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確率振幅の経路積分表示

2025/01/30に公開

量子力学の確率振幅の経路積分(path intergral)表示

今回は、量子力学の確率振幅の経路積分表示についてまとめてみようと思います。
計算において、ごちゃごちゃするのが嫌なので、c = \hbar = 1とするようなNatural Unitを用いることにします。


ハミルトニアンが位置と運動量の演算子\hat{p}, \hat{q}を用いて、\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})と表されている系について考えることにします。位置q(t)から時刻\Delta tだけ時間が経った時の位置をq(t+\Delta t)はこのハミルトニアンを用いて以下のように書くことができました。

\begin{align*} \ket{q(t + \varDelta t), t + \varDelta t} = e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q}) \varDelta t}\ket{q(t), t} \end{align*}

この式は、量子力学の教科書を開いていただければ「時間発展演算子」として載っていると思いますが、なぜ、ネイピア数eが出てくるのかを少しだけ紹介すると、

\begin{align*} \ket{q(t + \delta t)} = \hat{T}(\delta t)\ket{q(t)} \end{align*}

と微量時間\delta tだけ変化させる演算子\hat{T}を考えた時に、この演算子\hat{T}\delta tの1次の項までテーラー展開した式

\begin{align*} T(\delta t) \simeq 1 - i \hat{\mathcal{H}} (\delta t) + O((\delta t)^2) \end{align*}

を考え、時刻tからある時刻\Delta tへの時間発展は、この積み重ねでかけることから、

\begin{align*} \hat{T}(\varDelta t) &= \lim_{N \rightarrow \infty}\prod_{j=1}^{N} \hat{T}\left(\varDelta t/N\right)\\ &= \lim_{N \rightarrow \infty}\left(1 - i \hat{\mathcal{H}} \frac{\varDelta t}{N}\right)^N\\ &= e^{-i \mathcal{\hat{H}}\varDelta t} \end{align*}

となります。細かいところが気になる人は量子力学の本をぜひ開いてみてください。

それでは、本題に戻ります。

\begin{align*} \ket{q(t + \varDelta t), t + \varDelta t} = e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q}) \varDelta t}\ket{q, t} \end{align*}

このように表された式より、q(t)に存在した粒子を\varDelta t秒後にq(t + \varDelta t):= q'(t')に見出す確率U(q',t'\, ; \, q, t)は、

U(q',t'\, ; \, q, t)= \bra{q', t'} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q, t}

となります。また、tからt + 2\varDelta t := q''への時間発展は、前半の時刻[t,t + \varDelta t]と後半の時刻(t + \varDelta t, t + 2\varDelta t]に分けて、この同時密度関数

U(q'',t''\, ; \, q', t')U(q',t'\, ; \, q, t)

を考えて、中間の時刻t'の周辺密度関数を考えることにより、

\begin{align*} U(q'',t''\, ; \, q, t) &= \int dq' U(q'',t'' \, ; \, q', t')U(q',t'\, ; \, q, t)\\ &= \int \bra{q'', t''} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q', t'}dq'\bra{q', t'} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q, t} \end{align*}

と計算することができます。時刻tから任意の時刻t_n = n\varDelta t経った後で位置q_nに見出す確率U(q_n, t_n\, ;\, q, t)は、この操作をn回繰り返せば良いので、

\begin{align*} U(q_n, t_n\, ;\, q, t) &= \int \cdots \int \cdots \ket{q_{j+1},t_{j+1}}dq_{j+1}\bra{q_{j+1}, t_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}, t_{j}}dq_{j}\bra{q_{j}, t_{j}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j-1}, t_{j-1}}dq_{j-1}\cdots \end{align*}

のように表すことができます。ここで運動量p_jは固有値が完全系を成している(縮退していない)ので、

\int \frac{dp_j}{2\pi} \ket{p_j}\bra{p_j} = 1

となるので、先ほどの仰々しい式の中間部分の項 \bra{q_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}} について、以下のような計算を行うことができます。

\begin{align*} \bra{q_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}} & = \bra{q_{j+1}} \int \frac{dp_j}{2\pi} \ket{p_j}\bra{p_j}e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}}\\ &= \int \frac{dp_j}{2\pi} \braket{q_{j+1}|p_j}\braket{p_j|q_j}e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})\varDelta t} \end{align*}

さらに\varDelta tが十分小さい時、

\braket{q_{j+1}|p_j}\braket{p_j|q_j} = e^{ip_j(q_{j+1}- q_j)} =e^{i p_j \dot{q_j}\varDelta t}

と計算できるので、先ほどの式はさらに計算することができ、

\bra{q_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}} = \int \frac{dp_j}{2\pi}e^{i\{p_j\dot{q_j}-\mathcal{H}(p_j, q_j)\}\varDelta t}

となります。ここで、ハミルトニアンの引数が演算子から個々の運動量と位置p_j,q_jになっていることに注意してください。

さらに計算を進めるために、ハミルトニアンについて、\mathcal{H}(p, q) = \dfrac{p^2}{2m} + V(q)のような形を仮定します。これは物理学科の方ならごく自然に受け入れてくれるかと思います。多くの運動のエネルギーは運動エネルギーとポテンシャルの合計でかけることが多いです。

この仮定を受け入れると、先ほどの式のeの肩について、

\begin{align*} p_j\dot{q}_j-\mathcal{H}(p_j, q_j) &= p_j\dot{q}_j- \frac{p_j^2}{2m} - V(q_j)\\ &= -\frac{1}{2m}\left(p_j- m\dot{q}_j\right)^2 + \frac{1}{2}m\dot{q}_j^2-V(q_j)\\ &= -\frac{1}{2m}\left(p_j- m\dot{q}_j\right)^2 + L(\dot{q}_j, q_j) \end{align*}

と計算することが出来ます。ここで、L(\dot{q}_j, q_j)はラグランジアンです。解析力学で出てくる物理量であり、ハミルトニアンの親戚のようなものでした。

これにより何が嬉しいかというと、p_jでの積分を実行することができます。

\begin{align*} \bra{q_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}} &= \int \frac{dp_j}{2\pi}e^{i\{p_j\dot{q_j}-\mathcal{H}(p_j, q_j)\}\varDelta t}\\ &= \int \frac{dp_j}{2\pi} e^{i\left\{-\frac{1}{2m}\left(p_j- m\dot{q}_j\right)^2 + L(\dot{q}_j, q_j)\right\}\varDelta t}\\ &= \frac{1}{2\pi}e^{iL(\dot{q}_j, q_j)\varDelta t} \sqrt{\frac{2m\pi}{\varDelta t}} \quad (\because \int e^{-\alpha x^2}dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}})\\ &= \sqrt{\frac{m}{2\pi\varDelta t}}e^{iL(\dot{q}_j, q_j)\varDelta t} \end{align*}

これより、いくつもインテグラルの並んだ仰々しい式は、

\begin{align*} U(q_n, t_n\, ;\, q, t) &= \int \cdots \int \cdots \ket{q_{j+1},t_{j+1}}dq_{j+1}\bra{q_{j+1}, t_{j+1}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j}, t_{j}}dq_{j}\bra{q_{j}, t_{j}} e^{-i\mathcal{H}(\hat{p}, \hat{q})}\ket{q_{j-1}, t_{j-1}}dq_{j-1}\cdots\\ &= \int \cdots \int \prod_{j}\left[\sqrt{\frac{m}{2\pi \varDelta t}}dq_j\right]e^{i\sum_j \varDelta t L(\dot{q}, q)} \end{align*}

と書くことができます。また、\varDelta t \rightarrow 0の極限で、

\sum_j \varDelta t L(\dot{q}, q) = \int_{t}^{t_n}L(\dot{q}_j, q)dt =: S(q)

となることから、

\int \cdots \int \prod_{j}\left[\sqrt{\frac{m}{2\pi \varDelta t}}dq_j\right]e^{i\sum_j \varDelta t L(\dot{q}, q)} = \int\left[\mathcal{Dq(t)}\right]e^{iS(q)}

と書くことができます。ここで、\left[\mathcal{Dq(t)}\right]は、全経路q(t)について和を取るということを表します。

これにより、求めたかったPath Intergralは以下のように求めることができました。

\begin{align*} &\text{Path Intergral}\\ &U(q', t'\, ;\, q, t) = \int\left[\mathcal{Dq(t)}\right]e^{iS(q)} \end{align*}

ここを出発点として、場の量子論などはスタートしていきます。

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