math #2

X \coloneqq \mathbb{R}^n
\mathcal{F} \coloneqq C^\infty(\mathbb{R}, X)
x(t) \in \mathcal{F} に対して T_x\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(\mathbb{R}, x^*TX)
L \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, T^*\mathbb{R}) を

L \coloneqq \frac{m}{2} |\dot{x}|^2 dt

で定める
x \in C^\infty(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, X)
\dot{x} = \frac{\partial}{\partial t} x \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, x^*TX) \simeq C^\infty(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}^n)
\delta L \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, T^*\mathcal{F} \otimes T^*\mathbb{R}) を計算する

\delta L = m \langle \dot{x}, \delta \dot{x} \rangle dt = m \langle \dot{x}, \frac{\partial}{\partial t}(\delta x) \rangle dt = m (\frac{\partial}{\partial t} \langle \dot{x}, \delta x \rangle - \langle \ddot{x}, \delta x \rangle) dt

\delta x \in \Omega^1(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, x^*TX) \simeq \Omega^1(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}^n)
\int_{t_0}^{t_1} L \in C^\infty(\mathcal{F}) は

\begin{aligned} \delta \int_{t_0}^{t_1} L &= - \int_{t_0}^{t_1} \delta L \\ &= m \int_{t_0}^{t_1} dt (\frac{\partial}{\partial t} \langle \dot{x}, \delta x \rangle - \langle \ddot{x}, \delta x \rangle) \\ &= m [\langle \dot{x}(t), \delta x(t) \rangle]_{t_0}^{t_1} - m \int_{t_0}^{t_1} dt \langle \ddot{x}(t), \delta x(t) \rangle \end{aligned}

\mathcal{M} \coloneqq \{ x \in \mathcal{F} \mid \ddot{x} = 0 \} \simeq \{ x_0 + (t - t_0) v_0 \mid (x_0, v_0) \in TX \}
\gamma(t) \coloneqq m \langle \dot{x}(t), \delta x(t) \rangle \in \Omega^1(\mathcal{F}) とおくと

\delta \int_{t_0}^{t_1} L = \gamma(t_1) - \gamma(t_0) \quad \text{on } \mathcal{M}

TODO
(A) 主束の接続とその曲率
(B) \mathcal{M} 上の接続付き自明 \mathbb{R} 主束たちについて
(C) \mathcal{M} \simeq TX を使って書き下す

(A)
\pi: P \to M: G 主束
P 上の G 同変ベクトル束の完全列

0 \to VP \simeq P \times \mathfrak{g} \to TP \to \pi^*TM \to 0

がある
左分裂 \omega \in \Omega^1(P, \mathfrak{g})^G を接続という
左分裂なので \omega(X_P) \equiv X \ (X \in \mathfrak{g})
P 上の接続全体には \Omega^1(M, P \times_G \mathfrak{g}) が単純推移的に作用する

\Omega \coloneqq d\omega + \frac{1}{2}[\omega, \omega] \in \Omega^2(P, \mathfrak{g})^G

\Omega \in \Gamma(P, \wedge^2 H^*P \otimes \mathfrak{g})^G \simeq \Omega^2(M, P \times_G \mathfrak{g}) になる

\Omega(\tilde{X}, \tilde{Y}) = -[\tilde{X}, \tilde{Y}] \text{ の } VP \text{ 成分 } = \widetilde{[X, Y]} - [\tilde{X}, \tilde{Y}] \quad (X, Y \in \Gamma(M, TM))

P = M \times \mathbb{R} の場合
\omega = d\theta + \gamma \quad (\gamma \in \Omega^1(M))
\Omega = d\gamma
\tilde{X} = X - \gamma(X) d\theta \quad (X \in \Gamma(M, TM))

f \in C^\infty(M)
P' \coloneqq P
P \ni (x, \theta) \mapsto (x, \theta + f(x)) \in P' は \mathbb{R} 主束の同型
P 上の接続 d\theta + \gamma は P' 上で

d(\theta - f) + \gamma = d\theta + (\gamma - df)

に対応する

(B)
dt + \gamma(t)|_\mathcal{M} は自明 \mathbb{R} 主束 \mathcal{M} \times \mathbb{R} 上の接続
これらの接続は -\int_{t_0}^{t_1} L の \mathcal{M} への制限によって同型
この系の射影極限を考えれば、t に依らない \mathcal{M} 上の接続付き自明 \mathbb{R} 主束ができる
曲率は \omega(t) \coloneqq d\gamma = m \langle \delta \dot{x}(t), \delta x(t) \rangle \in \Omega^2(\mathcal{F}) の \mathcal{M} への制限で、t に依らない

(C)
\mathcal{M} \simeq \{ x_0 + (t - t_0) v_0 \mid (x_0, v_0) \in TX \} を考えれば \mathcal{M} 上
\gamma(t) = m \langle v_0, dx_0 + (t - t_0) dv_0 \rangle
\omega(t) = m \langle dv_0, dx_0 \rangle
\int L = \frac{m}{2} |v_0|^2 \int dt

X: Riemann 多様体
\mathcal{F} \coloneqq C^\infty(\mathbb{R}, X)
V \in C^\infty(X)

L \coloneqq (\frac{1}{2}|\dot{x}|^2 - V(x)) dt \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, T^*\mathbb{R})

\begin{aligned} \delta L &= (g(\dot{x}, \nabla \frac{\partial}{\partial t} x) - \langle x^{*_b}dV, \delta x \rangle) dt \\ &= (g(\dot{x}, \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \delta x) - \langle x^{*_b}dV, \delta x \rangle) dt \\ &= (\frac{\partial}{\partial t} g(\dot{x}, \delta x) - g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x}, \delta x) - \langle x^{*_b}dV, \delta x \rangle) dt \\ &= (\frac{\partial}{\partial t} g(\dot{x}, \delta x) - g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x} + x^*\mathrm{grad}V, \delta x)) dt \end{aligned}

ただし x^{*_b}dV \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, x^*(T^*X))

\begin{aligned} \delta \int_{t_0}^{t_1} L &= - \int_{t_0}^{t_1} \delta L \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt (\frac{\partial}{\partial t} g(\dot{x}, \delta x) - g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x} + x^*\mathrm{grad}V, \delta x)) \\ &= [g(\dot{x}(t), \delta x(t))]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} dt g(\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x}(t) + x(t)^*\mathrm{grad}V, \delta x(t)) \end{aligned}

\mathcal{M} \coloneqq \{ x \in \mathcal{F} \mid \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x} + x^*\mathrm{grad}V = 0 \}
\mathcal{M} は局所的に TX と同型
\gamma(t) \coloneqq g(\dot{x}(t), \delta x(t)) \in \Omega^1(\mathcal{F}) を考えれば、t に依らない \mathcal{M} 上の接続付き自明 \mathbb{R} 主束ができる

X: Riemann 多様体
P \to X \times \mathbb{R}: 接続付き自明 \mathbb{R} 主束
P の自明化を固定すると、接続は \omega_P = d\theta + \alpha \ (\alpha \in \Omega^1(X \times \mathbb{R})) と表せる
\mathcal{F} \coloneqq C^\infty(\mathbb{R}, X)
\tilde{x} \coloneqq (x, t): \mathcal{F} \times \mathbb{R} \to X \times \mathbb{R}

L \coloneqq \frac{m}{2} |\dot{x}|^2 dt - q \tilde{x}^*\alpha \in \Omega^1(\mathcal{F} \times \mathbb{R})

\alpha = V dt + A \ (V \in C^\infty(X \times \mathbb{R}), A \in \Gamma(X \times \mathbb{R}, T^*X)) と分解すると

\begin{aligned} \delta \int_{t_0}^{t_1} L &= \delta \int_{t_0}^{t_1} dt (\frac{m}{2} |\dot{x}|^2 - q \tilde{x}^*V - q \langle \tilde{x}^{*_b}A, \dot{x} \rangle) \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \delta (\frac{m}{2} |\dot{x}|^2 - q \tilde{x}^*V - q \langle \tilde{x}^{*_b}A, \dot{x} \rangle) \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \{ \frac{\partial}{\partial t} (m g(\dot{x}, \delta x) - q \langle \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle) \\ &\qquad - g(m \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x} + q \tilde{x}^*\mathrm{grad}_XV - q (\iota_{\dot{x}} \tilde{x}^{*_b} dA)^\sharp, \delta x) \} \\ &= [m g(\dot{x}(t), \delta x(t)) - q \langle \tilde{x}(t)^{*_b}A, \delta x(t) \rangle]_{t_0}^{t_1} \\ &\qquad - \int_{t_0}^{t_1} dt g(m \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x}(t) + q \tilde{x}(t)^*(\mathrm{grad}_XV - \frac{\partial}{\partial t} A^\sharp) - q (\iota_{\dot{x}(t)} \tilde{x}(t)^{*_b} d_X A)^\sharp, \delta x(t)) \end{aligned}

\begin{aligned} \delta \langle \tilde{x}^{*_b}A, \dot{x} \rangle &= \langle \nabla \tilde{x}^{*_b}A, \dot{x} \rangle + \langle \tilde{x}^{*_b}A, \nabla \dot{x} \rangle \\ &= \langle \tilde{x}^{*_b} \nabla A, \delta x \otimes \dot{x} \rangle + (\frac{\partial}{\partial t} \langle \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle - \langle \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle) \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \langle \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle + \langle \tilde{x}^{*_b} \nabla A, \delta x \otimes \dot{x} - \dot{x} \otimes \delta x \rangle \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \langle \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle + \langle \tilde{x}^{*_b} dA, \delta x \wedge \dot{x} \rangle \\ &= \frac{\partial}{\partial t} \langle \tilde{x}^{*_b}A, \delta x \rangle - \langle \iota_{\dot{x}} \tilde{x}^{*_b} dA, \delta x \rangle \end{aligned}

https://en.wikipedia.org/wiki/Musical_isomorphism

https://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/em/el4.pdf

https://physics.stackexchange.com/questions/416048/confusion-on-maxwells-equations-and-gauge-transformations

自明化使わずに計算できると嬉しいな〜

https://en.wikipedia.org/wiki/Curl_(mathematics)

X は向き付けられた 3 次元 Riemann 多様体とする

\mathrm{rot}: \Gamma(TX) \simeq \Omega^1(X) \xrightarrow{d} \Omega^2(X) \xrightarrow{*} \Omega^1(X) \simeq \Gamma(TX)

X = \mathbb{R}^3 ならば \mathrm{rot} (A_x \partial_x + A_y \partial_y + A_z \partial_z) = (\partial \times A)_x \partial_x + (\partial \times A)_y \partial_y + (\partial \times A)_z \partial_z
また、外積 \times: \Gamma(TX) \times \Gamma(TX) \to \Gamma(TX) がある

(\iota_{\dot{x}(t)} \tilde{x}(t)^{*_b} d_X A)^\sharp = \tilde{x}(t)^* \mathrm{rot}_X(A^\sharp) \times \dot{x}(t)

\gamma(t) = m g(\dot{x}(t), \delta x(t)) - q \langle \tilde{x}(t)^{*_b}A, \delta x(t) \rangle

-q d\theta + \gamma(t) = m g(\dot{x}(t), \delta x(t)) - q \tilde{x}(t)^*\omega_P \in \Omega^1(\tilde{x}(t)^*P)

は P の自明化に依らず、P が自明でなくても定義できる
\mathbb{R} 主束 -q\tilde{x}(t)^*P (\tilde{x}(t)^*P に \mathbb{R} 作用を元の -\frac{1}{q} 倍で入れたもの。-qp +' t \coloneqq -q(p + (-\frac{1}{q}t))) は -q d\theta + \gamma(t) を接続にもつ

\begin{aligned} &m \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x}(t) + q \tilde{x}(t)^*(\mathrm{grad}_XV - \frac{\partial}{\partial t} A^\sharp) - q (\iota_{\dot{x}(t)} \tilde{x}(t)^{*_b} d_X A)^\sharp \\ &\qquad = m \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x}(t) - q (i_t^* \iota_{\dot{x}} \tilde{x}^{*_b} d\omega_P)^\sharp \in \Gamma(\mathcal{F}, x(t)^*TX) \end{aligned}

は P の自明化に依らず、P が自明でなくても定義できる
ただし i_t: \mathcal{F} \to \mathcal{F} \times \mathbb{R}

\mathcal{M} \coloneqq \{ x \in \mathcal{F} \mid m \nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} \dot{x} + q \tilde{x}^*(\mathrm{grad}_XV - \frac{\partial}{\partial t} A^\sharp) - q (\iota_{\dot{x}} \tilde{x}^{*_b} d_X A)^\sharp = 0 \}
\mathcal{M} は局所的に TX と同型

X: 多様体
P \to X \times \mathbb{R}: 接続付き \mathbb{R} 主束
平行移動で \tau_{t_1, t_0}: P_{t_0} \xrightarrow{\sim} P_{t_1} が定義できる
P の (局所) 自明化を取り、\omega_P = d\theta + \alpha \ (\alpha \in \Omega^1(X \times \mathbb{R})) と表せば

\tau_{t_1, t_0} = * - \int_{t_0}^{t_1} \omega_P = * - \int_{t_0}^{t_1} dt V

ただし、\alpha = V dt + A \ (V \in C^\infty(X \times \mathbb{R}), A \in \Gamma(X \times \mathbb{R}, T^*X))

(局所) 自明化の取り替えで \theta' = \theta + f \ (f \in C^\infty(X \times \mathbb{R})) になったとする
\alpha' = \alpha - df
V' = V - \frac{\partial f}{\partial t}
\tau_{t_1, t_0}(x, \theta') = (x, \theta' - \int_{t_0}^{t_1} dt V'(x, t)) = (x, \theta' - f(x, t_0) - \int_{t_0}^{t_1} dt V(x, t) + f(x, t_1))

- \int_{t_0}^{t_1} L は -q\tilde{x}(t_0)^*P \xrightarrow{\sim} -q\tilde{x}(t_1)^*P を定める
この同型は P の自明化に依らず、P が自明でなくても定義できる

射影極限を考えれば、t に依らない \mathcal{M} 上の接続付き \mathbb{R} 主束ができる

X: Minkowski 空間
\mathrm{Aut}(X) \simeq O(1, n - 1) \ltimes \mathbb{R}^n
X の原点を固定して、座標 (x^0 = ct, x^1, \dots, x^{n - 1}) を入れる
X 上の計量は

(dx^0)^2 - (dx^1)^2 - \cdots - (dx^{n - 1})^2 = c^2(dt)^2 - (dx^1)^2 - \cdots - (dx^{n - 1})^2

\mathcal{F} \coloneqq \{ x(\tau): \mathbb{R} \to X \mid \langle \frac{dx}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau} \rangle \ge 0, \frac{dt}{d\tau} > 0 \}
L \in \Gamma(\mathcal{F} \times \mathbb{R}, T^*\mathbb{R}) を

L \coloneqq - m_0 c \left\langle \frac{dx}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau} \right\rangle^\frac{1}{2} d\tau

で定める
v \in T_x X に対して

\begin{aligned} &v \text{ is timelike } &\Leftrightarrow \langle v, v \rangle > 0 \\ &v \text{ is lightlike } &\Leftrightarrow \langle v, v \rangle = 0 \\ &v \text{ is spacelike } &\Leftrightarrow \langle v, v \rangle < 0 \end{aligned}

H_0, H_1 を (空でない) 連結閉な timelike 超曲面 (0 でない接ベクトルが timelike) とする
\mathcal{F} の元は H_0 と 1 点で交わり、\tau_0: \mathcal{F} \to \mathbb{R} が構成できる
同様に \tau_1: \mathcal{F} \to \mathbb{R} も構成できる

https://physics.stackexchange.com/questions/727883/can-the-addition-of-two-spacelike-vectors-ever-null

https://physics.stackexchange.com/questions/428088/what-is-a-spacelike-surface-in-relativity

H_0 の相異なる 2 点の差は spacelike
H_0 \times \mathbb{R} \ni (y, x_0) \mapsto y + (x_0, 0, \dots, 0) \in X は local diffeo かつ単射かつ proper。よって、全射でもある

\int_{\tau_0}^{\tau_1} L \in C^\infty(\mathcal{F} \times \mathbb{R})

\delta \int_{\tau_0}^{\tau_1} L = - m_0 c \left( \frac{\langle \dot{x}(\tau_1), \delta x(\tau_1) \rangle}{\langle \dot{x}(\tau_1), \dot{x}(\tau_1) \rangle^\frac{1}{2}} - \frac{\langle \dot{x}(\tau_0), \delta x(\tau_0) \rangle}{\langle \dot{x}(\tau_0), \dot{x}(\tau_0) \rangle^\frac{1}{2}} \right) + m_0 c \int_{\tau_0}^{\tau_1} d\tau \frac{\langle \ddot{x}(\tau), \delta x(\tau) \rangle}{\langle \dot{x}(\tau), \dot{x}(\tau) \rangle^\frac{1}{2}}

\gamma[H] \coloneqq - m_0 c \frac{\langle \dot{x}(\tau_H), \delta x(\tau_H) \rangle}{\langle \dot{x}(\tau_H), \dot{x}(\tau_H) \rangle^\frac{1}{2}}
\mathcal{M} \coloneqq \{ x \in \mathcal{F} \mid \ddot{x} = 0 \}
H に依らない \mathcal{M} 上の接続付き自明 \mathbb{R} 主束ができる

T \to M: 接続付き \mathbb{R} 主束
曲率 \omega \in \Omega^2(M) は非退化だとする

この系の同型は diffeo \varphi: T \xrightarrow{\sim} T で
(1) \mathbb{R} 作用を保つ
(2) \omega_T を保つ

この系の無限小の同型は \xi \in \Gamma(T, TT) で
(1) \mathbb{R} 作用を保つ
(2) L_\xi \omega_T = 0

\xi の VT 成分を考えると Q \in C^\infty(M) ができる
(2) を Cartan's homotopy formula で変形すると

dQ = \iota_\xi \omega

\xi \mapsto Q は単射なことがわかる

https://ncatlab.org/nlab/show/variational+bicomplex

https://ncatlab.org/nlab/files/AndersonVariationalBicomplex.pdf

https://www-users.cse.umn.edu/~olver/di_/contact.pdf

https://softbank.iust.ac.ir/MathBooks/T/Thompson - The Variational Bicomplex.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=oUagwAW3wUQ

https://www.youtube.com/watch?v=G7W8gt1eXy4&t=1283s

https://www.jstor.org/stable/2374195

Joseph Krasil'shchik, Alexandre Vinogradov et al. (eds.) Symmetries and Conservation Laws for Differential Equations of Mathematical Physics, AMS 1999

E \to M: ファイバー束

\mathrm{Jet}^k E \to \mathrm{Jet}^{k - 1} E には VE \to E, S^k(T^*M) \to M の \mathrm{Jet}^{k - 1} E 上でのテンソル積 VE \otimes S^k(T^*M) \to \mathrm{Jet}^{k - 1} E がファイバーごとに単純推移的に作用する

\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(M, E)
e_k: \mathcal{F} \times M \to \mathrm{Jet}^k E

\Omega_\mathrm{loc}(\mathcal{F} \times M) \coloneqq \bigcup_k e_k^*\Omega(\mathrm{Jet}^k E)

M \subset \mathbb{R}^m, F \subset \mathbb{R}^f で E = M \times F と書けるとする
\mathrm{Jet}^k E = M \times F \times \prod_{\alpha \in \mathbb{Z}_{\ge 0}^m, 1 \le |\alpha| \le k} \mathbb{R}^f = \{ (x, y_0, y_\alpha) \}
\Omega^1(\mathrm{Jet}^k E) の元は f_i, g_{\alpha j} \in C^\infty(\mathrm{Jet}^k E) を用いて

\sum_{1 \le i \le m} f_i dx_i + \sum_{\substack{0 \le |\alpha| \le k \\ 1 \le j \le f}} g_{\alpha j} dy_{\alpha j}

と表せる
e_k で \mathcal{F} \times M = \{ (\varphi, x) \} 上に引き戻すと

\sum_{1 \le i \le m} f_i(x, \partial^\alpha \varphi(x)) dx_i + \sum_{\substack{0 \le |\alpha| \le k \\ 1 \le j \le f}} g_{\alpha j}(x, \partial^\alpha \varphi(x)) \delta \partial^\alpha \tilde{\varphi}^j

\delta \partial^\alpha \tilde{\varphi}^j = d_M \partial^\alpha \varphi^j(x) + \delta \partial^\alpha \varphi^j(x) に注意

https://ncatlab.org/nlab/show/differential+operator

D: \Gamma(M, E) \to C^\infty(M) を微分作用素とすると、\delta D \tilde{\varphi} = d_M D \varphi(x) + \delta D \varphi(x) \in \Omega_\mathrm{loc}^1(\mathcal{F} \times M)

\Omega_\mathrm{loc}^{*, *}(\mathcal{F} \times M) を調べたい

v_0 \in \mathrm{Jet}^k E
x_0 \coloneqq \pi(v_0) \in M
\omega_{v_0} \in T^*_{v_0}(\mathrm{Jet}^k E) が contact とは、germ s_{x_0} \in \Gamma(-, E)_{x_0} で、誘導される germ \tilde{s}_{x_0} \in \Gamma(-, \mathrm{Jet}^k E)_{x_0} が \tilde{s}_{x_0}(x_0) = v_0 を満たすものに対して

\tilde{s}_{x_0}^*\omega_{v_0} = 0

が成り立つことをいう

v_0 = (x^i_0, y^{\alpha, j}_0)
\omega_{v_0} = \sum_i p_i dx^i|_{v_0} + \sum_{|\alpha| \le k, j} q_{\alpha, j} dy^{\alpha, j}|_{v_0} が contact になる条件は

\begin{aligned} &\forall s \in C^\infty(M, F)_{x_0}, (\partial^\alpha s(x_0) = y^\alpha_0 \ (|\alpha| \le k)) \Rightarrow \sum_i p_i dx^i|_{x_0} + \sum_{|\alpha| \le k, j} q_{\alpha, j} d(\partial^\alpha s^j)|_{x_0} = 0 \\ &\Leftrightarrow q_{\alpha, j} = 0 \ (|\alpha| = k) \text{ かつ } \forall i, p_i + \sum_{|\alpha| \le k - 1, j} q_{\alpha, j} y^{\alpha + e_i, j}_0 = 0 \end{aligned}

q_{\alpha, j} \ (|\alpha| \le k - 1, j) を決めるごとに p_i を調整すれば良いから、v_0 での contact cotangent vector たちは dy^{\alpha, j}|_{v_0} - \sum_i y^{\alpha + e_i, j}_0 dx^i|_{v_0} (|\alpha| \le k - 1, j) を基底に持つ
特に contact cotangent bundle は dy^{\alpha, j} - \sum_i y^{\alpha + e_i, j} dx^i (|\alpha| \le k - 1, j) を local frame に持つ
この local frame の e_k: \mathcal{F} \times M \to \mathrm{Jet}^k E による引き戻しは \delta \partial^\alpha \varphi^j(x)

v_0 \in \mathrm{Jet}^k E
x_0 \coloneqq \pi(v_0) \in M
X_{v_0} \in T_{v_0}(\mathrm{Jet}^k E) が Cartan とは、germ s_{x_0} \in \Gamma(-, E)_{x_0} で、誘導される germ \tilde{s}_{x_0} \in \Gamma(-, \mathrm{Jet}^k E)_{x_0} が \tilde{s}_{x_0}(x_0) = v_0 を満たすものが存在して

X_{v_0} \in {\tilde{s}_{x_0}}_*(T_{x_0}M)

が成り立つことをいう

定義から、Cartan tangent vector たちの零化空間が contact cotangent vector たちで、contact cotangent vector たちの共通零点が Cartan tangent vector たち

Cartan tangent bundle の local frame は \frac{\partial}{\partial x_i} + \sum_{|\alpha| \le k - 1, j} y^{\alpha + e_i, j} \frac{\partial}{\partial y^{\alpha, j}} (1 \le i \le m), \frac{\partial}{\partial y^{\alpha, j}} (|\alpha| = k, j)

\pi_k: \mathrm{Jet}^k E \to M
\pi_{k, l}: \mathrm{Jet}^k E \to \mathrm{Jet}^l E \quad (k \ge l)

部分束 C^{*, k}, \pi_k^* T^*M \subset T^*(\mathrm{Jet}^k E) を contact 部分と水平部分とする

\begin{aligned} C^{*, k} &= \langle \theta^{\alpha, j} \coloneqq dy^{\alpha, j} - \sum_i y^{\alpha + e_i, j} dx^i \ (|\alpha| \le k - 1, j) \rangle \\ \pi_k^* T^*M &= \langle dx^i \rangle \end{aligned}

\varinjlim_k \Omega(\mathrm{Jet}^k E) \simeq \varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, \wedge (C^{*, k} \oplus \pi_k^* T^*M)) 上の作用素 d は d = d_V + d_H と分解する (d_V は contact 部分)

\begin{aligned} (d_V + d_H) dx^i &= 0 + 0 \\ (d_V + d_H) \theta^{\alpha, j} &= 0 - \sum_i \theta^{\alpha + e_i, j} dx^i \end{aligned}

\varinjlim_k e_k^* で引き戻せば、二重複体 \Omega_\mathrm{loc}^{*, *}(\mathcal{F} \times M) ができる

複体 (\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, {C^{*, k}}^{\otimes p} \otimes \wedge T^*M), \tilde{d_H}) を考える

(\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, {C^{*, k}}^{\otimes p} \otimes \wedge T^*M), \tilde{d_H}) \xtofrom[\text{対称化}]{} (\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, \wedge^p C^{*, k} \otimes \wedge T^*M), d_H)

C^{*, k + 1} / \pi_{k + 1, k}^* C^{*, k} \simeq \pi_{k + 1}^* S^k(TM) \otimes \pi_{k + 1, 0}^* V^*E
|\alpha| = k, j に対して \theta^{\alpha, j} と (\frac{\partial}{\partial x})^\alpha \otimes dy^j が対応する

\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, {C^{*, k}}^{\otimes p} \otimes \wedge T^*M) に
F_N \coloneqq \varinjlim_k \bigcup_{n_1 + \cdots + n_p \le N} \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, C^{*, n_1 + 1} \otimes \cdots \otimes C^{*, n_p + 1} \otimes \wedge T^*M) で filtration を入れると
F_N / F_{N - 1} = \varinjlim_k \bigoplus_{n_1 + \cdots + n_p = N} \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, S^{n_1}(TM) \otimes \cdots \otimes S^{n_p}(TM) \otimes V^*E \otimes \wedge T^*M)
\tilde{d_H}(F_N) \subset F_{N + 1}
\varinjlim_k C^\infty(\mathrm{Jet}^k E) 加群の射 \tilde{d_H}: F_N / F_{N - 1} \to F_{N + 1} / F_N が誘導されるが

d_H(s_1 \otimes \cdots \otimes s_p \otimes \sigma \otimes \omega) = - \sum_{i, 1 \le l \le p} s_1 \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x^i} s_l \otimes \cdots \otimes s_p \otimes \sigma \otimes dx^i \wedge \omega

V: n 次元 \mathbb{R} 線形空間
C^q \coloneqq SV^{\otimes p} \otimes \wedge^q V^* は

d(s_1 \otimes \cdots \otimes s_p \otimes \omega) \coloneqq \sum_{\substack{1 \le i \le n \\ 1 \le l \le p}} s_1 \otimes \cdots \otimes e_i s_l \otimes \cdots \otimes s_p \otimes e_i^* \wedge \omega

によって複体になる。コホモロジーは q = n 以外消える

p = 1 の場合、h(s \otimes \omega) \coloneqq \sum_i \partial_{e_i^*} s \otimes \iota_{e_i} \omega とおくと

(dh + hd)(s \otimes \omega) = (\mathrm{deg}s - \mathrm{deg}\omega + n)(s \otimes \omega)

だから

H^q(C^*) = \begin{cases} 0 &(q \ne 0) \\ \wedge^n V^* &(q = n) \end{cases}

p が一般の場合
SV^{\otimes p} \simeq S(V^{\oplus p}) を考えると 1 \otimes \cdots \otimes \overset{l}{v} \otimes \cdots \otimes 1 と (0, \dots, \overset{l}{v}, \dots, 0) が対応するから

d(t \otimes \omega) = \sum_i (\overbrace{e_i, \dots, e_i}^p) t \otimes e_i^* \wedge \omega

\Delta: V \xhookrightarrow{\text{diagonal}} V^{\oplus p} の補空間を固定すれば、p = 1 の場合と同じ議論ができて

H^q(C^*) = \begin{cases} 0 &(q \ne 0) \\ (S(V^{\oplus p}) / \langle \Delta(V) \rangle) \otimes \wedge^n V^* \simeq S(\mathbb{R}^{(p - 1)n}) \otimes \wedge^n V^* &(q = n) \end{cases}

あとは、逆にたどる

まず、F_N^q \coloneqq \varinjlim_k \bigcup_{n_1 + \cdots + n_p \le N} \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, C^{*, n_1 + 1} \otimes \cdots \otimes C^{*, n_p + 1} \otimes \wedge T^q M) とすると (F_N^q / F_{N - 1}^q, \tilde{d_H}) のコホモロジーは q = m 以外で消える。\tilde{d_H}(F_N^q) \subset F_{N + 1}^{q + 1} に注意

(\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, {C^{*, k}}^{\otimes p} \otimes \wedge T^*M), \tilde{d_H}) のコホモロジーも q = m 以外で消える

反対称化を考えれば、(\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, \wedge^p C^{*, k} \otimes \wedge T^*M), d_H) のコホモロジーも q = m 以外で消える

最後に、\Omega_\mathrm{loc}^{p, *}(\mathcal{F} \times M) のコホモロジーも q = m 以外で消えることがわかる

(\varinjlim_k \Gamma(\mathrm{Jet}^k E, \wedge C^{*, k} \otimes \wedge^q T^*M), d_V) も気になるけど、保留

https://ncatlab.org/nlab/files/ZuckermanVariation.pdf

https://arxiv.org/pdf/2103.03037

Applications of Lie groups to differential equations, Graduate Texts in Mathematics 107, Springer (1986, 1993)

M: 多様体
\mathbb{Z} / 2 主束 \mathfrak{o}_M を向き付けとする

\Omega^{|-p|}_M \coloneqq \Omega^{n - p}_M \otimes \mathfrak{o}_M

E \to M: fiber bundle
\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(M, E)
L \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M)

具体例は X を Riemann 多様体として、E = X \times \mathbb{R}, \mathcal{F} = C^\infty(\mathbb{R}, X), L = \frac{1}{2} |\dot{x}|^2 dt

\delta L = \langle \dot{x}, \delta \dot{x} \rangle dt = (\frac{\partial}{\partial t} \langle \dot{x}, \delta x \rangle - \langle \ddot{x}, \delta x \rangle) dt = - d \langle \dot{x}, \delta x \rangle - \langle \ddot{x}, \delta x \rangle dt

\delta は \mathcal{F} 上、d は M 上、D = \delta + d は \mathcal{F} \times M 上の外微分を表す

\Omega_\mathrm{loc}^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) \xrightarrow{\underline{D}} \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) を

\underline{D}L = - \langle \ddot{x}, \delta x \rangle dt

となるように定義したい

\Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) の元は局所的に

\sum_{j, \alpha} f_{j, \alpha}(x, \partial^\cdot \varphi(x)) \delta \partial^\alpha \varphi^j dx^1 \cdots dx^n

と表示できる。\alpha = f(x, \partial^\cdot \varphi(x)) \delta \partial^{i_1} \cdots \partial^{i_k} \varphi^j dx^1 \cdots dx^n を部分積分すると

\begin{aligned} \alpha &= (-1)^{i_1} d(f \delta \partial^{i_2} \cdots \partial^{i_k} \varphi^j dx^1 \cdots \check{dx^{i_1}} \cdots dx^n) - \partial^{i_1} f \delta \partial^{i_2} \cdots \partial^{i_k} \varphi^j dx^1 \cdots dx^n \\ &\cdots \\ &= d(\sum_{l = 1}^k (-1)^{i_l + l - 1} \partial^{i_1} \cdots \partial^{i_{l - 1}} f \delta \partial^{i_{l + 1}} \cdots \partial^{i_k} \varphi^j dx^1 \cdots \check{dx^{i_l}} \cdots dx^n) + (-1)^k \partial^{i_1} \cdots \partial^{i_k} f \delta \varphi^j dx^1 \cdots dx^n \end{aligned}

I: \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) \to \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) を

I(\alpha) \coloneqq (-1)^k \partial^{i_1} \cdots \partial^{i_k} f \delta \varphi^j dx^1 \cdots dx^n

で定義する。I^2 = I だから
\begin{aligned} \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) &= \mathrm{Im} I \oplus \mathrm{Ker} I \\ &= \{ \text{linear over functions} \} \oplus d \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-1|}(\mathcal{F} \times M) \end{aligned}

ただし、\beta \in \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) が linear over functions とは

\langle \beta, f \xi \rangle = f \langle \beta, \xi \rangle \quad (\xi \in T\mathcal{F}, f \in C^\infty(M))

が成り立つことをいう。つまり、局所的に

\beta = \sum_j g_j(x, \partial^\cdot \varphi(x)) \delta \varphi^j dx^1 \cdots dx^n

と表示できるということ

\underline{D} \coloneqq I \circ \delta

\Omega_\mathrm{loc}^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) \xrightarrow{\underline{D}} \Omega_\mathrm{loc}^{1, |0|}(\mathcal{F} \times M) の核と像に関しては保留

\underline{D} L = \delta L + d \gamma

となる \gamma \in \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-1|}(\mathcal{F} \times M) は適当に固定する

具体例は \gamma = \langle \dot{x}, \delta x \rangle

逆に \mathcal{L} = L + \gamma \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) \oplus \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-1|}(\mathcal{F} \times M) で

(D \mathcal{L})^{1, |0|} = \delta L + d \gamma

が linear over functions なものが与えられたとする。I を作用させると

(D \mathcal{L})^{1, |0|} = \underline{D} L

\mathcal{M} \coloneqq \{ \varphi \in \mathcal{F} \mid \underline{D} L(\varphi) \equiv 0 \}

ただし、\underline{D} L(\varphi) \in \Omega^{|0|}(M, T^*_\varphi \mathcal{F})

\omega \coloneqq \delta \gamma \in \Omega_\mathrm{loc}^{2, |-1|}(\mathcal{F} \times M)

L \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) がオーダー 1、つまり

L = f(x, \varphi(x), \partial^i \varphi(x)) dx^1 \cdots dx^n

と表せるとする

\gamma \in \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-1|}(\mathcal{F} \times M) に linear over functions を課すと、一意的に \gamma が定まる

\gamma = \sum_{i, j} (-1)^{i - 1} \frac{\partial f}{\partial(\partial^i y^j)} \delta \varphi^j dx^1 \cdots \check{dx^i} \cdots dx^n

M = \mathbb{R} \times N で、E \to M は \mathbb{R} 同変束だとする

\Omega_t \coloneqq \int_{\{t\} \times N} \omega \in \Omega^2(\mathcal{M})

D \omega = 0 \ \text{on} \ \mathcal{M} \times M だから

\frac{\partial \Omega_t}{\partial t} = \int_{\{t\} \times N} \frac{\partial \omega}{\partial t} = \int_{\{t\} \times N} d_N \iota_{\partial t} \omega = 0

\delta \Omega_t = (-1)^{\mathrm{dim} N} \int_{\{t\} \times N} \delta \omega = 0

\Omega_t は t に依らない閉形式 \Omega \in \Omega^2(\mathcal{M}) を定める

j \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |-1|}(\mathcal{F} \times M) を current という。j が conserved とは

dj = 0 \ \text{on} \ \mathcal{M} \times M

が成り立つことをいう

Q_t \coloneqq \int_{\{t\} \times N} j \in C^\infty(\mathcal{M})

j が conserved ならば、Q_t は t に依らない Q \in C^\infty(\mathcal{M}) を定める

U \subset N とし、j = dt \wedge j_1 + j_2 と分解する

q_t \coloneqq \int_{\{t\} \times U} j = \int_{\{t\} \times U} j_2 \in C^\infty(\mathcal{M})

は

\frac{\partial q_t}{\partial t} = \int_{\{t\} \times \partial U} j_1

を満たす

dt + \int_{\{t\} \times N} \gamma は自明 \mathbb{R} 主束 \mathcal{M} \times \mathbb{R} 上の接続
これらの接続は - \int_{[t_0, t_1] \times N} L の \mathcal{M} への制限によって同型
この系の射影極限を考えれば、t に依らない \mathcal{M} 上の接続付き自明 \mathbb{R} 主束ができる。曲率は \Omega \in \Omega^2(\mathcal{M})

\Gamma(\mathrm{Jet}^k E, \pi_{k, 0}^*VE) \xhookrightarrow{i_k} \Gamma(\mathcal{F}, T\mathcal{F}) がある

\Gamma_\mathrm{loc}(\mathcal{F}, T\mathcal{F}) \coloneqq \bigcup_k \mathrm{Im} i_k

局所的に

\varphi \mapsto \sum_j f_j(x, \partial^\cdot \varphi(x)) \partial y^j

と表示できるということ

\hat{\xi} \in \Gamma_\mathrm{loc}(T\mathcal{F}) と \alpha_{\hat{\xi}} \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |-1|}(\mathcal{F} \times M) の組が

\hat{\xi} L = d \alpha_{\hat{\xi}}

を満たす時、generalized infinitesimal symmetry という。\alpha_{\hat{\xi}} = 0 の時、\hat{\xi} を L の manifest symmetry という。さらに \mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma = 0 の時、\mathcal{L} = L + \gamma の manifest symmetry という

\hat{\xi} \in \Gamma_\mathrm{loc}(T\mathcal{F}), \alpha_{\hat{\xi}} \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |-1|}(\mathcal{F} \times M) を generalized infinitesimal symmetry とする

j_{\hat{\xi}} \coloneqq \langle \hat{\xi}, \gamma \rangle - \alpha_{\hat{\xi}} \in \Omega_\mathrm{loc}^{0, |-1|}(\mathcal{F} \times M)

とおくと

d j_{\hat{\xi}} = - \langle \hat{\xi}, d \gamma \rangle - d \alpha_{\hat{\xi}} = - \langle \hat{\xi}, d \gamma + \delta L \rangle = 0 \ \text{on} \ \mathcal{M} \times M

j_{\hat{\xi}} は conserved current

\delta j_{\hat{\xi}} を記述することを考える

\delta j_{\hat{\xi}} = \delta \iota_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} = \mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \iota_{\hat{\xi}} \delta \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} = - \iota_{\hat{\xi}} \omega + (\mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}})

\mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} \in \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-1|}(\mathcal{F} \times M) が \mathcal{M} \times M 上 d-closed なことを示す。すると、\mathcal{M} \times M 上 d-exact なことがわかるから、\beta_{\hat{\xi}} \in \Omega_\mathrm{loc}^{1, |-2|}(\mathcal{F} \times M) が存在して

\begin{aligned} \mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} &= d \beta_{\hat{\xi}} &\ \text{on} \ \mathcal{M} \times M \\ \delta j_{\hat{\xi}} &= - \iota_{\hat{\xi}} \omega + d \beta_{\hat{\xi}} &\ \text{on} \ \mathcal{M} \times M \end{aligned}

\mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} が \mathcal{M} \times M 上 d-closed なことは

\begin{aligned} d(\mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}}) &= \mathcal{L}_{\hat{\xi}} d \gamma + \delta d \alpha_{\hat{\xi}} \\ &= \mathcal{L}_{\hat{\xi}} d \gamma + \delta \mathcal{L}_{\hat{\xi}} L \\ &= \mathcal{L}_{\hat{\xi}}(d \gamma + \delta L) = 0 \ \text{on} \ \mathcal{M} \times M \end{aligned}

Generalized infinitesimal symmetry たちは

[(\xi_1, \alpha_1), (\xi_2, \alpha_2)] \coloneqq ([\xi_1, \xi_2], \xi_1 \alpha_2 - \xi_2 \alpha_1)

によって Lie 代数になる

\mathcal{F} \coloneqq C^\infty(\mathbb{R}, \mathbb{R}^r)

L \coloneqq \left\{ \frac{1}{2} |\dot{x}|^2 - \frac{1}{2} |x|^2 \right\} dt

\delta L = (\langle \dot{x}, \delta \dot{x} \rangle - \langle x, \delta x \rangle) dt = - d \langle \dot{x}, \delta x \rangle - \langle \ddot{x} + x, \delta x \rangle dt
\underline{D} L = - \langle \ddot{x} + x, \delta x \rangle dt
\gamma = \langle \dot{x}, \delta x \rangle
運動方程式は \ddot{x} = -x

A \in M_r(\mathbb{R}) は反対称、B \in M_r(\mathbb{R}) は対称とする
x \mapsto \langle A x + B \dot{x}, \partial x \rangle \in \Gamma(\mathbb{R}, x^*TX) が定めるベクトル場を \hat{\xi} \in \Gamma_\mathrm{loc}(T\mathcal{F}) とする

\hat{\xi} L = (\langle \dot{x}, A \dot{x} + B \ddot{x} \rangle - \langle x, A x + B \dot{x} \rangle) dt = (\langle \dot{x}, B \ddot{x} \rangle - \langle x, B \dot{x} \rangle) dt = d(\frac{1}{2} \langle \dot{x}, B \dot{x} \rangle - \frac{1}{2} \langle x, B x \rangle)
\alpha_{\hat{\xi}} \coloneqq \frac{1}{2} \langle \dot{x}, B \dot{x} \rangle - \frac{1}{2} \langle x, B x \rangle
とおけば、(\hat{\xi}, \alpha_{\hat{\xi}}) は generalized infinitesimal symmetry

j_{\hat{\xi}} = \langle \dot{x}, A x \rangle + \frac{1}{2} \langle \dot{x}, B \dot{x} \rangle + \frac{1}{2} \langle x, B x \rangle
x(t) = \cos t \cdot p + \sin t \cdot v \in \mathcal{M} では
j_{\hat{\xi}} = \langle v, Ap \rangle + \frac{1}{2} \langle p, Bp \rangle + \frac{1}{2} \langle v, Bv \rangle

\begin{aligned} \mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} &= \langle \xi \dot{x}, \delta x \rangle + \langle \dot{x}, \delta (\xi x) \rangle - \delta \alpha_{\hat{\xi}} \\ &= \langle A \dot{x} + B \ddot{x}, \delta x \rangle + \langle \dot{x}, \delta (A x + B \dot{x}) \rangle - \langle \delta \dot{x}, B \dot{x} \rangle + \langle \delta x, B x \rangle \\ &= 0 \ \text{on} \ \mathcal{M} \times \mathbb{R} \end{aligned}
\beta_{\hat{\xi}} = 0 と取れることがわかる

\begin{aligned} &\left[ \begin{pmatrix} \hat{\xi}_{AB} \\ \alpha_{AB} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \hat{\xi}_{A'B'} \\ \alpha_{A'B'} \end{pmatrix} \right] \\ &= \begin{pmatrix} x \mapsto \langle [A', A] x + ([A', B] + [B', A]) \dot{x} + [B', B] \ddot{x}, \partial x \rangle \\ \frac{1}{2} \langle \dot{x}, ([A', B] + [B', A]) \dot{x} \rangle - \frac{1}{2} \langle x, ([A', B] + [B', A]) x \rangle - \langle \ddot{x} + x, [B', B] \dot{x} \rangle \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \hat{\xi}_{[A', A] - [B', B], [A', B] + [B', A]} \\ \alpha_{[A', A] - [B', B], [A', B] + [B', A]} \end{pmatrix} \ \text{on} \ \mathcal{M} \times \mathbb{R} \end{aligned}

Lie 代数 \{ (\hat{\xi}_{AB}, \alpha_{AB}) \} は \mathcal{M} \times \mathbb{R} 上

(\hat{\xi}_{AB}, \alpha_{AB}) \mapsto - A - Bi

によって \mathfrak{u}(r) と同型

\zeta \coloneqq (x \mapsto - \langle \dot{x}, \partial x \rangle) + \partial_t \in \Gamma_\mathrm{loc}(T\mathcal{F}) \oplus \Gamma(T\mathbb{R}) とする

\begin{aligned} \zeta L &= 0 \\ \mathcal{L}_{\zeta} \gamma &= 0 \end{aligned}

だから、\zeta は \mathcal{L} の manifest symmetry。(x \mapsto - \langle \dot{x}, \partial x \rangle, - \langle \partial_t, L \rangle) は generalized infinitesimal symmetry だから
j_\zeta = - \frac{1}{2} |\dot{x}|^2 - \frac{1}{2} |x|^2

M \coloneqq (\mathbb{R}^2, dx_0^2 - dx_1^2)
\mathcal{F} \coloneqq C^\infty(M, \mathbb{R})

L \coloneqq \frac{1}{2} |d\varphi|^2 dx_0 \wedge dx_1 = \frac{1}{2} \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} dx_0 \wedge dx_1

\delta L = \{ \partial_0 \varphi \delta \partial_0 \varphi - \partial_1 \varphi \delta \partial_1 \varphi \} dx_0 \wedge dx_1 = - d(\partial_0 \varphi \delta \varphi dx_1 + \partial_1 \varphi \delta \varphi dx_0) - \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} \delta \varphi dx_0 \wedge dx_1

\underline{D} L = - \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} \delta \varphi dx_0 \wedge dx_1
\gamma = \partial_0 \varphi \delta \varphi dx_1 + \partial_1 \varphi \delta \varphi dx_0

\hat{\xi} \coloneqq (\varphi \mapsto - (\partial_0 \varphi) \partial y) の \alpha_{\hat{\xi}}, \beta_{\hat{\xi}} を計算する

\hat{\xi} L = - \frac{1}{2} \partial_0 \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} dx_0 \wedge dx_1 = d \left( - \frac{1}{2} \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} dx_1 \right)

\alpha_{\hat{\xi}} = - \frac{1}{2} \{ (\partial_0 \varphi)^2 - (\partial_1 \varphi)^2 \} dx_1

\begin{aligned} \mathcal{L}_{\hat{\xi}} \gamma - \delta \alpha_{\hat{\xi}} &= - \partial_0^2 \varphi \delta \varphi dx_1 - \partial_0 \partial_1 \varphi \delta \varphi dx_0 - \partial_0 \varphi \delta \partial_0 \varphi dx_1 - \partial_1 \varphi \delta \partial_0 \varphi dx_0 - \delta \alpha_{\hat{\xi}} \\ &= - \partial_0^2 \varphi \delta \varphi dx_1 - \partial_0 \partial_1 \varphi \delta \varphi dx_0 - \partial_1 \varphi \delta \partial_1 \varphi dx_1 - \partial_1 \varphi \delta \partial_0 \varphi dx_0 \\ &= d(\partial_1 \varphi \delta \varphi) \ \text{on} \ \mathcal{M} \times M \end{aligned}

\beta_{\hat{\xi}} = \partial_1 \varphi \delta \varphi と取れる

j_{\hat{\xi}} = - \frac{1}{2} \{ (\partial_0 \varphi)^2 + (\partial_1 \varphi)^2 \} dx_1 - \partial_1 \varphi \partial_0 \varphi dx_0

M \coloneqq (\mathbb{R}^n, dx_0^2 - dx_1^2 - \cdots - dx_{n - 1}^2)

定義から \alpha, \beta \in \Omega^1(M)

\langle \alpha, \beta \rangle dx_0 \wedge \cdots \wedge dx_{n - 1} = \alpha \wedge * \beta

*(dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}) = (-1)^{\#\{ l \mid x_{k_l} \ge 1 \}} \varepsilon dx_0 \wedge \cdots \check{dx_{i_1}} \cdots \check{dx_{i_k}} \cdots \wedge dx_{n - 1} \quad (\varepsilon \in \{ \pm 1 \})

(-1)^{\#\{ l \mid x_{k_l} \ge 1 \}} は計量の符号に由来する。\varepsilon は dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} \wedge dx_0 \wedge \cdots \check{dx_{i_1}} \cdots \check{dx_{i_k}} \cdots \wedge dx_{n - 1} = \varepsilon dx_0 \wedge \cdots \wedge dx_{n - 1} で定義する

f \in C^\infty(M)

\begin{aligned} d * df &= d * (\sum_{\mu = 0}^{n - 1} \partial_\mu f dx_\mu) \\ &= d (\partial_0 f dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n - 1} - \sum_{i = 1}^{n - 1} (-1)^i \partial_i f dx_0 \wedge \cdots \check{dx_i} \cdots \wedge dx_{n - 1}) \\ &= (\partial_0^2 - \sum_i \partial_i^2) f dx_0 \wedge \cdots \wedge dx_{n - 1} \end{aligned}

実スカラー場では \mathcal{F} \coloneqq C^\infty(M, \mathbb{R})

L \coloneqq \left\{ \frac{1}{2} |d\varphi|^2 - \frac{m^2}{2} \varphi^2 \right\} |d^n x|

\begin{aligned} \delta L &= - \langle d \delta \varphi, d \varphi \rangle |d^n x| - m^2 \varphi \delta \varphi |d^n x| \\ &= - d \delta \varphi \wedge * d \varphi - m^2 \varphi \delta \varphi |d^n x| \\ &= - d (\delta \varphi \wedge * d \varphi) - \delta \varphi \wedge d * d \varphi - m^2 \varphi \delta \varphi |d^n x| \end{aligned}

\underline{D} L = - \delta \varphi (d * d \varphi + m^2 \varphi |d^n x|)

\gamma = \delta \varphi \wedge * d \varphi

TODO
(1) エネルギーモーメントテンソル
(2) ゲージ対称性とネーターカレント
(3) 複素スカラー場
(4) スピノル場
(5) \mathbb{T} のゲージ場
(6) \mathbb{R}_{>0} のゲージ場
(7) \mathcal{G}_P, \mathbf{P}
(8) Pure Yang\text{--}Mills 理論
(9) 電磁気のチャージ

M: 多様体

\mathrm{met}(TM): U \mapsto \{ TM|_U \ \text{上の Lorentz 計量} \}
この層はファイバー束になる。\mathrm{met}(T^*M) も同様に定義する

\mathrm{met}(TM) \xrightarrow[g \mapsto \check{g}]{\sim} \mathrm{met}(T^*M)

E \to \mathrm{met}(T^*M): ファイバー束

\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(M, E)
L \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M)
\mathrm{Met}(T^*M) \coloneqq \Gamma(M, \mathrm{met}(T^*M))

\mathcal{F} \to \mathrm{Met}(T^*M) がある

\check{g} \in \mathrm{Met}(T^*M) とする

\mathcal{F} \to \mathrm{Met}(T^*M) の \check{g} での fiber を \mathcal{F}_{\check{g}} とおく

\check{g}: M \to \mathrm{met}(T^*M) だが、E_{\check{g}} \coloneqq \check{g}^*(E \to \mathrm{met}(T^*M)) とおくと

\mathcal{F}_{\check{g}} = \Gamma(M, E_{\check{g}})

制限によって L_{\check{g}} \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F}_{\check{g}} \times M) が誘導される

\underline{D} L \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M, T^* \mathcal{F}) の \mathcal{F}_{\check{g}} \times M への制限は \underline{D} L_{\check{g}}

\varphi \in \mathcal{F_{\check{g}}} は \underline{D} L_{\check{g}}(\varphi) = 0 を満たすとする

0 \to T_\varphi \mathcal{F}_{\check{g}} \to T_\varphi \mathcal{F} \to T_{\check{g}} \mathrm{Met}(T^*M) \to 0

0 \to T^*_{\check{g}} \mathrm{Met}(T^*M) \to T^*_\varphi \mathcal{F} \to T^*_\varphi \mathcal{F}_{\check{g}} \to 0

0 \to \Omega^{|0|}(M, T^*_{\check{g}} \mathrm{Met}(T^*M)) \to \Omega^{|0|}(M, T^*_\varphi \mathcal{F}) \to \Omega^{|0|}(M, T^*_\varphi \mathcal{F}_{\check{g}}) \to 0

\underline{D} L(\varphi) \mapsto \underline{D} L_{\check{g}}(\varphi) = 0 だから \underline{D} L(\varphi) \in \Omega^{|0|}(M, T^*_\varphi \mathcal{F}) は \Omega^{|0|}(M, T^*_{\check{g}} \mathrm{Met}(T^*M)) \simeq \Omega^{|0|}(M, S^2 T^*M) の元と思える。これを T_\varphi で表す

T \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M, (\mathcal{F} \to \mathrm{Met}(T^*M))^* T^* \mathrm{Met}(T^*M)) \simeq \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M, S^2 T^*M) で

T(\varphi) = T_\varphi \qquad (\varphi \in \mathcal{F_{\check{g}}}, \underline{D} L_{\check{g}}(\varphi) = 0)

を満たすものが存在することがある

https://fse.studenttheses.ub.rug.nl/10888/1/Math_BSc_2013_RKlein.pdf

https://math.stackexchange.com/questions/1306376/calculate-the-cohomology-group-of-un-by-spectral-sequence

https://arxiv.org/pdf/0905.0731

https://ncatlab.org/nlab/show/topological+quantum+field+theory

https://math.berkeley.edu/~teleman/math/barclect.pdf

https://math.berkeley.edu/~kwray/papers/thesis.pdf

https://web.ma.utexas.edu/users/dafr/OldTQFTLectures.pdf

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/roeindex.pdf

https://upennig.weebly.com/uploads/7/4/0/3/74037187/2d-tqft.pdf

https://arxiv.org/pdf/math/0504555

https://math.stackexchange.com/questions/3928100/k-theory-proof-of-index-theorem-some-minor-confusion

https://nigel.higson.ca/uploads/1/2/1/4/121496570/higson_-1993-_on_the_k-theory_proof_of_the_index_theorem.pdf

https://thiele.ruc.dk/~booss/A-S-Index-Book/Draft/main.pdf

https://nigel.higson.ca/uploads/1/2/1/4/121496570/higson_-1993-_on_the_k-theory_proof_of_the_index_theorem.pdf のまとめ

K(X) 加群の射 \mathrm{Ind}_X: K(X \times T^*M) \to K(X) で以下を満たすものを構成する
(1) X に関して自然
(2) \mathrm{Ind}_{\mathrm{pt}}(\sigma_D) = \mathrm{Index}(D)
(3) \mathrm{Ind}_M(\lambda_M) = 1_{K(M)}

あとは \mathrm{ch}: K(Y) \otimes \mathbb{R} \xrightarrow{\sim} H^{\mathrm{ev}}(Y) を用いて書き直すと、指数定理

\mathrm{Index}(D) = (-1)^{\mathrm{dim} M} \int_{T^*M} \mathrm{ch}(\sigma_D) \smile \mathrm{Todd}(TM \otimes \mathbb{C})

が得られる

\mathrm{Ind}_X を構成する。まず、擬微分作用素を用いて

T^\omega: C_0(T^*M) \to \mathcal{K}(L^2(M)) \quad (\omega \in [1, \infty))

を構成する

K(C(X, C_0(T^*M))) \to K(C(X, \mathcal{K}(L^2(M))))

が誘導されるので、K(X) \simeq K(C(X)) \xrightarrow{\sim} K(C(X, \mathcal{K}(L^2(M)))) と組み合わせる

https://arxiv.org/pdf/math/0504555 のまとめ

埋め込み i: X \to Y に対して

i_!: K(TX) \to K(TY)

がある。K-theory の Thom 同型を使う

\mathrm{ind}_X: K(TX) \to \mathbb{Z} で以下を満たすものを 2 通りの方法で構成する
(1) X に関して自然
(2) \mathrm{ind}_{\mathrm{pt}} = \mathrm{id}_{\mathbb{Z}}
(3) i_! たちと可換

\mathrm{t\text{-}ind}_X は \mathbb{R}^N への埋め込みと K-theory の Thom 同型を用いて定義する

\mathrm{a\text{-}ind}_X は擬微分作用素を用いて定義する

この 2 つが一致することから

\mathrm{Index}(D) = \mathrm{t\text{-}ind}_X(\sigma(D))

あとは \mathrm{ch}: K(Y) \otimes \mathbb{Q} \xrightarrow{\sim} H^{\mathrm{ev}}(Y, \mathbb{Q}) を用いて K-theory の Thom 同型と通常の Thom 同型を比較する

https://www.cambridge.org/core/books/general-cohomology-theory-and-ktheory/1E592AC63B78574B80D9DDB0F55C104D

https://math.stackexchange.com/questions/3160368/how-to-compute-higher-homotopy-groups-of-spheres

https://www.comm.tcu.ac.jp/~math/hnakai/math/data/references/index.html

https://minazumi.com/math/note/pre/ch02sec11.html

https://webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/surgery/gtop.pdf

https://math.uchicago.edu/~may/CHAR/charclasses.pdf

https://projecteuclid.org/journals/bulletin-of-the-american-mathematical-society-new-series/volume-61/issue-5/Topology-of-Lie-groups-and-characteristic-classes/bams/1183520007.full

https://ncatlab.org/zoranskoda/show/transgression

https://math.stackexchange.com/questions/1306376/calculate-the-cohomology-group-of-un-by-spectral-sequence

有限群の既約表現を具体的に計算する方法について

https://mathoverflow.net/questions/111379/how-to-compute-all-irreducible-representations-of-a-finite-group-how-gap-is-d

https://mathoverflow.net/questions/32836/recovering-representation-from-its-character/33059#33059

https://www.ams.org/journals/mcom/1990-55-192/S0025-5718-1990-1035925-1/S0025-5718-1990-1035925-1.pdf

https://christophschweigert.github.io/ss25/hopf.html

https://www.ams.org/books/pcms/001/

n 点間の距離 d_{ij} (1 \le i, j \le n) が与えられた時、それが実現できる条件
https://math.stackexchange.com/questions/1000006/minimum-dimension-to-hold-n-points-with-given-distances

TODO
(1) Lie 型の微分方程式
(2) 正準変換 → 一旦スキップ
(3) symplectic reduction
(4) TQFT → 一旦スキップ
(5) 有限群の既約表現の計算 → 一旦スキップ
(A) ゲージ対称性とネーターカレント
(B) 複素スカラー場 → 一旦スキップ
(C) スピノル場
(D) \mathbb{T} のゲージ場 → 一旦スキップ
(E) \mathbb{R}_{>0} のゲージ場 → 一旦スキップ
(F) \mathcal{G}_P, \mathbf{P} → 一旦スキップ
(G) Pure Yang\text{--}Mills 理論
(H) 電磁気のチャージ → 一旦スキップ

\lambda: G \curvearrowright M
A: \mathbb{R} \to \mathfrak{g}
A に付随する Lie 型の微分方程式とは、x: \mathbb{R} \to M に関する方程式

\dot{x}(t) = d\lambda(A(t))(x(t))

ただし、d\lambda: \mathfrak{g} \to \Gamma(M, TM)
時間依存のベクトル場 d\lambda(A(t)) の flow とも思える

S: \mathbb{R} \to G が基本解とは

\begin{aligned} \dot{S}(t) &= {r_{S(t)}}_* A(t) \\ S(0) &= e \end{aligned}

を満たすことをいう。上は、左作用 G \curvearrowright G に関する A に付随する微分方程式

m \in M
S: G 上の基本解
S(t)m は初期値 x(0) = m の A に付随する微分方程式の解

G \curvearrowright M は推移的とする
x: \mathbb{R} \to M を初期値 m の A に付随する微分方程式の解とする
G 上の基本解を復元することは m の固定部分群 G_m 上の Lie 型の微分方程式を解くことに対応することを示す

\tilde{x}: \mathbb{R} \to G を \tilde{x}m = x を満たす x の持ち上げとする
基本解 S: \mathbb{R} \to G が存在すれば、h: \mathbb{R} \to G_m があって

S = \tilde{x}h

h の条件を考える

\begin{aligned} {r_{h(t)}}_* {r_{\tilde{x}(t)}}_* A(t) &= \dot{S}(t) \\ &= {r_{h(t)}}_* \dot{\tilde{x}}(t) + {l_{\tilde{x}(t)}}_* \dot{h}(t) \end{aligned}

\dot{h}(t) = {r_{h(t)}}_* (\mathrm{Ad}_{\tilde{x}(t)^{-1}} A(t) - {l_{\tilde{x}(t)^{-1}}}_* \dot{\tilde{x}}(t))

B: \mathbb{R} \to \mathfrak{g}_m を

B(t) \coloneqq \mathrm{Ad}_{\tilde{x}(t)^{-1}} A(t) - {l_{\tilde{x}(t)^{-1}}}_* \dot{\tilde{x}}(t)

で定義すれば、h は B に付随する微分方程式の基本解

G が可換なら基本解は

S(t) = \exp\left(\int_0^t A(s) ds\right)

G は連結な可解群とする
G 上の Lie 型の微分方程式が与えられているとする
G / \overline{[G, G]} は可換だから、G 上の基本解を求めることは \overline{[G, G]} 上の別の Lie 型の微分方程式の基本解を求めることに帰着する
これを繰り返せば、G 上の基本解が求まる

\overline{[G, G]} は [\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] に対応する連結 Lie 部分群の閉包と一致する

アフィン変換群 G = GL_n(\mathbb{R}) \ltimes \mathbb{R}^n は M = \mathbb{R}^n に作用する
\mathbb{R} \ni t \mapsto (A(t), b(t)) \in \mathfrak{g} に付随する微分方程式は

\dot{x} = Ax + b

\pi: G \to GL_n(\mathbb{R})
GL_n(\mathbb{R}) \curvearrowright \mathbb{R}^n に関する \pi_*(A, b) = A に付随する微分方程式は

\dot{y} = Ay

初期値 e_i \in \mathbb{R}^n の解 y_i が存在するとする
n = 1 なら、y_1(t) = \exp(\int_0^t A(s) ds)
S(t) \coloneqq (y_1(t), \dots, y_n(t)) が可逆なら、y_i の GL_n(\mathbb{R}) 上への同時持ち上げ
\bigcap_{i = 1}^n G_{e_i} = \{ 1 \} だから、S は GL_n(\mathbb{R}) 上の基本解
実は S(t) は常に可逆なこともわかる

\tilde{S} \coloneqq (S, 0) は S の G 上への持ち上げ
\tilde{S}(t) (1, \alpha(t)) が G 上の基本解だとすると

\dot{\alpha}(t) = S(t)^{-1} b(t)

\alpha(t) = \int_0^t S(s)^{-1} b(s) ds

元の微分方程式の初期値 v_0 の解は

x = \tilde{S}(t) (\alpha(t) + v_0)

この方法は定数変化法に対応する

SL_2(\mathbb{R}) \curvearrowright \mathbb{R}P^2 = \mathbb{R} \sqcup \{ \infty \} に関する Lie 型の微分方程式は Riccati の微分方程式に対応する

Whitehead's second lemma

https://personal.math.ubc.ca/~reichst/Lie-Algebra-Cohomology.pdf

https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/130521.pdf

(M, \omega): symplectic 多様体
f \in C^\infty(M) に対応する Hamilton ベクトル場 X_f \in \Gamma(M, TM) とは

df = \iota_{X_f} \omega

を満たすもの。Hamilton ベクトル場全体を \mathcal{H}(M) で表すと

0 \to \mathbb{R} \to C^\infty(M) \to \mathcal{H}(M) \to 0

は完全
\mathcal{Sp}(M) \coloneqq \{ X \in \Gamma(M, TM) \mid \mathcal{L}_X \omega = 0 \} とすると

0 \to \mathcal{Sp}(M) \to \mathcal{H}(M) \to H_{\mathrm{dR}}^1(M) \to 0

も完全

\lambda: G \curvearrowright M: Lie 群の symplectic な作用
\lambda_*(X) \in \mathcal{Sp}(M) \ (X \in \mathfrak{g})

\begin{aligned} \iota_{\lambda_*([X, Y])} \omega &= - \iota_{[\lambda_*(X), \lambda_*(Y)]} \omega \\ &= - \mathcal{L}_{\lambda_*(X)} \iota_{\lambda_*(Y)} \omega + \iota_{\lambda_*(Y)} \mathcal{L}_{\lambda_*(X)} \omega \\ &= - (d \iota_{\lambda_*(X)} + \iota_{\lambda_*(X)} d) \iota_{\lambda_*(Y)} \omega \\ &= - d \iota_{\lambda_*(X)} \iota_{\lambda_*(Y)} \omega \\ &= d [\omega(\lambda_*(X), \lambda_*(Y))] \end{aligned}

\lambda_*(X) \in \mathcal{H}(M) の時、Hamilton 作用という

さらに、Hamilton 作用が Poisson 作用とは
\lambda_* の線形かつ G 同変な持ち上げ \rho: \mathfrak{g} \to C^\infty(M) が存在して

\rho([X, Y]) = \{\rho(X), \rho(Y)\} \ (\coloneqq \omega(X_{\rho(X)}, X_{\rho(Y)}) = \omega(\lambda_*(X), \lambda_*(Y)))

が成り立つことをいう

https://arxiv.org/abs/2003.14173

G が連結なら、\rho は自動的に G 同変になることを示す
\rho(\mathrm{Ad}_{e^{tX}} Y)(e^{tX} m) = \rho(Y)(m) を示せば良い

\begin{aligned} \frac{d}{dt} \rho(\mathrm{Ad}_{e^{tX}} Y)(e^{tX} m) = \rho([X, \mathrm{Ad}_{e^{tX}} Y])(e^{tX} m) + \langle (\iota_{\lambda_*(\mathrm{Ad}_{e^{tX}} Y)} \Omega), \lambda_*(X) \rangle (e^{tX} m) \end{aligned} = 0

symplectic な作用が Poisson 作用になる条件
(1) M が 1 連結かつコンパクト
H_{\mathrm{dR}}(M) = 0 だから Hamilton 作用
C^\infty(M)' \coloneqq \{ f \in C^\infty(M) \mid \int_M f \omega^n = 0 \}
持ち上げ \rho: \mathfrak{g} \to C^\infty(M)' が一意的に取れる
C^\infty(M)' は G 不変でかつ \{*, *\} で閉じているので、\rho は条件を満たす

\int_M \{f, g\} \omega^n = \int_M X_g f \omega^n = \int_M \mathcal{L}_{X_g}(f \omega^n) = 0 \quad (f, g \in C^\infty(M))

(2) G が連結かつ半単純
[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \mathfrak{g} と [\mathcal{Sp}(M), \mathcal{Sp}(M)] \subset \mathcal{H}(M) から Hamilton 作用なことがわかる
Poisson 作用に (一意的に) 持ち上がることは Whitehead's second lemma からわかる
(3) G 不変な \alpha \in \Gamma(M, T^*M) が存在して、\Omega = d\alpha
\rho(X) \coloneqq \alpha(\lambda_*(X)) とすれば良い

\begin{aligned} d\alpha(\lambda_*(X), \lambda_*(Y)) &= \lambda_*(X) \alpha(\lambda_*(Y)) - \lambda_*(Y) \alpha(\lambda_*(X)) - \alpha([\lambda_*(X), \lambda_*(Y)]) \\ &= \alpha(\lambda_*([X, Y])) \end{aligned}

\lambda: G \curvearrowright M: Poisson 作用
moment map \mu: M \to \mathfrak{g}^* を \mu(m)(X) \coloneqq \rho(X)(m) で定義する

G \backslash M が symplectic 多様体に分解できることを見る

f: X \to Y
y \in Y が clean value とは f^{-1}(y) \subset X が injective immersion の構造を持ち、x \in f^{-1}(y) に対して

T_x f^{-1}(y) = \mathrm{Ker} f_{*, x}

が成り立つことをいう。正則値は clean value。また、A: V \to W が線形なら、すべての W の点が clean value

\xi \in \mathfrak{g}^* は \mu に関して clean value と仮定する
G_{\xi} \curvearrowright \mu^{-1}(\xi)
G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi) は多様体構造をもち、\mu^{-1}(\xi) \to G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi) は submersion だと仮定する
この時、G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi) は symplectic 構造をもつ

\bar{\mu}: G \backslash M \to G \backslash \mathfrak{g}^* による \bar{\xi} \in G \backslash \mathfrak{g}^* の逆像は自然に G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi) と同一視できる

G \curvearrowright T^*G は coadjoint orbit に対応する

m \in \mu^{-1}(\xi)

\begin{aligned} v \in T_m(Gm)^\perp &\Leftrightarrow \omega(\lambda_*(X), v) = 0 \ (X \in \mathfrak{g}) \\ &\Leftrightarrow v\rho(X) = 0 \ (X \in \mathfrak{g}) \\ &\Leftrightarrow \mu_*(v) = 0 \\ &\Leftrightarrow v \in T_m(\mu^{-1}(\xi)) \end{aligned}

T_m(Gm)^\perp = T_m(\mu^{-1}(\xi)) がわかる
\begin{aligned} T_m(Gm) \cap T_m(\mu^{-1}(\xi)) &= \{ \lambda_*(X)(m) \mid X \in \mathfrak{g}, \mu_*(\lambda_*(X)(m)) = 0 \} \\ &= \{ \lambda_*(X)(m) \mid X \in \mathfrak{g}, (\mathrm{Ad}^*)_*(X)(\xi) = 0 \} \\ &= T_m(G_\xi m) \end{aligned}

\omega|_{\mu^{-1}(\xi)} は G_{\xi} 不変かつ \pi_\xi: \mu^{-1}(\xi) \to G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi) に関して vertical
\omega_\xi \in \Omega^2(G_{\xi} \backslash \mu^{-1}(\xi)) が一意的に存在して \pi_\xi^* \omega_\xi = \omega|_{\mu^{-1}(\xi)}
\omega_\xi は非退化で閉

M: 多様体
ファイバー束 E \to \mathrm{met}(T^*M) の例を考える
(1) ファイバー束 E' \to M を用いて E \coloneqq \mathrm{met}(T^*M) \times_M E'
\Gamma(M, E) = \{ (g, \varphi) \mid g \text{ は } T^*M \text{ 上の Lorentz 計量}, \varphi \in \Gamma(M, E') \}
(2) m \in M, g_m を T^*_m M 上の Lorentz 計量とする。g_m \in \mathrm{met}(T^*M) 上のファイバー E_{g_m} が \mathrm{Spin}(T^*_m M, g_m) の既約 spinor 表現だとする
g: T^*M 上の Lorentz 計量
E_g \coloneqq (g^*E \to M) は spinor bundle

M: 多様体
G \curvearrowright X
\mathcal{F}_0 \coloneqq C^\infty(M, X)
L_0 \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F}_0 \times M): G 不変で、オーダー 1

P: G 主束
\mathrm{con}(P) \to M: 切断が P 上の接続と対応するようなファイバー束
E \coloneqq \mathrm{con}(P) \times_M (P \times_G X) は \mathrm{con}(P) 上のファイバー束
\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(M, E) = \{ (A, \varphi) \mid A \text{ は } P \text{ 上の接続}, \varphi \in \Gamma(M, P \times_G X) \}

L \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) を構成する
A: P 上の接続
\varphi \in \Gamma(M, P \times_G X)
m \in M
C^\infty(M, X) の m における 1 次の germ を構成する
p \in P_m をとる
y \in X が \varphi(m) = \overline{(p, y)} で定まる
\varphi_{*, m}: T_m M \to T_{\varphi(m)} (P \times_G X) \simeq T_m M \oplus T_y X から \alpha_m: T_m M \to T_y X ができる

L(A, \varphi)(m) \coloneqq L_0((y, \alpha_m))(m)

と定義する。これは p の取り方に依らない
L は \mathrm{Aut}(P) \simeq \Gamma(M, P \times_{G, \text{共役}} G) 不変
この構成を gauging the symmetry という

M の座標 (U, x_i)、X の座標 (V, y_j)、P の自明化をとれば

L_0 = l_0(x, f(x), \partial_i f(x)) |dx|

\gamma_0 = \sum_{i, j} (-1)^{i - 1} \frac{\partial l_0}{\partial(\partial_i y^j)} \delta f^j dx^1 \cdots \check{dx^i} \cdots dx^n

A = \omega_G + \tilde{A'} \quad (\omega_G \in \Omega^1(G, \mathfrak{g}), A' \in \Omega^1(U, \mathfrak{g}))

\varphi: U \to V とみなせば

\alpha_x(\partial_i) = \partial_i \varphi(x) + A'(\partial_i)(x)

\mathfrak{g} \to T_{\varphi(x)} X を省略していることに注意

L(A, \varphi) = l_0(x, \varphi(x), \partial_i \varphi(x) + A'(\partial_i)(x)) |dx| = L_A(\varphi)

\begin{aligned} \underline{D}L_A = &\sum_{j} \frac{\partial l_0}{\partial y^j}(x, \varphi, \partial_i \varphi + A'(\partial_i)) \delta \varphi^j |dx| \\ &- \sum_{i, j} \frac{\partial^2 l_0}{\partial_i \partial(\partial_i y^j)}(x, \varphi, \partial_i \varphi + A'(\partial_i)) \delta \varphi^j |dx| \end{aligned}

\gamma(A, \varphi) = \sum_{i, j} (-1)^{i - 1} \frac{\partial l_0}{\partial(\partial_i y^j)}(x, \varphi, \partial_i \varphi + A'(\partial_i)) \delta \varphi^j dx^1 \cdots \check{dx^i} \cdots dx^n = \gamma_A(\varphi)

一般化する

P: G 主束
E \to \mathrm{con}(P): \mathrm{Aut}(P) 同変ファイバー束
\mathcal{F} \coloneqq \Gamma(M, E)
\mathcal{A} \coloneqq \Gamma(M, \mathrm{con}(P)) は P 上の接続全体
\mathcal{F} \to \mathcal{A}
L \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F} \times M) は \mathrm{Aut}(P) 不変とする
A \in \mathcal{A}
E_A \coloneqq A^*(E \to \mathrm{con}(P))
A 上のファイバー \mathcal{F}_A は \Gamma(M, E_A) と同型
L_A \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F}_A \times M) を L の制限とする

\varphi \in \mathcal{F}_A は L_A に関して極値を取るとする

0 \to T^*_A \mathcal{A} \to T^*_{\varphi} \mathcal{F} \to T^*_{\varphi} \mathcal{F}_A \to 0

から

\underline{D} L(\varphi) \in \Omega^{|0|}(M, T^*_A \mathcal{A})

\begin{aligned} \Omega^{|0|}(M, T^*_A \mathcal{A}) \simeq \Gamma(M, T^*M \otimes P \times_G \mathfrak{g}^* \otimes |\wedge^\mathrm{top} T^*M|) \simeq \Omega^{|-1|}(M, P \times_G \mathfrak{g}^*) \end{aligned}

\underline{D} L(\varphi) から J_1 \in \Omega^{|-1|}(M, P \times_G \mathfrak{g}^*) が構成できる

https://www.math.utoronto.ca/mein/teaching/moduli.pdf

\nabla^A J_1 = 0 を示す

\xi \in \Gamma(M, P \times_G \mathfrak{g}) とする
\xi_{\mathcal{F}, \varphi} \in T_\varphi \mathcal{F} を T_\varphi \mathcal{F} \to T_A \mathcal{A} で送ると \xi_{\mathcal{A}, A} = \nabla^A \xi

\pi: P \to M: G 主束
\mathcal{A} \subset \Omega^1(P, \mathcal{g}): P 上の接続全体
\mathcal{A} は \Omega^1(M, P \times_G \mathfrak{g}) が作用するアフィン空間で、\mathrm{Aut}(P) が作用する
\xi \in \mathfrak{aut}(P) \simeq \Gamma(M, P \times_G \mathfrak{g}), \nabla^A \in \mathcal{A} とすると

\xi_{\mathcal{A}, \nabla^A} = \nabla \xi \quad \text{in} \ \Omega^1(M, P \times_G \mathfrak{g})

P = G \times M として良い

\nabla^A = \pi^* \omega_G + \tilde{A} \quad \text{in} \ \Omega^1(G \times M, \mathfrak{g}) \quad (A \in \Omega^1(M, \mathfrak{g}))

\omega_G \in \Omega^1(G, \mathfrak{g}) は

\omega_G(X^L) \equiv X \quad (X \in \mathfrak{g})

で定まる。X^L \in \Gamma(G, TG) は G \curvearrowleft G から誘導される左不変ベクトル場
また、\tilde{A} \in \Omega^1(G \times M, \mathfrak{g}) は

\tilde{A}(S_g, V_m) \coloneqq \mathrm{Ad}_{g^{-1}} A(V_m) \quad (S_g \in T_g G, V_m \in T_m M)

で定義する

\xi \in \Gamma(M, \mathfrak{g}) とみなす。\tilde{\xi} \in \Gamma(G \times M, \mathfrak{g}) は

\tilde{\xi}(g, m) \coloneqq \mathrm{Ad}_{g^{-1}} \xi(m)

で定める。\xi による G \times M 上の flow は e^{t \tilde{\xi}} \cdot

\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} (e^{t \tilde{\xi}} \cdot)^* (\pi^* \omega_G + \tilde{A}) = \widetilde{d\xi + [A, \xi]}

を示せば良い。\iota: M \ni m \mapsto (e, m) \in G \times M で M 上に制限した

\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \iota^* (e^{t \tilde{\xi}} \cdot)^* (\pi^* \omega_G + \tilde{A}) = d\xi + [A, \xi]

を示せば良い。左辺に V_m \in T_m M を代入すると

\begin{aligned} &\left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \omega_G(\left.\frac{\partial}{\partial s}\right|_{s = 0} e^{t \xi(v(s))}) + \left.\frac{d}{dt}\right|_{t = 0} \mathrm{Ad}_{e^{-t \xi(m)}} A(V_m) \\ &= \left.\frac{\partial^2}{\partial t \partial s}\right|_{t, s = 0} e^{-t \xi(m)} e^{t \xi(v(s))} - [\xi(m), A(V_m)] \\ &= \left.\frac{d}{ds}\right|_{s = 0} (- \xi(m) + \xi(v(s))) + [A, \xi](V_m) \\ &= (d\xi + [A, \xi])(V_m) \end{aligned}

ただし、v(s) は V_m を M 上の曲線に持ち上げたもの

\begin{aligned} \int \nabla^A \xi \wedge J_1 &= \int \underline{D}L (\xi_{\mathcal{F}, \varphi}) \\ &= \int \underline{D}L (\left.\frac{d}{du}\right|_{u = 0} g(u) \varphi) \\ &= \left.\frac{d}{du}\right|_{u = 0} \int L(g(u) \varphi) \\ &= 0 \end{aligned}

ただし、g(u) \mathrm{Aut}(P) は \xi の flow

\int \xi \wedge \nabla^A J_1 = 0

\xi は任意だから、\nabla^A J_1 = 0

M: 多様体
G \curvearrowright X
\mathcal{F}_0 \coloneqq C^\infty(M, X)
L_0 \in \Omega^{0, |0|}(\mathcal{F}_0 \times M): G 不変で、オーダー 1
P: G 主束
gauging the symmetry を考える

A: P 上の接続
L_A の極値 \varphi \in \mathcal{F}_A から J_1 ができるとする
(\iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \gamma_A)(\varphi) = - J_1(\xi) \quad (\xi \in \mathfrak{aut}(P))
特に、\nabla^A \xi = 0 ならば、\xi_{\mathcal{F}_A} は L_A の manifest symmery で、対応する保存量の \varphi での値は - J_1(\xi) と一致する

\mathcal{F} \simeq \mathcal{A} \times \mathcal{F}_A

0 = (\xi_{\mathcal{F}} L)(A, \varphi) = (\iota_{\xi_{\mathcal{F}}} \delta L)(A, \varphi) = \iota_{\xi_{\mathcal{A}, A}} \delta L(\varphi) + (\iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \delta L_A)(\varphi)

\iota_{\xi_{\mathcal{A}, A}} \delta L(\varphi) = \iota_{\xi_{\mathcal{A}, A}} (\underline{D}L - d\gamma)(\varphi) = \iota_{\xi_{\mathcal{A}, A}} \underline{D}L = \nabla^A \xi \wedge J_1

\gamma \in \Gamma(\mathcal{F} \times M, T^* \mathcal{F}_A \otimes \wedge^{\mathrm{top} - 1} T^*M \otimes \mathfrak{o}) なことに注意

\iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \delta L_A = \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} (\underline{D}L_A - d\gamma_A) = \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \underline{D}L_A + d \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \gamma_A

以上から

d \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \gamma_A(\varphi) = - \nabla^A \xi \wedge J_1 - \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \underline{D}L_A(\varphi)

(f\xi)_{\mathcal{F}_A} \alpha = f\xi_{\mathcal{F}_A} \alpha \ (f \in C^\infty(M), \alpha \in \Omega^{1, |*|}(\mathcal{F}_A \times M)) だから

df \wedge \iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \gamma_A(\varphi) = - df \wedge J_1(\xi)

よって

\iota_{\xi_{\mathcal{F}_A}} \gamma_A(\varphi) = - J_1(\xi)

M: (V, Q) に付随する Minkowski 空間
\mathrm{Spin}(V) \curvearrowright S: spinor 表現
Clifford relation を満たす \Gamma: S^* \otimes S^* \to V, \tilde{\Gamma}: S \otimes S \to V を固定する
spinor 場とは \psi: M \to \Pi S
mass pairing M: \wedge^2 S \to \mathbb{R} を固定する

微分作用素 D_S: C^\infty(M, S) \to C^\infty(M, S^*) を

C^\infty(M, S) \xrightarrow{d} C^\infty(M, V^* \otimes S) \xrightarrow{\tilde{\Gamma}} C^\infty(M, S^*)

で定める
\sigma_1(D_S) = \tilde{\Gamma} \in C^\infty(M, S^1 V \otimes \mathrm{Hom}(S, S^*))
\sigma_2(D_{S^*} D_S) = Q \in C^\infty(M, S^2 V \otimes \mathrm{End}(S))

L \coloneqq \left\{ \frac{1}{2} \psi D_S \psi - \frac{1}{2} \psi M \psi \right\} |dx|

\delta L = a