行列指数関数の指数法則
行列指数関数は微分方程式を解くときによく出てきます。しかし、「行列AとBが可換なときに成り立つ」としか書いていないことが多く、飛ばされがちな性質です。そのため今回は、厳密な証明ではないかもしれませんが、どうしてこのような法則が成り立つのかを見ていこうと思います。英語での証明に慣れておきたいので、証明部分は英語で書いてみようと思います。
exponential law of the matrix exponential function
Theorem:
Let A and B be n\times n matrices, and let t \in \mathbb{C}
If A and B commute, (i.e., AB = BA) then we have
e^{At} e^{Bt} = e^{(A+B)t}.
Proof.
By definition of the matrix exponential function, we obtain the following equation:
\begin{align*}
e^{At} e^{Bt} = \left(I + At + \frac{1}{2!}A^2t^2+ \cdots \right)\left(I + Bt + \frac{1}{2!}B^2t^2+ \cdots\right) \tag{A}
\end{align*}
If we focus on the t^k term, we obtein
\begin{align*}
\sum_{j=0}^{k}\frac{A^jB^{k-j}}{j!(k-j)!}t^k = \frac{1}{k!} \sum_{j=0}^{k}\frac{k!}{j!(k-j)!}A^jB^{k-j}t^k.
\end{align*}
On the other hand, if we expand (A + B)^k , we obtain terms like ABABB\cdots A . However, since we assume AB = BA , we can repeatedly swap A and B to transform such terms into A^j B^{k-j} .
By the binomial theorem, the coefficients of these terms are given by
{}_nC_k = \frac{k!}{j!(k-j)!}
Thus, we can rewrite equation (A) as
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(A+B)^kt^k
Therefore, we obtain
e^{At}e^{Bt} = e^{(A+B)t}
Especially, let t = 1, we obtain
\blacksquare
Discussion