \mapsto \sum_{i = 1}^n (x^0_i y^1_i - y^0_i x^1_i) に作用させると

x \otimes y \mapsto \sum_{i, j} (x^0_j A_{ij} y^1_i - y^0_j A_{ij} x^1_i)

なので \mathrm{GL}_{n|n} \curvearrowright X は推移的
この作用の固定部分群が \pi\mathrm{Sp}(n|n)

https://arxiv.org/abs/0908.1164

Dieudonné determinant

https://ncatlab.org/nlab/show/Dieudonné+determinant#Dieudonne

https://arxiv.org/abs/math-ph/9907015

https://arxiv.org/abs/q-alg/9703003

P. K. Draxl, Skew Fields

D: division ring
M_n(D) \simeq \mathrm{End}({D_D}^n)

A = (a_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(D)

a_{1, \tau(1)} を 1 行目で 0 でない最左の成分とする
1 行目の定数倍と 1 行目より下の消去を行うと

A = \text{下三角} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 & * \\ * & 0 & * \end{pmatrix}

これを 2 行目以降でも繰り返すと、置換 \tau ができて

A = \text{下三角} \cdot X

だだし

\begin{aligned} &X_{i, \tau(i)} = 1 \\ &j < \tau(i) \Rightarrow X_{ij} = 0 \\ &i < i' \Rightarrow X_{i', \tau(i)} = 0 \end{aligned}

置換に対応する置換行列も同じ記号で表せば、1 つ目と 2 つ目から \tau X は対角成分が 1 の上三角
また、1 つ目と 3 つ目から X \tau も対角成分が 1 の上三角

以上から A は

A = L \sigma U

と表せる
ただし、L は下三角, \sigma は置換行列, U は対角成分が 1 の上三角で、\sigma U \sigma^{-1} も対角成分が 1 の上三角

A のこのような表示は一意的

A = L \sigma U = \tilde{L} \tilde{\sigma} \tilde{U}

とする

\tilde{L}^{-1} L = \tilde{\sigma} \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1}

P = (p_{ij}) に対して \mathrm{supp}(P) \coloneqq \{ (i, j) \mid p_{ij} \ne 0 \} とおく
\mathrm{supp}(1) \subset \mathrm{supp}(\tilde{U} U^{-1}) より \mathrm{supp}(\tilde{\sigma} \sigma^{-1}) \subset \mathrm{supp}(\tilde{\sigma} \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1}) = \mathrm{supp}(\tilde{L}^{-1} L)
\tilde{\sigma} \sigma^{-1} は置換行列で \tilde{L}^{-1} L は下三角だから \tilde{\sigma} \sigma^{-1} = 1

\tilde{L}^{-1} L = \sigma \tilde{U} U^{-1} \sigma^{-1} = (\sigma \tilde{U} \sigma^{-1}) (\sigma U^{-1} \sigma^{-1})

は下三角かつ上三角かつ対角成分が 1 だから単位行列

同じ証明で、下三角 L', 置換行列 \sigma', 対角成分が 1 の上三角 U' を用いて

A = L' \sigma' U'

と表示した時、\sigma' U' \sigma'^{-1} に関する条件がなくても、L' の対角成分と \sigma' は一意的なことがわかる

群準同型 \mathrm{det}_D: \mathrm{GL}_n(D) \to {D^\times}^\mathrm{ab} \simeq D^\times / [D^\times, D^\times] で
(1) (可逆な) 下三角上では対角成分の積
(2) 置換行列上では符号
を満たすものが一意的に存在することを示す
これを Dieudonné determinant という

\newcommand\iddots{\mathinner{\kern{1.2mu}\raisebox{2mu}{.}\kern{3mu}\raisebox{7.4mu}{.}\kern{3mu}\raisebox{12.8mu}{.}\kern{1.2mu}}} \rho = \begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ & \iddots & \\ 1 & & 0 \end{pmatrix} とすると、下三角と上三角は \rho \cdot \rho^{-1} で互いに移り合う
\mathrm{det}_D が存在すれば
(3) (可逆な) 上三角上でも対角成分の積

L \sigma U 分解から \mathrm{det}_D が存在すれば

\mathrm{det}_D(A) = \left( \prod_i L^A_{ii} \right) \mathrm{sgn}(\sigma^A) \quad (A = L^A \sigma^A U^A)

でなければならない
この定義が (1), (2) を満たすことは容易
群準同型になることを示す
\sigma_i \ (1 \le i \le n - 1) を i と i + 1 の入れ替えとする
\mathfrak{S}_n = \langle \sigma_1, \dots, \sigma_{n-1} \rangle
(a) L を (可逆な) 下三角とすると \mathrm{det}_D(LX) = (\prod_i L_{ii}) \mathrm{det}_D(X)
(b) \mathrm{det}_D(\sigma_i X) = -\mathrm{det}_D(X)
を示せば

\begin{aligned} \mathrm{det}_D(AB) &= \mathrm{det}_D(L^A \sigma^A U^A B) \\ &= \mathrm{det}_D(L^A \sigma^A \rho^{-1} (\rho U^A \rho^{-1}) \rho B) \\ &= \left( \prod_i L^A_{ii} \right) \mathrm{sgn}(\sigma^A) \mathrm{det}_D(B) \\ &= \mathrm{det}_D(A) \mathrm{det}_D(B) \end{aligned}

(a) は容易
(b) を示す
一般の場合も同様なので \sigma_1 についてのみ示す
X = L \sigma U と分解する
\sigma_1 L を列変形で下三角にすることを考えると

\sigma_1 L \sigma_1^{-1} (1 + {l_{22}}^{-1} l_{21} E_{12}) = \begin{pmatrix} l_{22} & & 0 \\ 0 & l_{11} & \\ * & & \ddots \end{pmatrix} \eqqcolon \tilde{L}

\sigma_1 L \sigma U = \tilde{L} (1 - {l_{22}}^{-1} l_{21} E_{12}) \sigma_1 \sigma U

t \coloneqq - {l_{22}}^{-1} l_{21} とおく
あとは (1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma の L \sigma U 分解を考えればよい
t = 0 は明らかなので、t \ne 0 とする
\tau E_{12} \tau^{-1} = E_{\tau(1) \tau(2)} だから (\sigma_1 \sigma)^{-1}(1) < (\sigma_1 \sigma)^{-1}(2) \ (\Leftrightarrow \sigma^{-1}(2) < \sigma^{-1}(1)) の場合は

(1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma = \sigma_1 \sigma (1 + t E_{(\sigma_1 \sigma)^{-1}(1) (\sigma_1 \sigma)^{-1}(2)})

が L \sigma U 分解となる
最後に \sigma^{-1}(1) < \sigma^{-1}(2) の場合を考える
(1 + t E_{12}) \sigma_1 の L \sigma U 分解を考えると

\begin{pmatrix} t & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t & 0 \\ 1 & -t^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & t^{-1} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

だから (1 + t E_{12}) \sigma_1 = \begin{pmatrix} t & & 0 \\ 1 & -t^{-1} & \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} (1 + t^{-1} E_{12})

(1 + t E_{12}) \sigma_1 \sigma = \begin{pmatrix} t & & 0 \\ 1 & -t^{-1} & \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \sigma (1 + t^{-1} E_{\sigma^{-1}(1) \sigma^{-1}(2)})

が L \sigma U 分解となる

\mathrm{det}_D の regularity を知りたい

https://ncatlab.org/nlab/show/Gauss+decomposition

D: division ring
A \in \mathrm{GL}_n(D)
ある置換行列 \sigma が存在して B = (b_{ij}) \coloneqq \sigma A は 1 \le \forall k \le n に対して (b_{ij})_{1 \le i, j \le k} \in \mathrm{GL}_k(D)

B = (b_{ij}) \in \mathrm{GL}_n(D) は 1 \le \forall k \le n に対して (b_{ij})_{1 \le i, j \le k} \in \mathrm{GL}_k(D) とする

B = L U

と一意的に表せる
ただし、L は下三角, U は対角成分が 1 の上三角

D: odd な \eta と関係式 \eta^2 = -1 で生成される \mathbb{R} 上の superalgebra
D は \mathbb{R} super vector space として 1, \eta で生成される
D は super division algebra

Lie supergroup \mathrm{GL}_n(D) を定義する

|\mathrm{GL}_n(D)| \coloneqq \mathrm{GL}_n
\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_n(D)} \coloneqq C^\infty_{\mathrm{GL}_n}[\beta_{ij} \ (1 \le i, j \le n)]
\mathrm{GL}_n(D) は次元 (n^2, n^2) で、座標を集めると

(a + \beta\eta) \in \mathrm{Aut}((\mathcal{O}_{\mathrm{GL}_n(D)}(|\mathrm{GL}_n(D)|) \otimes D)^n)

ができる
座標を使って
\mathrm{GL}_n(D) \times \mathrm{GL}_n(D) \to \mathrm{GL}_n(D)
を定義すると \mathrm{GL}_n(D) は Lie supergroup になる

S: supermanifold
\mathrm{GL}_n(D) の S-point は

\mathrm{Hom}(S, \mathrm{GL}_n(D)) \simeq \mathrm{Aut}((\mathcal{O}_S(|S|) \otimes D)^n) \in \mathrm{Grp}

\varphi: D^\times \ni a + \alpha\eta \mapsto \alpha / a \in \mathbb{R} は群準同型
\mathrm{odet} \coloneqq \varphi \circ \mathrm{det}_D: \mathrm{Aut}({D_D}^n) \to \mathbb{R}

\mathcal{O}_1(\mathrm{GL}_n(D)) の元を点ごとに定義すると Lie supergroup の射 \mathrm{odet}: \mathrm{GL}_n(D) \to \mathbb{R}^{0|1} ができる
滑らかさは Gauss decomposition からわかる

G: 次元 (p, q) の Lie supergroup

G 上のベクトル場 X が左不変とは、第 1 成分が 0 になるように G \times G 上のベクトル場 \tilde{X} に持ち上げると \tilde{X} が G \times G \ni (g, x) \mapsto (g, gx) \in G \times G で不変になること
\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G: G 上の左不変ベクトル場全体
\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G は Lie superalgebra

\mathrm{T}_eG は次元 (p, q) の superspace
superspace の射 \mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G \to \mathrm{T}_eG が同型を示したい

ベクトル束の pull back と局所自由加群の pull back が整合的にならないなと思っていたら、テンソル積を忘れていた

https://stacks.math.columbia.edu/tag/0094

G: Lie supergroup
左 G 不変な関数 \mathcal{O}(G)^G \simeq \mathrm{Hom}(G, \mathbb{R}^{1|1})^G は \mathbb{R} と同型

f: G \to \mathbb{R}^{1|1} は左 G 不変とする
f が終対象 \mathbb{R}^{0|0} を経由することを示せば良い
S point を考えればよい

直接的には f = f \circ (g \mapsto g^{-1} \cdot g) から従う

\mathcal{O}(\mathrm{T}G)^G \simeq \mathcal{O}(G, \mathrm{T}_eG)^G \simeq \mathrm{T}_eG
ただし G の \mathrm{T}_eG への作用は考えない

Supermanifold の逆関数定理:
f: M \to N: supermanifold の射
x_0 \in |M| で f_{*, x_0}: \mathrm{T}_{x_0}M \to \mathrm{T}_{|f|(x_0)}N は可逆だとする
x_0 \in |U| \subset |M|, |V| \subset |N| が存在して |f|(|U|) = |V| かつ f: U \to V は同型
を示したい

通常の逆関数定理と線形変換を適用すると
f: C^\infty(\mathbb{R}^p)[\theta_1, \dots, \theta_q] \to C^\infty(\mathbb{R}^p)[\eta_1, \dots, \eta_q]: \mathbb{R} 上の superalgebra の射

\begin{aligned} f(x_i) &= y_i + I_\eta^2 \quad &(1 \le i \le p) \\ f(\theta_j) &= \eta_j + I_\eta^3 \quad &(1 \le j \le q) \end{aligned}

ならば f は可逆を示せばよい
ただし I_\eta \coloneqq \langle \eta_1, \dots, \eta_q \rangle

\mathscr{A} \coloneqq \{ \varphi: C^\infty(\mathbb{R}^p)[\eta] \xrightarrow{\mathrm{superalg}} C^\infty(\mathbb{R}^p)[\theta] \}
F: \mathscr{A} \to \mathscr{A} を以下で定義する

\begin{aligned} F(\varphi)(y_i) &\coloneqq (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi)(y_i) \\ F(\varphi)(\eta_j) &\coloneqq (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi)(\eta_j) \end{aligned}

2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi は superalgebra の射とは限らないが、F(\varphi) は superalgebra の射になるように構成することに注意

\begin{aligned} f \circ (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi) - 1 &= - (f \circ \varphi - 1) \circ (f \circ \varphi - 1) \\ (2 \varphi - \varphi \circ f \circ \varphi) \circ f - 1 &= - (\varphi \circ f - 1) \circ (\varphi \circ f - 1) \end{aligned}

だから、\varphi_0 \in \mathscr{A} を \varphi_0(y_i) \coloneqq x_i, \varphi_0(\eta_j) \coloneqq \theta_j で定義すると

\begin{aligned} (f \circ F^n(\varphi_0))(y_i) &= y_i + I_\eta^{2^{n+1}} \\ (f \circ F^n(\varphi_0))(\eta_j) &= \eta_j + I_\eta^{2^{n+1}+1} \end{aligned}

同様にして

\begin{aligned} (F^n(\varphi_0) \circ f)(y_i) &= y_i + I_\eta^{2^{n+1}} \\ (F^n(\varphi_0) \circ f)(\eta_j) &= \eta_j + I_\eta^{2^{n+1}+1} \end{aligned}

十分大きな N を取れば

\begin{aligned} f \circ F^N(\varphi_0) &= 1 \\ F^N(\varphi_0) \circ f &= 1 \end{aligned}

https://qiita.com/Suu0313/items/ee9995e24101baab1026

M: supermanifold
X: even vector field on M
|\{0\} \times M| \subset |\mathbb{R}^{1|0} \times M| の近傍 |D| が存在して \varphi \eqqcolon \mathrm{exp}(tX): D \to M で \varphi(0, \cdot) = \mathrm{id}_M かつ

\varphi_* \frac{\partial}{\partial t} = \varphi^* X \quad (\in \mathcal{O}(\varphi^* \mathrm{T}M))

を満たすものが一意的に存在する
座標表示すると、正規形の常微分方程式の解の存在と一意性に帰着される

http://maya.phys.kyushu-u.ac.jp/~knomura/education/numerical-physics/text4/node2.html

M \subset \mathbb{R}^{p|q} の場合を考える
\varphi = (y^1, \dots, y^p, \eta^1, \dots, \eta^q) \in {\mathcal{O}(D)_0}^p \times {\mathcal{O}(D)_1}^q
\mathcal{O}(D) \simeq C^\infty(|D|)[\theta_1, \dots, \theta_q], \{0\} \times |M| \subset |D| \subset \mathbb{R} \times |M|

\begin{aligned} y^i &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha \\ \eta^j &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^j_\alpha \theta^\alpha \\ X &= \sum_i F^i \frac{\partial}{\partial y^i} + \sum_j G^j \frac{\partial}{\partial \eta^j} \\ &= \sum_i \sum_{\beta, |\beta| \text{ is even}} F^i_\beta \eta^\beta \frac{\partial}{\partial y^i} + \sum_j \sum_{\beta, |\beta| \text{ is odd}} G^j_\beta \eta^\beta \frac{\partial}{\partial \eta^j} \end{aligned}

y^i, \eta^j に関する初期値と常微分方程式は

\begin{aligned} y^i(0, x) &= x_i \\ \eta^j(0, x) &= \theta_j \end{aligned}

\begin{aligned} \frac{\partial y^i}{\partial t} &= \varphi^* F^i \\ \frac{\partial \eta^j}{\partial t} &= \varphi^* G^j \end{aligned}

y^i_\alpha, \eta^j_\alpha に関する初期値と常微分方程式として展開すると

\begin{aligned} y^i_0(0, x) &= x_i \\ y^i_\alpha(0, x) &= 0 \qquad (\alpha \ne 0) \\ \eta^j_{e_j}(0, x) &= 1 \\ \eta^j_\alpha(0, x) &= 0 \qquad (\alpha \ne e_j) \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} \frac{\partial y^i_\alpha}{\partial t} \theta^\alpha \\ &= \sum_{\beta, |\beta| \text{ is even}} \left[\prod_k (\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^k_\alpha \theta^\alpha)^{\beta_k}\right] \sum_\gamma (\frac{\partial^\gamma}{\partial y^\gamma} F^i_\beta)(y^1_0, \dots, y^p_0) \frac{1}{\gamma!} (\sum_{\alpha \ne 0, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha)^\gamma \\ &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is even}} A_\alpha(y^i_\alpha, \eta^j_\alpha) \theta^\alpha \end{aligned}

\begin{aligned} &\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \frac{\partial \eta^j_\alpha}{\partial t} \theta^\alpha \\ &= \sum_{\beta, |\beta| \text{ is odd}} \left[\prod_k (\sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} \eta^k_\alpha \theta^\alpha)^{\beta_k}\right] \sum_\gamma (\frac{\partial^\gamma}{\partial y^\gamma} G^j_\beta)(y^1_0, \dots, y^p_0) \frac{1}{\gamma!} (\sum_{\alpha \ne 0, |\alpha| \text{ is even}} y^i_\alpha \theta^\alpha)^\gamma \\ &= \sum_{\alpha, |\alpha| \text{ is odd}} B_\alpha(y^i_\alpha, \eta^j_\alpha) \theta^\alpha \end{aligned}

Baker-Campbell-Hausdorff
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~richard/teaching/f2022/SML_NP.pdf

M: supermanifold
\mathcal{V} \subset \mathrm{T}M: locally free submodule
[\mathcal{V}, \mathcal{V}] \subset \mathcal{V}
p \in |M|
p の座標近傍 (x_1, \dots, x_p, \theta_1, \dots, \theta_q) があって、p の近傍で

\mathcal{V} = \langle \frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_a}, \frac{\partial}{\partial \theta_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial \theta_b} \rangle

\mathcal{V} = \langle X_1, \dots, X_a, \Theta_1, \dots, \Theta_b \rangle としてよい

\mathrm{T}M = \langle A_1, \dots, A_p, \alpha_1, \dots, \alpha_q \rangle を A_i, \alpha_j が互いに可換で [\alpha_j, \alpha_j] = 0 になるようにとる
座標はこれを満たす

添字の入れ替えと線形変換をすれば
X_i = A_i \ \mathrm{mod} \ A_{a + 1}, \dots, A_p, \alpha_{b + 1}, \dots, \alpha_q
\Theta_j = \alpha_j \ \mathrm{mod} \ A_{a + 1}, \dots, A_p, \alpha_{b + 1}, \dots, \alpha_q
[\mathcal{V}, \mathcal{V}] \subset \mathcal{V} だから X_i, \Theta_j は互いに可換で [\Theta_j, \Theta_j] = 0

e^{t_1 X_1} \cdots e^{t_a X_a} e^{\tau_1 \Theta_1} \cdots e^{\tau_b \Theta_b} : (t_1, \dots, t_a, \tau_1, \dots, \tau_b) \times M \to M
と逆関数定理を組み合わせれば良い

https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~lee/Andrea_Rincon.pdf

https://arxiv.org/abs/2207.07083

https://arxiv.org/abs/1012.4429

https://arxiv.org/abs/0908.1164

Lie 群と Lie superalgebra の対 (G_0, \mathfrak{g}) が Harish-Chandra pair とは
\mathrm{Lie}(G_0) \simeq \mathfrak{g}_0 と \mathrm{Ad}: G_0 \curvearrowright \mathfrak{g}_0 の拡張 G_0 \curvearrowright \mathfrak{g} を持ち、微分が \mathrm{ad}: \mathfrak{g}_0 \curvearrowright \mathfrak{g} に一致すること

\mathrm{SLG}: Lie supergroup の圏
\mathrm{HCP}: Harish-Chandra pair の圏
\mathrm{SLG} \to \mathrm{HCP} があるが、圏同値

G: Lie supergroup

PBW から \mathcal{D}(G)^G \simeq U\mathfrak{g}

\mathcal{O}_G \to \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G|}) を以下で定める

f \mapsto (D \mapsto (-1)^{p(f)p(D)} (Df)_\mathrm{red})

\mathfrak{g} = \langle X_1, \dots, X_p, \Theta_1, \dots, \Theta_q \rangle と座標 (x_1, \dots, x_p, \theta_1, \dots, \theta_q) を取る
(\frac{\partial^\alpha}{\partial \theta^\alpha})_\alpha と (\Theta^\alpha)_\alpha が互いに \mathcal{O}_G 係数で変換できることを使えば

\mathcal{O}_G \simeq \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G|})

まず、多様体構造について考える
\mathfrak{g} \ni X \mapsto X \otimes 1 + 1 \otimes X \in U\mathfrak{g} \otimes U\mathfrak{g} は余積 \Delta: U\mathfrak{g} \to U\mathfrak{g} \otimes U\mathfrak{g} を誘導する
\mathcal{O}_G の積は以下で定義する \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G|}) 上の積と一致する

F \cdot G \coloneqq ({C^\infty}_{|G|} \text{ の積}) \circ (F \otimes G) \circ \Delta

次に、群構造について考える
X, Y \in \mathfrak{g}, f \in \mathcal{O}_G とすると

\begin{aligned} (X + Y)(f((g, h) \mapsto gh)) &= (\mathrm{Ad}_{h^{-1}}(X)f)((g, h) \mapsto gh) + (Yf)((g, h) \mapsto gh) \\ X(f(g \mapsto g^{-1})) &= (-\mathrm{Ad}_g(X)f)(g \mapsto g^{-1}) \end{aligned}

\mathcal{O}_{G \times G} \simeq \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0) \otimes U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g} \otimes U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G| \times |G|}) に注意すると \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G|}) 上での構造は

\begin{aligned} F &\mapsto (X \otimes Y \mapsto F(\mathrm{Ad}_{h^{-1}}(X) \cdot Y)((g, h) \mapsto gh)) \\ F &\mapsto F(1)(e) \\ F &\mapsto (X \mapsto F(S(\mathrm{Ad}_g(X)))(g \mapsto g^{-1})) \end{aligned}

ただし、S: U\mathfrak{g} \ni X_1 \cdots X_r \mapsto (-1)^r \mathrm{sgn}((X_1, \dots, X_r), (X_r, \dots, X_1)) X_r \cdots X_1 \in U\mathfrak{g}

S(\mathfrak{g}_1) \ni \Theta_1 \wedge \dots \wedge \Theta_r \mapsto \frac{1}{r!} \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \mathrm{sgn}(\sigma) \Theta_{\sigma(1)} \dots \Theta_{\sigma(r)} \in U\mathfrak{g} を用いると PBW から

U\mathfrak{g} \simeq U(\mathfrak{g}_0) \otimes S(\mathfrak{g}_1)

これから \mathrm{Hom}_{U(\mathfrak{g}_0)}(U\mathfrak{g}, {C^\infty}_{|G|}) \simeq {C^\infty}_{|G|} \otimes S(\mathfrak{g}_1^*)

https://math.stackexchange.com/questions/4920930/why-the-tautological-bundle-of-the-grassmannian-has-only-zero-as-global-sections

https://math.stackexchange.com/questions/112926/global-sections-of-mathcalo-1-and-mathcalo1-understanding-structu

https://mathoverflow.net/questions/240378/global-section-of-universal-bundle-on-grassmanian

https://www3.nd.edu/~snow/Papers/HomogVB.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/2861487/how-does-one-complexify-a-real-n-dimensional-riemannian-manifold-m-g

https://arxiv.org/abs/math/0507482

https://www.maths.usyd.edu.au/u/pubs/publist/preprints/2006/murray-9.pdf

https://mathoverflow.net/questions/120033/why-are-the-holomorphic-line-bundle-sections-finite-dimensional

https://mathoverflow.net/questions/109629/definitions-of-reductive-and-semisimple-groups

https://www.math.columbia.edu/~woit/LieGroups-2012/borelweil.pdf

Sepanski, M. Compact Lie Groups

https://people.math.ethz.ch/~salamon/PREPRINTS/cx-lie.pdf

https://www.math.univ-paris13.fr/~bobol/induct.pdf

https://www.math.columbia.edu/~woit/LieGroups-2012/borelweilbott.pdf

https://www.jstor.org/stable/24899421

\mathbb{C} の概複素構造 J \in \Gamma(\mathbb{C}, \mathrm{End}(\mathrm{T}\mathbb{C})) は

\begin{aligned} J \frac{\partial}{\partial x} &\coloneqq \frac{\partial}{\partial y} \\ J \frac{\partial}{\partial y} &\coloneqq -\frac{\partial}{\partial x} \end{aligned}

Cauchy\text{--}Riemann の関係式を考えれば、複素多様体の射は概複素多様体としての射と一致する

G: 連結コンパクト Lie 群

\mathfrak{g} の maximal abelian subalgebra \mathfrak{t} を固定する
\mathfrak{t}^\mathbb{C} \subset \mathfrak{g}^\mathbb{C} は Cartan subalgebra
R \subset (\mathfrak{t}^\mathbb{C})^*: ルート系

正ルート系 R^+ \subset R を固定する
S \subset R^+: 単純ルートたち
\mathfrak{b} \coloneqq \mathfrak{t}^\mathbb{C} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R^+} \mathfrak{g}_\alpha

\mathfrak{b} \subset \mathfrak{q} \subset \mathfrak{g}^\mathbb{C} を parabolic subalgebra とする
I \subset S が一意的に存在して、R_I^- \coloneqq \{ \alpha \in R \mid I \text{ の係数が } \le 0 \text{ かつ } I \text{ 以外の係数が } 0 \} とおくと

\mathfrak{q} = \mathfrak{t}^\mathbb{C} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R^+ \sqcup R_I^-} \mathfrak{g}_\alpha

R_I \coloneqq \{ \alpha \in R \mid I \text{ 以外の係数が } 0 \} = W_I \cdot I
\mathfrak{k} \coloneqq \mathfrak{q} \cap \mathfrak{g}

G^\mathbb{C}: G の複素化

T, Q, K を \mathfrak{t}, \mathfrak{q}, \mathfrak{k} に対応する連結な Lie 部分群とする
T は G の極大トーラス

T = Z_G(\mathfrak{t})
Q = N_{G^\mathbb{C}}(q)
K = Q \cap G

G^\mathbb{C} / Q \xleftarrow{\sim} G / K

G = \mathrm{U}(n) の場合

\mathfrak{g} = \mathfrak{u}(n) = \{ X \in M_n(\mathbb{C}) \mid X + X^* = 0 \}
\mathfrak{t} = i \cdot \{ \text{実対角行列} \} \simeq i \mathbb{R}^n
\mathfrak{g}^\mathbb{C} = M_n(\mathbb{C})
\mathfrak{t}^\mathbb{C} = \{ \text{対角行列} \} \simeq \mathbb{C}^n
R = \{ e^*_i - e^*_j \mid i \ne j \}

R^+ = \{ e^*_i - e^*_j \mid i < j \}
S = \{ e^*_i - e^*_{i + 1} \mid 1 \le i \le n - 1 \}
\mathfrak{b} = \{ \text{上三角行列} \}

n_1 + \cdots + n_k = n
\mathfrak{q} = \begin{pmatrix} M_{n_1}(\mathbb{C}) & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & M_{n_k}(\mathbb{C}) \end{pmatrix}
I = S \setminus \{ e^*_{p_i} - e^*_{p_i + 1} \mid 1 \le i \le k - 1 \} \quad (p_i \coloneqq n_1 + \cdots + n_i)
R_I = \bigsqcup_{1 \le l \le k} \{ e^*_i - e^*_j \mid p_{l - 1} + 1 \le i, j \le p_l \text{ かつ } i \ne j \} \quad (p_i \coloneqq n_1 + \cdots + n_i)
\mathfrak{k} = \begin{pmatrix} \mathfrak{u}(n_1) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mathfrak{u}(n_k) \end{pmatrix}

G^\mathbb{C} = \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})

T = \begin{pmatrix} \mathrm{U}(1) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mathrm{U}(1) \end{pmatrix}
Q = \begin{pmatrix} \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{C}) & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \mathrm{GL}_{n_k}(\mathbb{C}) \end{pmatrix}
K = \begin{pmatrix} \mathrm{U}(n_1) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mathrm{U}(n_k) \end{pmatrix}

G^\mathbb{C} / Q \simeq \{ V_1 \subset \cdots \subset V_{k - 1} \subset \mathbb{C}^n \mid \mathrm{dim} V_i = n_1 + \cdots + n_i \} \simeq G / K

\Gamma \coloneqq \mathrm{Ker}(\mathfrak{t} \to T)
\{ T \text{ の既約表現} \} \simeq \{ \lambda \in (\mathfrak{t}^\mathbb{C})^* \mid \lambda(\Gamma) \subset 2\pi i \mathbb{Z} \} \eqqcolon P

\{ G \text{ の既約表現} \} \xrightarrow{\sim} P / W \simeq \{ \lambda \in P \mid (\lambda, \alpha) \ge 0 \ (\forall\alpha \in S) \} \eqqcolon P^+
\pi: G \curvearrowright V に対して、\pi|_T の既約分解の highest weight を対応させる

G = \mathrm{U}(n) の場合

\Gamma = 2\pi i \mathbb{Z}^n
P = \mathbb{Z}^n
P^+ = \{ \lambda \in \mathbb{Z}^n \mid \lambda_1 \ge \dots \ge \lambda_n \}

Peter\text{--}Weyl の定理
G \times G のユニタリ表現として
L^2(G) \simeq \widehat{\bigoplus}_{\lambda \in P^+} V_\lambda \otimes V_\lambda^* \quad (V_\lambda \otimes V_\lambda^* \text{ には通常の } \mathrm{dim} V_\lambda \text{ 倍で内積を入れる })

f \mapsto (\alpha_\lambda^{-1}(\int_G f(g) \pi_\lambda(g) \, dg))_\lambda \quad (\alpha_\lambda: V_\lambda \otimes V_\lambda^* \xrightarrow{\sim} \mathrm{End}(V_\lambda))

*-環の同型にもなっている。逆は

v \otimes \varphi \mapsto (g \mapsto \mathrm{dim} V_\lambda \langle g^{-1}v, \varphi \rangle)

特に

f = \sum_{\lambda \in P^+} \mathrm{dim} V_\lambda \cdot f * \chi_\lambda \quad (f \in L^2(G))

G \curvearrowright V に対して
V_{G\text{-}\mathrm{fin}} \coloneqq \{ v \in V \mid \langle Gv \rangle \text{ が有限次元} \}

V^* が V の点を分離し、C(G, V) 上の弱積分が存在すれば、V_{G\text{-}\mathrm{fin}} \subset V は稠密

Sepanski, M. Compact Lie Groups

https://www-users.cse.umn.edu/~garrett/m/fun/notes_2012-13/07e_vv_integrals.pdf

G \times 1-finite vector を取れば、G \times G の表現として
\bigoplus_{\lambda \in P^+} V_\lambda \otimes V_\lambda^* \xrightarrow{\sim} C^\infty(G)_{G \times 1\text{-}\mathrm{fin}}

\mathfrak{l} \coloneqq k^\mathbb{C} = t^\mathbb{C} \oplus \bigoplus_{\alpha \in R_I} \mathfrak{g}_\alpha
\mathfrak{u} \coloneqq \bigoplus_{\alpha \in R^+ \setminus R_I^+} \mathfrak{g}_\alpha
[\mathfrak{l}, \mathfrak{u}] \subset \mathfrak{u}

L, U を \mathfrak{l}, \mathfrak{u} に対応する連結な Lie 部分群とする
L = K^\mathbb{C}
L \times U \xrightarrow{\sim} Q

G = \mathrm{U}(n) の場合

\mathfrak{l} = \begin{pmatrix} M_{n_1}(\mathbb{C}) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & M_{n_k}(\mathbb{C}) \end{pmatrix}
\mathfrak{u} = \begin{pmatrix} 0 & M_{n_1, n_2}(\mathbb{C}) & & * \\ & 0 & \ddots & \\ & & 0 & M_{n_{k - 1}, n_k}(\mathbb{C}) \\ 0 & & & 0 \end{pmatrix}
L = \begin{pmatrix} \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{C}) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & \mathrm{GL}_{n_k}(\mathbb{C}) \end{pmatrix}
U = \begin{pmatrix} 1 & M_{n_1, n_2}(\mathbb{C}) & & * \\ & 1 & \ddots & \\ & & 1 & M_{n_{k - 1}, n_k}(\mathbb{C}) \\ 0 & & & 1 \end{pmatrix}

Q \curvearrowright E: U 上自明な Q の holomorphic 表現
\{ U \text{ 上自明な } Q \text{ の holomorphic 表現} \} \simeq \{ L \text{ の holomorphic 表現} \} \simeq \{ K \text{ の表現} \}

\begin{CD} \mathcal{E} @. @. G^\mathbb{C} \times_Q E @. @. G \times_K E \\ @VVV @.{\coloneqq} @VVV @.{\xleftarrow{\sim}} @VVV \\ X @. @. G^\mathbb{C} / Q @. @. G / K \end{CD}

C^\infty(X, \mathcal{E}) \simeq (C^\infty(G) \otimes E)^K
Cauchy\text{--}Riemann の関係式から
\mathcal{O}(X, \mathcal{E}) \simeq (C^\infty(G)^\mathfrak{u} \otimes E)^K

w_0 \in W を longest element とすれば
C^\infty(G)_{G \times 1\text{-}\mathrm{fin}} \simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda} \otimes V_{G, -w_0\lambda}
W_I の longest element を w_{I, 0} として w^I_0 \coloneqq w_0 w_{I, 0} とおけば

\begin{aligned} \mathcal{O}(X, \mathcal{E})_{G\text{-}\mathrm{fin}} &\simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda} \otimes (V_{G, -w_0\lambda}^\mathfrak{u} \otimes E)^K \\ &\simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda} \otimes (V_{K, -w_0\lambda} \otimes E)^K \\ &\simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda} \otimes (V_{K, (w^I_0)^{-1}\lambda}^* \otimes E)^K \\ &\simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda} \otimes \mathrm{Hom}_K(V_{K, (w^I_0)^{-1}\lambda}, E) \\ &\simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda}^{\oplus [E : V_{K, (w^I_0)^{-1}\lambda}]} \end{aligned}

\mathcal{O}(X, \mathcal{E})_{G\text{-}\mathrm{fin}} は有限次元なことがわかり

\mathcal{O}(X, \mathcal{E}) \simeq \bigoplus_{\lambda \in P^+} V_{G, \lambda}^{\oplus [E : V_{K, (w^I_0)^{-1}\lambda}]}

Q \curvearrowright E が \mu \in P_K^+ \coloneqq \{ \lambda \in P \mid (\lambda, \alpha) \ge 0 \ (\forall\alpha \in I) \} \simeq P / W_I に対応する場合

\mathcal{O}(X, \mathcal{E}_\mu) \simeq \begin{cases} V_{G, w^I_0\mu} &(w^I_0\mu \in P_G^+) \\ 0 &(\text{その他}) \end{cases}

Anders Bjorner, Francesco Brenti, Combinatorics of Coxeter Groups

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/EMIS/journals/MP/index_elemei/mp16-1/mp16-1-105-117.pdf

https://arxiv.org/pdf/math/0512408

https://arxiv.org/pdf/0904.0041

w \in W, \alpha \in S とすると

\begin{aligned} w^{-1}\alpha \in R^- &\Leftrightarrow l(S_\alpha w) < l(w) \\ w^{-1}\alpha \in R^+ &\Leftrightarrow l(S_\alpha w) > l(w) \end{aligned}

前者の場合、w = S_{\alpha_1} \cdots S_{\alpha_n} \ (\alpha_i \in S) を最短表示とすると、ある i があって

S_\alpha w = S_{\alpha_1} \cdots \check{S_{\alpha_i}} \cdots S_{\alpha_n}

変形すれば次もわかる
w \in W, \alpha \in S とすると

\begin{aligned} w\alpha \in R^- &\Leftrightarrow l(w S_\alpha) < l(w) \\ w\alpha \in R^+ &\Leftrightarrow l(w S_\alpha) > l(w) \end{aligned}

前者の場合、w = S_{\alpha_1} \cdots S_{\alpha_n} \ (\alpha_i \in S) を最短表示とすると、ある i があって

w S_\alpha = S_{\alpha_1} \cdots \check{S_{\alpha_i}} \cdots S_{\alpha_n}

\{ \alpha \in R \mid I \text{ 以外の係数が } 0 \} = W_I \cdot I を示したい。\subset を示せば良い
\alpha \in R は I 以外の係数が 0 だとする
l(S_\alpha) に関する帰納法を使う
\alpha \not\in I \sqcup -I として良い
(\alpha, \alpha) > 0 から、\alpha_0 \in I が存在して

(\alpha > 0 \text{ かつ } (\alpha, \alpha_0) > 0) \text{ または } (\alpha < 0 \text{ かつ } (\alpha, \alpha_0) < 0)

いずれの場合も

S_\alpha(\alpha_0) = \alpha_0 - \frac{(\alpha_0, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha < 0

さらに S_\alpha(\alpha_0) \ne -\alpha_0 だから

S_{\alpha_0}S_\alpha(\alpha_0) < 0

l(S_{S_{\alpha_0}(\alpha)}) = l(S_{\alpha_0} S_\alpha S_{\alpha_0}) = l(S_\alpha) - 2

https://math.ou.edu/~kujawa/FinalVIGREIV.pdf

Andreas Cap, Jan Slovak: Parabolic Geometries I: Background and General Theory

G \curvearrowright V: 既約
K \curvearrowright V^\mathfrak{u} も既約を示す
K \curvearrowright V^\mathfrak{u} が既約でないと仮定すると、一次独立な maximal weight vector v_1, v_2 \in V^\mathfrak{u} が取れる
v_1, v_2 は G \curvearrowright V の maximal weight vector にもなるが、V は既約なので、一次従属でなければならない

G^\mathbb{C} = \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})
n_1 + n_2 = n \quad (n_1, n_2 \ge 1)
P = \begin{pmatrix} \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{C}) & * \\ 0 & \mathrm{GL}_{n_2}(\mathbb{C}) \end{pmatrix}
の場合でいくつか計算する

Tautological bundle \gamma は \pi: P \ni \begin{pmatrix} A & * \\ 0 & * \end{pmatrix} \mapsto A \in \mathrm{GL}_{n_1}(\mathbb{C}) に対応する
\pi は既約で、\pi|_T(t_1, \dots, t_n) = t_1 + \cdots + t_{n_1} だから、highest weight は \mu = (1, \overbrace{0, \dots, 0}^{n - 1})
w^I_0\mu = (\overbrace{0, \dots, 0}^{n_2}, 1, \overbrace{0, \dots, 0}^{n_1 - 1}) \not\in P_G^+
\gamma は global section を持たないことがわかる

これは \gamma \subset G^\mathbb{C} / P \times \mathbb{C}^{n_1} と G^\mathbb{C} / P \to \mathbb{C}^{n_1} が定数関数のみであることからもわかる

\pi^*|_T(t_1, \dots, t_n) = -(t_1 + \cdots + t_{n_1}) の highest weight は \mu^* = (\overbrace{0, \dots, 0}^{n_1 - 1}, -1, \overbrace{0, \dots, 0}^{n_2})
w^I_0\mu^* = (\overbrace{0, \dots, 0}^{n - 1}, -1) \in P_G^+

\mathcal{O}(\gamma^*) \simeq (\mathbb{C}^n)^*

\mathrm{det}(\pi^*)|_T(t_1, \dots, t_n) = -t_1 \cdots t_{n_1} の highest weight は \nu = (\overbrace{-1, \dots, -1}^{n_1}, \overbrace{0, \dots, 0}^{n_2})
w^I_0\nu = (\overbrace{0, \dots, 0}^{n_2}, \overbrace{-1, \dots, -1}^{n_1}) \in P_G^+

\mathcal{O}(\mathrm{det}(\gamma^*)) \simeq \wedge^{n_1}(\mathbb{C}^n)^*

M: p|q 次元の supermanifold
\pi: \mathrm{GL}_{p|q}(\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}(V): super representation
\mathcal{V} \coloneqq TM \times_{\mathrm{GL}_{p|q}(\mathbb{R})} V
X \in \mathcal{O}(TM), s \in \mathcal{O}(\mathcal{V})
\mathcal{L}_X s の表示を考える

\nabla: TM の接続
\mathcal{V} 上にも接続が誘導される
d\pi: \mathrm{End}_{p|q}(\mathbb{R}) \to \mathrm{End}(V) は TM \otimes T^*M \simeq \underline{\mathrm{End}}(TM) \to \underline{\mathrm{End}}(\mathcal{V}) を誘導する

\mathcal{L}_X s = \nabla_X s - d\pi(\nabla X)s

\pi = (A \mapsto \mathrm{Ber}((A^{-1})^*)): \mathrm{GL}_{p|q}(\mathbb{R}) \to \mathrm{GL}_{1|0}(\mathbb{R}) の場合、d\pi = -\mathrm{Str}
s \in \mathcal{O}(\mathrm{Ber}(T^*M)) に対して

\begin{aligned} \mathcal{L}_{fX} s &= \nabla_{fX} s + \mathrm{Str}(\nabla(fX)) s \\ &= f \nabla_X s + \mathrm{Str}(df \otimes X + f \nabla X) s \\ &= f \nabla_X s + (-1)^{p(f)p(X)}(Xf)s + f \mathrm{Str}(\nabla X) s \\ &= f \mathcal{L}_X s + (-1)^{p(f)p(X)}(Xf)s \\ &= (-1)^{p(f)p(X)}\mathcal{L}_X(fs) \end{aligned}

M: super manifold
\mathcal{V}_1, \dots, \mathcal{V}_n, \mathcal{W}: M 上の super vector bundle

super manifold B に対して
\mathcal{V}_i(B) \coloneqq (B \times \mathcal{V}_i \to B \times M)_0
\mathcal{W}(B) \coloneqq (B \times \mathcal{W} \to B \times M)_0

super vector bundle の射 \bigotimes_i \mathcal{V}_i \to \mathcal{W} と、B に関して関手的な vector bundle の射たち \bigotimes_i \mathcal{V}_i(B) \to \mathcal{W}(B) は等価

B としては \mathbb{R}^{0|N} を考えれば十分

https://ncatlab.org/nlab/show/internal+hom

A: supercommutative algebra
\underline{\mathrm{Hom}}_A(-, -): A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod} \times A\text{-}\mathrm{Mod} \to A\text{-}\mathrm{Mod} を

\mathrm{Hom}_A(M, \underline{\mathrm{Hom}}_A(N, P)) \simeq \mathrm{Hom}_A(M \otimes N, P)

で定義する

V \in A\text{-}\mathrm{Mod} に対して、V を va \coloneqq (-1)^{p(v)p(a)}av で A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod} とみなしたものを V_A で表す

\begin{aligned} \underline{\mathrm{Hom}}(M, N)_0 &\simeq \mathrm{Hom}_{A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod}}(M_A, N_A) \\ \underline{\mathrm{Hom}}(M, N)_1 &\simeq \mathrm{Hom}_{A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod}}(M_A, N_A \otimes A^{0|1}) \\ \underline{\mathrm{Hom}}(M, N) &\simeq \mathrm{Hom}_{A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod}}(M_A, N_A \otimes (A^{1|0} \oplus A^{0|1})) \end{aligned}

M = A^{p|q}, N = A^{p'|q'} ならば

M^* \otimes N \simeq \underline{\mathrm{Hom}}(M, N) \simeq \mathrm{Hom}_{A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod}}(M_A, N_A \otimes (A^{1|0} \oplus A^{0|1})) \simeq M_{p + q, p' + q'}(A)

V = A^{p|q} とすると

\begin{CD} \underset{\ni a e_j^* \otimes e_i}{V^* \otimes V} @>\sim>> \underset{\ni (v \mapsto \substack{(-1)^{p(e_j^*)p(e_i)} a e_i \langle e_j^*, v \rangle \\ = e_i (-1)^{p(e_j^*)p(e_i)} (-1)^{p(a)p(e_i)} a \langle e_j^*, v \rangle})}{\mathrm{Hom}_{A^\mathrm{op}\text{-}\mathrm{Mod}}(V_A, V_A \otimes (A^{1|0} \oplus A^{0|1}))} @>\sim>> \underset{\ni E_{ij} (-1)^{p(e_j^*)p(e_i)} (-1)^{p(a)p(e_i)} a}{M_{p|q}(A)} \\ @V\text{pairing}VV @. @V\mathrm{Str}VV \\ \underset{\ni \delta_{ij} a}{A} @= @. A \end{CD}

ただし、\mathrm{Str}((a_{ij})) \coloneqq \sum_{1 \le i \le p} a_{ii} - \sum_{p + 1 \le i \le p + q} (-1)^{p(a_{ii})}a_{ii}

https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_representation

Ian R. Porteous, Clifford Algebras and the Classical Groups

https://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf

https://dmitripavlov.org/notes/heisenberg.pdf

A: division algebra over \mathbb{R}
最小多項式を考えれば
A = \mathbb{R} \oplus \{ a \in A \mid a^2 \in \mathbb{R}_{\le 0} \}
\{ a \in A \mid a^2 \in \mathbb{R}_{\le 0} \} 上には内積が定まり、正規直交基底を考えれば、A = \mathbb{R} \text{ or } \mathbb{C} \text{ or } \mathbb{H}

https://arxiv.org/pdf/2405.01876

K: 標数 0 の体
(V, Q): K 線形空間とその上の 2 次形式
C(V, Q) \coloneqq T(V) / \langle v^2 - Q(v) \cdot 1 \rangle

\mathfrak{g} \coloneqq K v_0 \oplus V は Lie superalgebra
C(V, Q) \simeq U\mathfrak{g} / \langle v_0 - 1_{U\mathfrak{g}} \rangle
PBW から \mathrm{Gr} \, C(V, Q) \simeq \wedge V

(V, Q) は非退化で (V, Q) = (V_0, Q_0) \oplus (V_0, -Q_0) と表せるとする
V_0 の直交基底を取ると、V の直交基底 e_1, \dots, e_n, e_1', \dots, e_n' \in V ができる
W^+ \coloneqq \langle e_1 + e_1', \dots, e_n + e_n' \rangle
W^- \coloneqq \langle e_1 - e_1', \dots, e_n - e_n' \rangle
W^+, W^- は totally isotropic で V = W^+ \oplus W^-
C(V, Q) \overset{c}{\curvearrowright} \wedge W^+ を c(w^+ + w^-) \coloneqq \varepsilon_{w^+} + \iota_{2 w^-} で定めると

C(V, Q) \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{End}}(\wedge W^+)

S: K 上の super skew field (0 でない斉次元が可逆なことをいう) で、purely even でない
S 加群として \Pi S \simeq S
\underline{\mathrm{End}}(K^{p|q}) \otimes S \simeq \underline{\mathrm{End}}_S((S_S)^{p|q}) \simeq \underline{\mathrm{End}}_S((S_S)^{p + q}) \simeq \mathrm{End}(K^{p + q}) \otimes S

D \coloneqq K[\varepsilon] / \langle \varepsilon^2 - 1 \rangle
K は代数閉だとすると、K 上の super skew field は K と D の 2 つのみ

K は代数閉だとする
K^n 上の非退化 2 次形式は一意的なので、それを用いて C_n(K) を定義する
C((V, Q) \oplus (V', Q')) \simeq C(V, Q) \otimes C(V', Q') だから
C_{2m + 2}(K) \simeq \underline{\mathrm{End}}(K^{2^m|2^m})
C_{2m + 1}(K) \simeq \mathrm{End}(K^{2^m}) \otimes D

S: super skew field
A \coloneqq \underline{\mathrm{End}}_S((S_S)^{p|q}) は semisimple super algebra で A 加群として
A \simeq (S^{p|q})^{\oplus p} \oplus (S^{q|p})^{\oplus q}

K は代数閉だとする
C_{2m + 2}(K) の既約加群は 2 つあり、互いに parity を入れ替えた関係にある
C_{2m + 1}(K) の既約加群は 1 つのみ

g \in O_{2m + 2}(\mathbb{C}) は \tilde{g} \in \mathrm{Aut}(C_{2m + 2}(\mathbb{C})) を誘導する
C_{2m + 2}(\mathbb{C}) の既約加群 S を固定する。\Pi S がもう 1 つの既約加群
既約 C_{2m + 2}(\mathbb{C}) 加群 {}_g S を C_{2m + 2}(\mathbb{C}) \xrightarrow{\tilde{g}} C_{2m + 2}(\mathbb{C}) \curvearrowright S で定める
Chirality operator \Gamma \in Z(C_{2m + 2}^+(\mathbb{C})) の作用を考えれば、g \in SO_{2m + 2}(\mathbb{C}) ならば {}_g S \simeq S
これから次が誘導される

SO_{2m + 2}(\mathbb{C}) \to \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(S)^\times / \mathrm{Aut}_{C_{2m + 2}(\mathbb{C})}(S) \simeq \mathrm{End}_{\mathbb{C}}(S)^\times / \mathbb{C}^\times \simeq (C_{2m + 2}^+(\mathbb{C}))^\times / \mathbb{C}^\times

この射は S の取り方に依らない

\begin{aligned} \rho: \mathfrak{so}_{2m + 2}(\mathbb{C}) &\to C_{2m + 2}^+(\mathbb{C}) / \mathbb{C} \\ &\to C_{2m + 2}^+(\mathbb{C}) / Z(C_{2m + 2}^+(\mathbb{C})) \simeq [C_{2m + 2}^+(\mathbb{C}), C_{2m + 2}^+(\mathbb{C})] \subset C_{2m + 2}^+(\mathbb{C}) \end{aligned}

m = 0 なら \rho = 0。m \ge 1 とする

\mathbb{C}^{2m + 2} = \langle e_1, \dots, e_{2m + 2} \rangle
X \coloneqq E_{12} - E_{21} \in \mathfrak{so}_{2m + 2}(\mathbb{C})
W^+ \coloneqq \langle e_1 + i e_2, \dots, e_{2m + 1} + i e_{2m + 2} \rangle \eqqcolon \langle f^+_1, \dots, f^+_{m + 1} \rangle
W^- \coloneqq \langle e_1 - i e_2, \dots, e_{2m + 1} - i e_{2m + 2} \rangle \eqqcolon \langle f^-_1, \dots, f^-_{m + 1} \rangle

c(e^{tX} f^+_k) = \begin{cases} e^{it} \varepsilon_{f^+_1} &(k = 1) \\ \varepsilon_{f^+_k} &(k \ge 2) \end{cases}

c(e^{tX} f^-_k) = \begin{cases} e^{-it} \iota_{2 f^-_1} &(k = 1) \\ \iota_{2 f^-_k} &(k \ge 2) \end{cases}

T_{e^{tX}}: \wedge W^+ \xrightarrow{\sim} \wedge W^+ を

T_{e^{tX}}((f^+)^\beta) \coloneqq \begin{cases} e^{it} (f^+)^\beta &(\beta_1 = 1) \\ (f^+)^\beta &(\beta_1 = 0) \end{cases}

で定めれば

c(\widetilde{e^{tX}} \alpha) = T_{e^{tX}} \circ c(\alpha) \circ T_{e^{tX}}^{-1} \quad (\alpha \in C_{2m + 2}(\mathbb{C}))

\begin{aligned} \left. \frac{d}{dt} \right|_{t = 0} T_{e^{tX}} &= \left( (f^+)^\beta \mapsto \begin{cases} i (f^+)^\beta &(\beta_1 = 1) \\ 0 &(\beta_1 = 0) \end{cases} \right) \\ &= \frac{i}{4} \varepsilon_{f^+_1} \iota_{2 f^-_1} \\ &= \frac{i}{4} c((e_1 + i e_2)(e_1 - i e_2)) \\ &= \frac{1}{2} c(e_1 e_2) + \frac{i}{2} \end{aligned}

\rho(X) = \frac{1}{2} e_1 e_2 (= \frac{1}{4} [e_1 e_3, e_3 e_2]) がわかる。W^\pm を取り替えて議論すれば

\rho(E_{ij} - E_{ji}) = \frac{1}{2} e_i e_j \quad (i \ne j)

C_{2m + 1}(\mathbb{C}) の既約加群を S とする
Z \coloneqq \{ z \in C_{2m + 1}(\mathbb{C}) \mid \alpha z = z \alpha \ (\alpha \in C_{2m + 1}(\mathbb{C})) \} \simeq D
\Gamma \in Z だから

SO_{2m + 1}(\mathbb{C}) \to \mathrm{End}_Z(S)^\times / \mathrm{Aut}_{C_{2m + 1}(\mathbb{C})}(S) \simeq \mathrm{End}_Z(S)^\times / \mathbb{C}^\times \simeq (C_{2m + 1}^+(\mathbb{C}))^\times / \mathbb{C}^\times

\rho: \mathfrak{so}_{2m + 1}(\mathbb{C}) \to C_{2m + 1}^+(\mathbb{C}) / \mathbb{C} \simeq [C_{2m + 1}^+(\mathbb{C}), C_{2m + 1}^+(\mathbb{C})] \subset C_{2m + 1}^+(\mathbb{C})

この \rho に関しても

\rho(E_{ij} - E_{ji}) = \frac{1}{2} e_i e_j \quad (i \ne j)

https://www.math.toronto.edu/mein/teaching/LieClifford/cl2.pdf

https://planetmath.org/quadraticextension

https://users.math.msu.edu/users/ruiterj2/math/Documents/Notes and talks/Infinite Galois Theory.pdf

https://ctnt-summer.math.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/1632/2020/06/CTNT-InfGaloisTheory.pdf

K \subset L: 有限次 Galois 拡大 (正規分離拡大)
\mathrm{Gal}(L / K) \coloneqq \mathrm{Aut}_K(L)
\{ H \subset \mathrm{Gal}(L / K) \} \simeq \{ K \subset M \subset L \}
H \mapsto L^H と M \mapsto \mathrm{Gal}(L / M) で対応する

|H| = [L : L^H] と [L, M] = |\mathrm{Gal}(L / M)| を示せば、位数の比較から従う

L / L^H は有限次分離拡大だから L = L^H[\alpha_1] と表せる
\alpha_1 の L^H 上の最小多項式 f \in L^H[X] は [L : L^H] 次
L / L^H は正規分離拡大だから、相異なる f の根 \alpha_1, \dots, \alpha_{[L : L^H]} \in L が取れる
H \curvearrowright \{ \alpha_1, \dots, \alpha_{[L : L^H]} \} が単純推移的を示せば良い
\alpha_1 の軌道が位数 n ならば、軌道に対応する X - \alpha_i の積を考えると、\alpha_1 を根に持つ n 次の L^H 係数多項式が作れる
f の最小性から、n = [L : L^H] であり、推移性がわかる
単純性は \alpha_1 と L^H が L を生成することからわかる

L / M は有限次分離拡大だから L = M[\beta_1] と表せる
\beta_1 の M 上の最小多項式 g \in M[X] は [L : M] 次
L / M は正規分離拡大だから、相異なる g の根 \beta_1, \dots, \beta_{[L : M]} \in L が取れる
\mathrm{Gal}(L / M) \curvearrowright \{ \beta_1, \dots, \beta_{[L : M]} \} が単純推移的を示せば良い
\varphi_i: L = M[\beta_1] \xrightarrow{\sim} M[\beta_i] = L を考えれば、推移性がわかる
単純性は \beta_1 と M が L を生成することからわかる

G: 群
\{ N_\lambda \}_{\lambda \in \Lambda}: G の正規部分群の族
G に \pi_\lambda: G \to G / N_\lambda \ (\lambda \in \Lambda) が連続になる最弱の位相を入れる。ただし、G / N_\lambda には離散位相を入れる
G は位相群になる
\cap_{i = 1}^n N_{\lambda_i} \ (\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \Lambda) は e \in G の開近傍基になる。e \in g N_\lambda \Rightarrow g \in N_\lambda に注意すればわかる

N_\lambda たちの包含関係を考えれば、\varprojlim G / N_\lambda ができる
\varprojlim G / N_\lambda \subset \prod G / N_\lambda は閉部分集合
位相群の射 \iota: G \to \varprojlim G / N_\lambda がある

\cap_{\lambda \in \Lambda} N_\lambda = \{ e \} ならば G \to \varprojlim G / N_\lambda は単射で、位相的な埋め込みにもなる
開集合 N_{\lambda_0} \subset G の像は \{ (\pi_\lambda(n))_{\lambda \in \Lambda} \in \varprojlim G / N_\lambda \mid n \in N_{\lambda_0} \} = \iota(G) \cap \pi_{\lambda_0}^{-1}(e)

\lambda_1, \lambda_2 \in \Lambda \Rightarrow \exists \lambda \in \Lambda, N_\lambda \subset N_{\lambda_1} \cap N_{\lambda_2} であれば N_\lambda たちは e \in G の開近傍基になる
このとき、S \subset G に対して

g \in \bar{S} \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda, g N_\lambda \cap S \ne \emptyset \Leftrightarrow \forall \lambda \in \Lambda, \pi_\lambda(g) \in \pi_\lambda(S)

K \subset L: Galois 拡大
\mathrm{Gal}(L / K) の正規部分群の族 \{ \mathrm{Gal}(L / M) \mid K \subset M \subset L \text{ で } M / K \text{ は有限次 Galois 拡大} \} \eqqcolon \{ \mathrm{Gal}(L / M) \mid M \in \mathscr{M} \} を考える

\mathrm{Gal}(L / K) / \mathrm{Gal}(L / M) \xrightarrow{\sim} \mathrm{Gal}(M / K)

全射性は Zorn の補題からわかる

\mathrm{Gal}(L / K) \to \varprojlim \mathrm{Gal}(M / K) は全射なことがわかるので、位相群の同型
右辺は有限群の射影極限だから、コンパクト Hausdorff

https://en.wikipedia.org/wiki/Profinite_group

K \subset L: Galois 拡大
\{ H \overset{\text{閉}}{\subset} \mathrm{Gal}(L / K) \} \simeq \{ K \subset M \subset L \}
H \mapsto L^H と M \mapsto \mathrm{Gal}(L / M) で対応する

\sigma \in H \Leftrightarrow \forall N \in \mathscr{M}, \sigma|_N \in H|_N \simeq \mathrm{Gal}(N / N^{H|_N}) \simeq \mathrm{Gal}(N / L^H \cap N) \Leftrightarrow \sigma \in \mathrm{Gal}(L / L^H)

M \subset L^{\mathrm{Gal}(L / M)} は明らか
\alpha \not\in M とすると、\alpha とは異なる \alpha の共役 \alpha' \in L が取れる
L \supset M[\alpha] \xrightarrow{\sim} M[\alpha'] \subset L を Zorn の補題で L \xrightarrow{\sim} L に延長すれば良い

H \overset{\text{閉}}{\subset} \mathrm{Gal}(L / K) は指数有限だとする
[L^H : K] < \infty になる

G \coloneqq \mathrm{Gal}(L / K) とおく
\alpha \in L^H とし、\alpha の K 上の最小多項式を f \in K[X] とする
G \alpha は \alpha の共役たちからなり、位数は \mathrm{deg} f
G \curvearrowright G \alpha は推移的で、\alpha の固定部分群は H を含むから、\mathrm{deg} f = |G \alpha| \le |G / H| がわかる
K \subset N \subset L^H が [N : K] < \infty ならば、[N : K] \le |G / H|。このような N の中で極大なものを考えれば、L^H と一致する

K \subset L^H \subset M \subset L を M / K が有限次 Galois 拡大になるようにとる

\begin{aligned} |\mathrm{Gal}(L / K) / H| &= |\mathrm{Gal}(L / K) / \mathrm{Gal}(L, L^H)| \\ &= \frac{|\mathrm{Gal}(L / K) / \mathrm{Gal}(L, M)|}{|\mathrm{Gal}(L / L^H) / \mathrm{Gal}(L, M)|} \\ &= \frac{|\mathrm{Gal}(M / K)|}{|\mathrm{Gal}(M / L^H)|} \\ &= \frac{[M : K]}{[M : L^H]} \\ &= [L^H : K] \end{aligned}

逆に H \overset{\text{閉}}{\subset} \mathrm{Gal}(L / K) が [L^H : K] < \infty を満たせば、指数有限になることもわかる

同様の議論で、H \overset{\text{閉}}{\subset} \mathrm{Gal}(L / K) に対して

|H| < \infty \Leftrightarrow [L : L^H] < \infty

このとき |H| = [L : L^H]

K: 標数 0 の体
G \coloneqq \mathrm{Gal}(\bar{K} / K)
K^\times / (K^\times)^2 \ni u \mapsto (\varphi_u: G \to \mathrm{Aut}(\{ \pm \sqrt u \}) \simeq \mathbb{Z} / 2) \in \mathrm{Hom}(G, \mathbb{Z} / 2) は群の同型
単射性は容易
\varphi: G \to \mathbb{Z} / 2 とする
\varphi の連続性は仮定している。\varphi が自明でない場合だけ考えれば良い
[\bar{K}^{\mathrm{Ker} \varphi} : K] = |G / \mathrm{Ker} \varphi| = 2
v \in \bar{K}^{\mathrm{Ker} \varphi} で v^2 \in K なものが存在して
\bar{K}^{\mathrm{Ker} \varphi} = K[v]
\mathrm{Ker} \varphi_{v^2} = \mathrm{Gal}(\bar{K} / K[v]) = \mathrm{Gal}(\bar{K} / \bar{K}^{\mathrm{Ker} \varphi}) = \mathrm{Ker} \varphi

(\sigma_i)_{i \in I}: \mathrm{Gal}(L / K) 上の net
\sigma \in \mathrm{Gal}(L / K)
\sigma_i \to \sigma \Leftrightarrow \forall M \in \mathscr{M}, \exists i_0 \in I, i \ge i_0 \Rightarrow \sigma_i|_M = \sigma|_M

https://www.math.columbia.edu/~khovanov/cat2020/notes/9_Morita_theory.pdf

https://alistairsavage.ca/pubs/Islam-MoritaEquivalence.pdf

体 K 上の superalgebra A が central simple algebra (CSA) とは、有限次元で \mathrm{s}Z(A) = K かつ simple なことをいう

https://web.math.ucsb.edu/~ebrahim/wedderburn_artin.pdf

https://ncatlab.org/nlab/show/Wedderburn-Artin+theorem

https://sites.math.washington.edu/~mitchell/Algh/jac.pdf

https://mathstrek.blog/2015/01/09/radical-of-module/

A: superalgebra
J(A)_i \coloneqq \{ x \in A_i \mid \forall M: \text{ 単純 } A \text{ 加群}, xM = 0 \}
定義から、J(A) は両側斉次イデアル

J'(A) を A の極大左斉次イデアルの共通部分と定義する
J'(A) = J(A)
\supset は容易
M を単純 A 加群とする。m \in M に対して、J'(A)m = 0 を示せば良い
m \ne 0 として良い。\varphi_m: A \ni a \mapsto am \in M は全射
\mathrm{Ker} \varphi_m は極大だから、J'(A) \subset \mathrm{Ker} \varphi_m

A が simple かつ left Artin ならば、A は semisimple を示す
J(A) = 0
極小左斉次イデアル I \subset A は直和因子になる。I を含まない極大左斉次イデアルが取れることからわかる
あとは、descending chain condition を使えば良い

https://math.stackexchange.com/questions/1192717/show-the-following-ring-is-semisimple

体 K 上の superalgebra A に対して、以下は同値
(1) CSA である。つまり、有限次元で \mathrm{s}Z(A) = K かつ simple
(2) K 上の有限次元 super division algebra S で \mathrm{s}Z(S) = K なものが存在して、A \simeq M_{p|q}(S) \ (p \ge 1)
(3) A \otimes_K \bar{K} \simeq M_{p|q}(\bar{K}) \text{ または } M_{p|q}(D_{\bar{K}}) \ (p \ge 1)

(1) \Rightarrow (2) は Wedderburn\text{--}Artin からわかる
(2) \Rightarrow (1) は容易
(2) \Rightarrow (3) は S_{\bar{K}} \coloneqq S \otimes_K \bar{K} が単純なことから従う
(3) \Rightarrow (2)
\mathrm{s}Z(A) \otimes_K \bar{K} = \mathrm{s}Z(A_{\bar{K}}) = \bar{K} より \mathrm{s}Z(A) = K だから、A が半単純を示せば良い
\otimes_K \bar{K} を考えれば

A \otimes_K A^\mathrm{op} \xrightarrow{\sim} \underline{\mathrm{End}}_K(A)

極小左斉次イデアル I \subset A を取る

I A = \underline{\mathrm{End}}_K(A) I = A

A = \sum_{b \in A^+} I b + \sum_{b \in A^-} I b だから \Pi I も極小であることから従う

K: 体
K 上の super CSA A, B に対して、A \sim B を K 上の central simple division superalgebra S が存在して、A \simeq M_{p|q}(S) かつ B \simeq M_{p'|q'}(S) と定義する
M_{p|q}(S) の単純加群 V は S^{p|q} または S^{q|p} と同型で、\underline{\mathrm{End}}_{M_{p|q}(S)}(V) \simeq S^\mathrm{op} に注意

\mathrm{sBr}(K) \coloneqq \{ K \text{ 上の super CSA} \} / \sim

はテンソル積で可換群になる

K: 標数 0 の体

\mathrm{sBr}(K) \twoheadrightarrow \mathrm{sBr}(\bar{K}) \simeq \mathbb{Z} / 2

の \mathrm{Ker} を \mathrm{sBr}(K)' とする
K 上の super CSA A は A_{\bar{K}} \simeq M_{p|q}(\bar{K}) だとする
\mathrm{Gal}(\bar{K} / K) \curvearrowright A_{\bar{K}} だから、\mathrm{Gal}(\bar{K} / K) は A_{\bar{K}} の 2 つの既約加群にも作用する

\mathrm{sBr}(K)' \to \mathrm{Hom}(\mathrm{Gal}(\bar{K} / K), \mathbb{Z} / 2) \simeq K^\times / (K^\times)^2

は群の射になる。K^2 上の 2 次形式たちの Clifford algebra を考えれば、全射。\mathrm{Ker} を \mathrm{sBr}(K)'' とする
K 上の central simple division superalgebra S は S_{\bar{K}} \simeq M_{p|q}(\bar{K}) で [S] \in \mathrm{sBr}(K)'' とする
S が purely even を示せば、\mathrm{sBr}(K)'' \simeq \mathrm{Br}(K) がわかる
q \ge 1 と仮定する
S_{\bar{K}} の既約加群 V を固定する。Z(S_{\bar{K}}^+) の V^+, V^- への作用は \bar{K} 倍で

\chi_V \in \mathrm{Hom}_\mathrm{\bar{K}\text{-}alg}(Z(S_{\bar{K}}^+), \bar{K}^2) \simeq \mathrm{Hom}_\mathrm{K\text{-}alg}(Z(S^+), \bar{K}^2)

ができる。\chi_V と \chi_{\Pi V} は異なる。また、q \ge 1 だから \chi_V: Z(S_{\bar{K}}^+) \xrightarrow{\sim} \bar{K}^2
\chi_V は \mathrm{Gal}(\bar{K} / K) 不変だから、\chi_V \in \mathrm{Hom}_\mathrm{K\text{-}alg}(Z(S^+), K^2)
\otimes_K \bar{K} を考えれば、\chi_V: Z(S^+) \xrightarrow{\sim} K^2
S が可除だから、Z(S^+) は体でなければならず、矛盾する

特に

|\mathrm{sBr}(\mathbb{R})| = 2^3 = 8

https://en.wikipedia.org/wiki/Witt_group

K: \mathrm{ch}(K) \ne 2 の体
A: 有限次元 K 代数

\mathrm{Tr}_A: A \ni a \mapsto \mathrm{Tr}_{\mathrm{End}_K(A)}(a \cdot *) \in K

\mathrm{Tr}_A は Lie 代数の射

q_A: A \otimes_K A \in a \otimes b \mapsto \mathrm{Tr}_A(ab) = \mathrm{Tr}_{\mathrm{End}_K(A)}(ab \cdot *) \in K

は対称双線形形式で、A \mapsto q_A は半環準同型
符号を考えれば s(A) \in W(K) が定まる
A \mapsto s(A) も半環準同型

A = M_n(\mathbb{R}) の場合
q_A = ((a_{ij}) \mapsto \sum_{i, j} a_{ij} a_{ji} = \sum_i a_{ii}^2 + 2 \sum_{i < j} a_{ij} a_{ji})
W(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{Z} であり、s(M_n(\mathbb{R})) = n

符号 (p, q) の実内積空間 V_{p, q} に対応する Clifford 代数を C_{p, q}(\mathbb{R}) とおく
C_{p + 1, p + 1}(\mathbb{R}) \simeq M_{2^p|2^p}(\mathbb{R})
C_{p, q}(\mathbb{R})^\mathrm{op} \simeq C_{q, p}(\mathbb{R})

W(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{Z} \in p - q \mapsto [C_{p, q}(\mathbb{R})] \in \mathrm{sBr}(\mathbb{R})

は群準同型

C_{3, 0}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{H} \otimes \mathbb{R}[\varepsilon^0] を示す
ただし \varepsilon^0 は odd で (\varepsilon^0)^2 = -1
C_{3, 0}(\mathbb{R}) \simeq \langle 1, e_1, e_2, e_3, e_2 e_3, e_1 e_3, e_1 e_2, e_1 e_2 e_3 \rangle_\mathbb{R}
\langle 1, e_1 e_2 e_3 \rangle_\mathbb{R} \simeq \mathbb{R}[\varepsilon^0]
\langle 1, e_2 e_3, e_1 e_3, e_1 e_2 \rangle_\mathbb{R} \simeq \mathbb{H}
\langle 1, e_1 e_2 e_3 \rangle_\mathbb{R} と \langle 1, e_2 e_3, e_1 e_3, e_1 e_2 \rangle_\mathbb{R} は可換

C_{4, 0}(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{H} \otimes \mathbb{R}[\varepsilon^0] \otimes \mathbb{R}[\varepsilon] \simeq \mathbb{H} \otimes M_{1|1}(\mathbb{R})
ただし \varepsilon は odd で \varepsilon^2 = 1

\mathrm{Ker}(W(\mathbb{R}) \to \mathrm{sBr}(\mathbb{R})) = 8\mathbb{Z} で \mathrm{sBr}(\mathbb{R})) \simeq \mathbb{Z} / 8

https://math.stackexchange.com/questions/1192717/show-the-following-ring-is-semisimple

https://mathoverflow.net/questions/439882/property-of-simplicity-and-semi-simplicity-under-base-change-of-base-field

https://math.stackexchange.com/questions/845742/simplicity-is-invariant-under-extension-of-scalars

https://ysharifi.wordpress.com/2011/01/29/tensor-product-of-simple-algebras-need-not-be-simple-2/

https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/CFT.pdf

D: division algebra
W \subset D^{\oplus I}
w \in W に対して

\mathrm{supp}(w) \coloneqq \{ i \in I \mid w \text{ の } i \text{ 係数が } \ne 0 \}

\mathrm{Prim}_W \subset W \setminus \{0\} を \mathrm{supp} が極小な元たちのなす部分集合とする
W は \mathrm{Prim}_W で張られる
w \in W \setminus \{0\} とする。ある w_0 \in \mathrm{Prim}_W があって、\mathrm{supp}(w_0) \subset \mathrm{supp}(w)。w から w_0 の適当なスカラー倍を引くと、\mathrm{supp}(w) を小さくできる

W \coloneqq \langle e_1 + 2 e_2, e_3 \rangle \subset \mathbb{R}^3 なら \mathrm{Prim}_W = \mathbb{R} (e_1 + 2 e_2) \sqcup \mathbb{R} e_3

K: 体
D: K central simple division superalgebra
A: K superalgebra
I \subset A \otimes_K D: 両側斉次イデアル
I_A \coloneqq \{ a \in A \mid a \otimes 1 \in I \} は両側斉次イデアルだが

I = I_A \otimes_K D

A = \langle e_\lambda \ (\lambda \in \Lambda) \rangle_K
A \otimes_K D を左からの積で D 加群とみなすと、e_\lambda \otimes 1 \ (\lambda \in \Lambda) は基底
\mathrm{Prim}_I \subset \{ a \otimes x \mid a \in A_i, x \in D_i \} を示せば良い。\mathrm{Prim}_I \subset (I_0 \setminus \{0\}) \sqcup (I_1 \setminus \{0\}) は \mathrm{supp} が極小な元たちのなす部分集合とする
e_{\lambda_1} \otimes x_1 + \cdots + e_{\lambda_n} \otimes x_n \in \mathrm{Prim}_I とする
y \in D に対して * \cdot y と x_1 y x_1^{-1} \cdot * を考えれば

x_i y = x_1 y x_1^{-1} x_i \quad (2 \le i \le n)

x_1^{-1} x_i \in Z(D) \simeq K

K \subset L: 体の有限次分離拡大
A: 有限次元半単純 K 代数
A \otimes_K L は半単純

Wedderburn\text{--}Artin から、A は斜体として良い

A \otimes_K L \simeq A \otimes_{Z(A)} (Z(A) \otimes_K L)

だから、Z(A) \otimes_K L が半単純を示せば良い
L = K[\alpha] とし、f \in K[X] を \alpha の最小多項式とすると
Z(A) \otimes_K L \simeq Z(A) \otimes_K (K[X] / (f)) \simeq Z(A)[X] / (f) \simeq \prod_i Z(A)[X] / (f_i)
ただし、f = f_1 \cdots f_n は Z(A)[X] での既約分解。f は重根を持たないから、f_i は互いに素

https://arxiv.org/abs/1011.1027

Cartan\text{--}Dieudonné の定理の弱い版
K: \mathrm{ch} K \ne 2 の体
(V, Q): 2 次形式付き K 線形空間
T \in O(V, Q) は有限個の鏡映の積で表せる

\mathrm{dim} V \ge 1 として良い。v_0 \in V で Q(v_0) \ne 0 なものを固定する
有限個の鏡映の積 R_{w_1} \cdots R_{w_k} で (R_{w_1} \cdots R_{w_k})(T(v_0)) = v_0 なものを構成すれば、R_{w_1} \cdots R_{w_k} T は v_0 を固定し、\langle v_0 \rangle^\perp を保つから、\mathrm{dim} V に関する帰納法が使える

T(v_0) - v_0 \perp T(v_0) + v_0 であり、T(v_0) - v_0 と T(v_0) + v_0 の両方が isotropic になることはない
Q(T(v_0) - v_0) \ne 0 の場合は、R_{T(v_0) - v_0} を考えれば良い
Q(T(v_0) + v_0) \ne 0 の場合は、R_{v_0} R_{T(v_0) + v_0} を考えれば良い

T が高々 2 \mathrm{dim} V 個の鏡映の積で表せることもわかった

K: \mathrm{ch} K \ne 2 の体
(V, Q): 2 次形式付き K 線形空間

G \coloneqq \{ g \in C(V)^\times \mid (-1)^{p(g)}gVg^{-1} \subset V \}

\pi: G \ni g \mapsto (v \mapsto (-1)^{p(g)}gvg^{-1}) \in O(V) は well defined

Q((-1)^{p(g)}gvg^{-1}) = ((-1)^{p(g)}gvg^{-1})^2 = g Q(v) g^{-1} = Q(v)

isotropic でない w \in V に対して

-wvw^{-1} = (vw - Q(v, w))w^{-1} = v - \frac{Q(v, w)}{Q(w)}w = R_w(v)

だから、Cartan\text{--}Dieudonné の定理から、\pi は全射
\mathrm{s}Z(C(V)) = K だから、\mathrm{Ker}(\pi) = K^\times

1 \to K^\times \to G \to O(V) \to 1

G = \{ \alpha v_1 \cdots v_k \mid \alpha \in K^\times, v_1, \dots, v_k \in V, Q(v_i) = \pm 1 \}

\beta: C(V) \ni v_1 \dots v_k \mapsto v_k \dots v_1 \in C(V) は \beta(xy) = \beta(y)\beta(x) を満たす。符号は付かない
N: G \in g \mapsto g\beta(g) \in K^\times は well defined で群準同型
\mathrm{Pin}(V) \coloneqq \mathrm{Ker} N

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Pin}(V) \to O(V) \to K^\times / (K^\times)^2

最後の射は N に由来する連結準同型。また

\mathrm{Pin}(V) = \{ \pm v_1 \cdots v_k w_1 \cdots w_l \mid l \text{ は偶数で } v_i, w_j \in V, Q(v_i) = 1, Q(w_j) = -1 \}

G^+ \coloneqq G \cap (C(V)^+)^\times

G^+ = \{ \alpha v_1 \cdots v_k \mid k \text{ は偶数で } \alpha \in K^\times, v_1, \dots, v_k \in V, Q(v_i) = \pm 1 \}

1 \to K^\times \to G^+ \to SO(V) \to 1

\mathrm{Spin}(V) \coloneqq \mathrm{Ker}(N|_{G^+})

\mathrm{Spin}(V) = \{ \pm v_1 \cdots v_k w_1 \cdots w_l \mid k, l \text{ は偶数で } v_i, w_j \in V, Q(v_i) = 1, Q(w_j) = -1 \}

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Spin}(V) \to SO(V) \to K^\times / (K^\times)^2

以前 SO_n(\mathbb{C}) \to (C_n^+(\mathbb{C}))^\times / \mathbb{C}^\times を定義した
また \mathrm{Spin}_n(\mathbb{C}) \to (C_n^+(\mathbb{C}))^\times から SO_n(\mathbb{C}) \to (C_n^+(\mathbb{C}))^\times / \{ \pm 1 \} \to (C_n^+(\mathbb{C}))^\times / \mathbb{C}^\times が誘導されるが、これらは一致する
v, w \in V は isotropic でないとする。R_v R_w \in SO_n(\mathbb{C}) に対して一致することを示せば良い
C_n(\mathbb{C}) \curvearrowright S を既約加群 (の 1 つ) とする
C_n(\mathbb{C}) \xrightarrow{\widetilde{R_v R_w}} C_n(\mathbb{C}) \curvearrowright S が C_n(\mathbb{C}) \xrightarrow{c \mapsto (vw)c(vw)^{-1}} C_n(\mathbb{C}) \curvearrowright S と一致することから従う

K = \mathbb{R} or \mathbb{C}
(V, Q): 2 次形式付き K 線形空間

反対称化することで \wedge V \xrightarrow{\sim} C(V) ができる
逆写像は \sigma: C(V) \ni v_1 \cdots v_k \mapsto (\varepsilon_{v_1} + \iota_{v_1}) \cdots (\varepsilon_{v_k} + \iota_{v_k}) 1_{\wedge V} \in \wedge V と一致する

\mathfrak{pin}(V) = \{ c \in C(V) \mid [c, V] \subset V \} = \sigma^{-1}(\wedge^2 V)
直交基底を考えれば、\sigma([v, c]) = -2 \iota_v \sigma(c)

\mathfrak{spin}(V) = \{ c \in C(V)^+ \mid [c, V] \subset V \} = \sigma^{-1}(\wedge^2 V) \simeq \mathfrak{so}(V)
e_1, \dots, e_n \in V を直交基底とする
\frac{1}{2} e_i e_j \in \mathfrak{spin}(V), \frac{1}{2} e_i \wedge e_j \in \wedge^2 V, (v \mapsto Q(v, e_2)e_1 - Q(v, e_1)e_2) \in \mathfrak{so}(V) が対応する

https://physics.stackexchange.com/questions/494260/orthochronous-indefinite-orthogonal-group-om-n-forms-a-group

https://www.math.ucla.edu/~vsv/papers/ch5.pdf

https://www.cis.upenn.edu/~cis6100/cis61005sl6.pdf

Q(v) = \pm 1, Q(w) = \pm 1, Q(v, w) = 0 ならば

\mathrm{exp}(tvw) = \begin{cases} \mathrm{cos}t + \mathrm{sin}t \cdot vw &(Q(v)Q(w) = 1) \\ \mathrm{cosh}t + \mathrm{sinh}t \cdot vw &(Q(v)Q(w) = -1) \end{cases}

\pi_0(O(n)) = \begin{cases} 1 &(n = 0) \\ \mathbb{Z} / 2 &(n \ge 1) \end{cases}
\pi_0(SO(n)) = 1
\pi_1(SO(n)) = \begin{cases} 1 &(n = 0, 1) \\ \mathbb{Z} &(n = 2) \\ \mathbb{Z} / 2 &(n \ge 3) \end{cases}

O_n(\mathbb{C}) の極大コンパクト部分群は O(n)
SO_n(\mathbb{C}) の極大コンパクト部分群は SO(n)
\pi_0(\mathrm{Spin}_n(\mathbb{C})) = \begin{cases} \mathbb{Z} / 2 &(n = 0, 1) \\ 1 &(n \ge 2) \end{cases}
\pi_1(\mathrm{Spin}_n(\mathbb{C})) = \begin{cases} 1 &(n = 0, 1, n \ge 3) \\ \mathbb{Z} &(n = 2) \end{cases}

O_{p, q} の極大コンパクト部分群は O(p) \times O(q)
SO_{p, q} の極大コンパクト部分群は \mathrm{Ker}(O(p) \times O(q) \xrightarrow{\mathrm{det}} \{ \pm 1 \})
O^+_{p, q} \coloneqq \left\{ \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \in O_{p, q} \middle| \mathrm{det}A > 0 \right\} の極大コンパクト部分群は SO(p) \times O(q)
SO^+_{p, q} の極大コンパクト部分群は SO(p) \times SO(q)
\mathrm{Spin}_{p, q} \simeq \mathrm{Spin}_{q, p}
\mathrm{Spin}_{p, q} の極大コンパクト部分群は \mathrm{Spin}(p) \times \mathrm{Spin}(q) / \{ (1, 1), (-1, -1) \}
\pi_0(\mathrm{Spin}(n)) = \begin{cases} \mathbb{Z} / 2 &(n = 0, 1) \\ 1 &(n \ge 2) \end{cases}
\pi_1(\mathrm{Spin}(n)) = \begin{cases} 1 &(n = 0, 1, n \ge 3) \\ \mathbb{Z} &(n = 2) \end{cases}
\pi_0(\mathrm{Spin}_{p, q}) = \begin{cases} \mathbb{Z} / 2 &((p, q) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)) \\ 1 &(\text{その他}) \end{cases}
\pi_1(\mathrm{Spin}_{p, q}) = \begin{cases} 1 &(p = 0, 1, q \ne 2 \text{ or } p \ne 2, q = 0, 1) \\ \mathbb{Z} &((p = 2 \text{ or } q \ne 2), (p, q) \ne (2, 2)) \\ \mathbb{Z}^2 &(p = 2, q = 2) \\ \mathbb{Z} / 2 &(p \ge 3, q \ge 3) \end{cases}

TODO
(A) O^+_{p, q} が群をなすこと
(B) \mathrm{Spin}_{p, q} \simeq \mathrm{Spin}_{q, p}
(C) 極大コンパクト部分群に関してまとめる
(D) \mathrm{Spin}_{p, q} の極大コンパクト部分群
(E) \mathrm{Spin}_{p, q} の \pi_0, \pi_1

(A) O^+_{p, q} が群をなすこと
Cartan 分解

O_{p, q} \simeq O(p) \times O(q) \times \left\{ \begin{pmatrix} 0 & B \\ B^t & 0 \end{pmatrix} \right\}

からわかる

(B) \mathrm{Spin}_{p, q} \simeq \mathrm{Spin}_{q, p}
C_{p, q} \simeq C_{q, p}^\mathrm{op} だから C_{p, q}^+ \simeq (C_{q, p}^+)^\mathrm{op}
\mathrm{Spin}_{p, q} \simeq (\mathrm{Spin}_{q, p})^\mathrm{op} \xrightarrow{g \mapsto g^{-1}} \mathrm{Spin}_{q, p}

(C) 極大コンパクト部分群に関してまとめる

Joachim Hilgert , Karl-Hermann Neeb, Structure and Geometry of Lie Groups

https://www.jstor.org/stable/1969548

V: 実内積空間 or Hermite 内積空間
G \subset \mathrm{GL}(V) は algebraic subgroup で、G^* = G
K \coloneqq G \cap O(V), \mathfrak{p} \coloneqq \mathfrak{g} \cap \{ H \mid H^* = H \}
K \times \mathfrak{p} \xrightarrow{\sim} G で、K は極大コンパクト部分群

G: Lie 群
N \subset G: 閉正規部分群
\pi_0(N), \pi_0(G / N) < \infty とする
部分群 K \subset G に対して
K \subset G が極大コンパクト部分群 \Leftrightarrow K \cap N \subset N と KN / N \subset G / N が極大コンパクト部分群

(D) \mathrm{Spin}_{p, q} の極大コンパクト部分群
\mathrm{Spin}(p) \times \mathrm{Spin}(q) \to \mathrm{Spin}(p) \times \mathrm{Spin}(q)^\mathrm{op} \to \mathrm{Spin}_{p, q} の \mathrm{Ker} は \{ (1, 1), (-1, -1) \}。これは、C_{p, q} 内で C_p(\mathbb{R}) \cap C_q(\mathbb{R})^\mathrm{op} = \mathbb{R} なことからわかる

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Spin}_{p, q} \to SO_{p, q}^+ \to 1

と極大コンパクト部分群の性質から従う

(E) \mathrm{Spin}_{p, q} の \pi_0, \pi_1
まず、以下を示す

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Spin}_{p, q} \to SO_{p, q}^+ \to 1

p = 0 or q = 0 の場合は SO_{p, q}^+ \simeq SO_{p, q} で

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Spin}_{p, q} \to SO_{p, q} \to 1

p, q \ge 1 の場合は

1 \to \{ \pm 1 \} \to \mathrm{Spin}_{p, q} \to SO_{p, q} \to \mathbb{Z} / 2 \to 1

ファイバー束のホモトピー長完全列から

1 \to \pi_1(\mathrm{Spin}_{p, q}) \to \pi_1(SO_{p, q}^+) \ (\simeq \pi_1(SO(p)) \times \pi_1(SO(q))) \to \mathbb{Z} / 2 \to \pi_0(\mathrm{Spin}_{p, q}) \to 1

「標準的な」\pi_1(SO(n)) \to \mathbb{Z} / 2 があるが、この射を用いると中央の射は

\pi_1(SO(p)) \times \pi_1(SO(q)) \to \mathbb{Z} / 2 \times \mathbb{Z} / 2 \xrightarrow{+} \mathbb{Z} / 2

に一致する

\mathrm{Spin}(n) は \mathbb{C} 代数 C^+_n(\mathbb{C}) を生成する
C^+_n(\mathbb{C}) の既約加群は \mathrm{Spin}(n) の \mathbb{C} 上の既約表現になることがわかる

S を C_{2m + 2}(\mathbb{C}) の既約加群とすると (\Pi S は C_{2m + 2}(\mathbb{C}) のもう 1 つの既約加群)
S^\pm は C^+_{2m + 2}(\mathbb{C}) の 2 つの既約加群

S を C_{2m + 1}(\mathbb{C}) の既約加群とすると
S^\pm は C^+_{2m + 1}(\mathbb{C}) 加群として同型で、C^+_{2m + 1}(\mathbb{C}) の唯一の既約加群

https://math.stackexchange.com/questions/2814568/what-is-the-order-of-the-weyl-group

既約表現 \pi^\pm: \mathrm{Spin}(n) \curvearrowright S^{\pm} の weight を求めたい

n = 2m \ (m \ge 1) の場合

\mathfrak{t} = \langle e_1 e_2, \dots, e_{2m - 1} e_{2m} \rangle \eqqcolon \langle h_1, \dots, h_m \rangle
R = \{ \alpha_{kl\varepsilon\eta} \coloneqq 2i (\varepsilon h_k^* + \eta h_l^*) \mid k < l, \varepsilon, \eta \in \{ \pm 1 \} \}
\mathfrak{g}_{\alpha_{kl\varepsilon\eta}} = \langle e_{2k - 1} e_{2l - 1} + i\eta e_{2k - 1} e_{2l} + i\varepsilon e_{2k} e_{2l - 1} - \varepsilon\eta e_{2k} e_{2l} \rangle
\langle h_i, h_j \rangle = -4(m - 1) \delta_{ij}
\langle h_i^*, h_j^* \rangle = -\frac{1}{4(m - 1)} \delta_{ij}
\check{\alpha_{kl\varepsilon\eta}} = -\frac{i}{2} (\varepsilon h_k + \eta h_l)
-i(m h_1 + (m - 1) h_2 + \cdots + h_m) > 0 で正ルート系を決めれば
R^+ = \{ \alpha_{kl+\eta} \mid k < l, \eta \in \{ \pm 1 \} \}

\Gamma = \{ \pi (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 + \cdots + n_m \in 2\mathbb{Z} \}

ここからは m \ge 2 とする

S = \{ \alpha_{12+-}, \cdots, \alpha_{m-1,m+-}, \alpha_{m-1,m++} \}
S_{\alpha_{12+-}} = h_1^* \text{ と } h_2^* \text{ を交換する}
S_{\alpha_{m-1,m++}} = h_{m - 1}^* \text{ と } h_m^* \text{ のみを } -1 \text{ 倍する}
1 \to (\mathbb{Z} / 2)^{m - 1} \to W \to \mathfrak{S}_m \to 1
この完全列は右分裂する

\check{Q} = \{ \frac{i}{2} (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 + \cdots + n_m \in 2\mathbb{Z} \}
確かに \pi_1(\mathrm{Spin}(2m)) \simeq \Gamma / 2\pi i \check{Q} = 1

P = \{ i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_i - n_j \in 2\mathbb{Z} \}
P^+ = \{ i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_i - n_j \in 2\mathbb{Z}, n_1 \ge \cdots n_{m - 1} \ge |n_m| \}

C_{2m}(\mathbb{C}) \overset{c}{\curvearrowright} \wedge W^+ \simeq S
c(e_1 e_2) = \frac{i}{4} c(f^+_1f^-_1 - f^-_1f^+_1) = \frac{i}{4} (\varepsilon_{f^+_1}\iota_{2 f^-_1} - \iota_{2 f^-_1}\varepsilon_{f^+_1}) = \left( (f^+)^\beta \mapsto \begin{cases} i (f^+)^\beta &(\beta_1 = 1) \\ -i (f^+)^\beta &(\beta_1 = 0) \end{cases} \right)
S の指標は
T \ni e^{t_1 h_1 + \cdots + t_m h_m} \mapsto (e^{i t_1} + e^{-i t_1}) \cdots (e^{i t_m} + e^{-i t_m}) \in \mathbb{C}
e^{i t_*} の出現回数の偶奇で分けると \pi^+, \pi^- の指標になる
\pi^+ の最高 weight は i(\overbrace{1, \dots, 1}^m)
\pi^- の最高 weight は i(\overbrace{1, \dots, 1}^{m - 1}, -1)

\mathfrak{g} を SO(2m) の Lie algebra と思うと
\Gamma' = \{ \pi (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z} \} \supset \Gamma
P' = \{ 2i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z} \} \subset P
(P^+)' = \{ 2i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 \ge \cdots n_{m - 1} \ge |n_m| \} \subset P^+

n = 2m + 1 \ (m \ge 1) の場合

\mathfrak{t} = \langle e_1 e_2, \dots, e_{2m - 1} e_{2m} \rangle \eqqcolon \langle h_1, \dots, h_m \rangle
R = \{ \alpha_{kl\varepsilon\eta} \coloneqq 2i (\varepsilon h_k^* + \eta h_l^*) \mid k < l, \varepsilon, \eta \in \{ \pm 1 \} \} \sqcup \{ \alpha_{k\varepsilon} \coloneqq 2i\varepsilon h_k^* \mid \varepsilon \in \{ \pm 1 \} \}
\mathfrak{g}_{\alpha_{kl\varepsilon\eta}} = \langle e_{2k - 1} e_{2l - 1} + i\eta e_{2k - 1} e_{2l} + i\varepsilon e_{2k} e_{2l - 1} - \varepsilon\eta e_{2k} e_{2l} \rangle
\mathfrak{g}_{\alpha_{k\varepsilon}} = \langle e_{2k - 1} e_{2m + 1} + i\varepsilon e_{2k} e_{2m + 1} \rangle
\langle h_i, h_j \rangle = -4m \delta_{ij}
\langle h_i^*, h_j^* \rangle = -\frac{1}{4m} \delta_{ij}
\check{\alpha_{kl\varepsilon\eta}} = -\frac{i}{2} (\varepsilon h_k + \eta h_l)
\check{\alpha_{k\varepsilon}} = -i \varepsilon h_k
-i(m h_1 + (m - 1) h_2 + \cdots + h_m) > 0 で正ルート系を決めれば
R^+ = \{ \alpha_{kl+\eta} \mid k < l, \eta \in \{ \pm 1 \} \} \sqcup \{ \alpha_{k+} \}
S = \{ \alpha_{12+-}, \cdots, \alpha_{m-1,m+-}, \alpha_{m+} \}
S_{\alpha_{12+-}} = h_1^* \text{ と } h_2^* \text{ を交換する}
S_{\alpha_{m+}} = h_m^* \text{ のみを } -1 \text{ 倍する}
1 \to (\mathbb{Z} / 2)^m \to W \to \mathfrak{S}_m \to 1
この完全列は右分裂する

\Gamma = \{ \pi (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 + \cdots + n_m \in 2\mathbb{Z} \}

\check{Q} = \{ \frac{i}{2} (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 + \cdots + n_m \in 2\mathbb{Z} \}
確かに \pi_1(\mathrm{Spin}(2m)) \simeq \Gamma / 2\pi i \check{Q} = 1

P = \{ i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_i - n_j \in 2\mathbb{Z} \}
P^+ = \{ i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_i - n_j \in 2\mathbb{Z}, n_1 \ge \cdots n_{m - 1} \ge n_m \ge 0 \}

C_{2m}(\mathbb{C}) \overset{c}{\curvearrowright} \wedge W^+
C_{2m + 1}(\mathbb{C}) \curvearrowright \wedge W^+ \otimes \mathbb{C}[e_{2m + 1}] \simeq S
c(e_1 e_2) = \frac{i}{4} c(f^+_1f^-_1 - f^-_1f^+_1) = \frac{i}{4} (\varepsilon_{f^+_1}\iota_{2 f^-_1} - \iota_{2 f^-_1}\varepsilon_{f^+_1}) = \left( (f^+)^\beta \mapsto \begin{cases} i (f^+)^\beta &(\beta_1 = 1) \\ -i (f^+)^\beta &(\beta_1 = 0) \end{cases} \right)
S の指標は
T \ni e^{t_1 h_1 + \cdots + t_m h_m} \mapsto 2(e^{i t_1} + e^{-i t_1}) \cdots (e^{i t_m} + e^{-i t_m}) \in \mathbb{C}
\pi^\pm の指標はいずれもこれの半分になる
\pi^\pm の最高 weight は i(\overbrace{1, \dots, 1}^m)

\mathfrak{g} を SO(2m + 1) の Lie algebra と思うと
\Gamma' = \{ \pi (n_1 h_1 + \cdots + n_m h_m) \mid n_i \in \mathbb{Z} \} \supset \Gamma
P' = \{ 2i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z} \} \subset P
(P^+)' = \{ 2i(n_1 h_1^* + \cdots + n_m h_m^*) \mid n_i \in \mathbb{Z}, n_1 \ge \cdots n_{m - 1} \ge n_m \ge 0 \} \subset P^+

A: \mathbb{C} central simple superalgebra
\beta: A \to A は superspace の射で
\beta(ab) = \beta(b)\beta(a)
符号は付かない
\beta^2 = 1

(A_1, \beta), (B, \beta)
\beta(a \otimes b) \coloneqq (-1)^{p(a)p(b)} \beta(a) \otimes \beta(b)

\alpha: A \ni a \mapsto (-1)^{p(a)} a \in A
は superalgebra の射

\gamma: A \to A^\mathrm{op}
\gamma^2 = \alpha

(A_1, \gamma), (B, \gamma)
\gamma(a \otimes b) \coloneqq \gamma(a) \otimes \gamma(b)

\beta と \gamma は
\gamma(a) = \begin{cases} a &(p(a) = 0) \\ ia &(p(a) = 1) \end{cases}
で対応する

S: superspace over \mathbb{C}
\langle *, * \rangle \in \underline{\mathrm{Hom}}_\mathbb{C}(A \otimes A, \mathbb{C})
は対称または反対称とする
非退化もいる気がする
対称なら s = 0、反対称なら s = 1 とおく
\underline{\mathrm{End}}_\mathbb{C}(S) は次の \beta を持つ
\langle \beta(A)a, b \rangle \coloneqq \langle a, Ab \rangle